江苏省镇江市2020-2021学年高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份江苏省镇江市2020-2021学年高一下学期期中数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省镇江市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量，，且，那么实数的值是　　A． B． C． D．22．（5分）若，则实数　　A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）已知，，则的值为　　A． B． C．2 D．4．（5分）已知向量，满足，，，那么与的夹角为　　A． B． C． D．5．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则　　A．2 B． C． D．6．（5分）在中，点在线段上，且，若，则　　A． B． C． D．7．（5分）今年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年．“红星闪闪放光彩”，正五角星是一个非常优美的几何图形，庄严美丽的国旗和国徽上的大五角星是中国共产党的象征，如图为一个正五角星图形，由一个正五边形的五条对角线连结而成，已知，为的两个黄金分割点，即．则　　A． B． C． D．8．（5分）▲表示一个整数，该整数使得等式成立，这个整数▲为　　A． B．1 C．2 D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　A．在复平面内，对应的点在第四象限 B． C．复数和满足方程 D．10．（5分）已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有　　A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则11．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列结论正确的是　　A． B． C．如果为锐角，为虚数单位，，，则 D．12．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，为边的中点，则下列结论正确的是　　A． B．若的周长为 C．的长为 D．若是中点，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．（5分）已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则实数　　．14．（5分）已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数的陈述如下为虚数单位）甲：；乙：；丙：；丁：．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数　　．15．（5分）已知正六边形的边长为1，当点满足 　　时，．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）16．（5分）窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为的小正方形拼接而成，则　　；的值为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．18．（12分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①为虚数单位），②的面积为，③，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，______．（1）求；（2）在（1）的结论下，若点为线段的一点且，求长．19．（12分）若是边长为2的正三角形．请在内画一条线段，端点，都在的边上，并将正分成面积相等的两部分．（1）请给出线段的一种画法，并证明；（2）如果此时线段是所有画法中最短的，求此时该线段的长度；（3）请提出一个类似（2）的问题（不需要解决你提出的问题）．20．（12分）如图，正三角形的边长为6，，分别是边，上的点，且，，其中，，为的中点．（1）若，求；（2）设为线段的中点，若，求的最小值．21．（12分）已知，，函数．（1）求函数的奇偶性；（2）是否存在常数，使得对任意实数，恒成立；如果存在，求出所有这样的；如果不存在，请说明理由．22．（12分）如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，设．（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长并求出此时的最大值．
2020-2021学年江苏省镇江市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，若，则有，解可得：；故选：．2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得值．【解答】解：由，得，．故选：．3．【分析】由已知利用两角差的正切公式即可计算求解．【解答】解：因为，，则．故选：．4．【分析】根据题意，设与的夹角为，由数量积的计算公式可得，变形可得的值，结合的范围分析可得答案．【解答】解：根据题意，设与的夹角为，又由，则，变形可得，又由，则，故选：．5．【分析】由已知利用余弦定理可求的值，进而根据正弦定理即可求解．【解答】解：因为，，，所以由余弦定理可得，则．故选：．6．【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，可得，再结合二倍角公式，得解．【解答】解：，，，，，，故选：．7．【分析】过作于，设，，则，利用，得，再利用二倍角公式求解．【解答】解：如图，过作于，设，，则，．，即，解得：，则 故选：．8．【分析】设这个整数为，然后利用二倍角公式、诱导公式、角的变换以及两角差的余弦公式，展开化简，即可得到答案．【解答】解：设这个整数为，因为，则，所以，则，即，所以，则，即这个整数▲为1．故选：．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．【分析】由已知求得的坐标判断；求出判断；求解实系数一元二次方程判断；求解判断．【解答】解：，，在复平面内，对应的点的坐标为，在第四象限，故正确；，故正确；方程的根为，即复数和满足方程，故正确；，故错误．故选：．10．【分析】由平面向量数量积的定义可判断；由平面向量共线定理可判断；对于选项，先平方处理，整理后即可得解．【解答】解，对于，若，则与同向或反向，则，，故错误；对于，对于三个非零向量，，，由平面向量共线定理可知，存在非零实数和，若，则，若，则，所以，所以，故正确；对于，若，则，所以或与垂直，故错误；对于，若，两边平方、化简得，，即，故正确；故选：．11．【分析】，利用在三角形中大角对大边进行判定；，利用函数，单调递增即可判定，，利用，，即可判定；，利用，即可判定．【解答】解：对于，在中，因为，所以，故正确；对于，在中，因为，因为函数，单调递增，，又，故正确；对于，如果为锐角，则，，，则故正确；对于，，显然不一定成立，故错．故选：．12．【分析】选项，易知，再由，展开运算，求得的值，即可得解；选项，由正弦定理，得，由余弦定理推出，从而知，进而得的周长；选项，在中，由余弦定理即可求得的长；选项，由，即可得解．【解答】解：对于选项，，，，，，，，即选项错误；对于选项，由正弦定理知，，①，在中，由余弦定理知，，即②，由①②解得，的周长为，即选项正确；对于选项，在中，由余弦定理知，，，即选项正确；对于选项，，即选项正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13．【分析】根据向量的共线性质即可求出．【解答】解：，，，，，，，三点共线，不妨设，，，解得，，故答案为：1．14．【分析】由题意可设，分别求出甲、乙、丙、丁的结果，再根据有且只有两个人的陈述正确，可推断出甲丁正确，从而求出，的值，得到复数．【解答】解：由题意可设，，，，，，丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确，且甲、乙、丙可以知二推一，甲丁正确，此时，，，故答案为：．15．【分析】，再根据平面向量数量积的几何意义，得解．【解答】解：因为正六边形的边长为1，所以，所以，要使，则，而的几何意义为向量在向量上的投影，当点在直线上运动时，，故答案为：为直线上任一点．16．【分析】由勾股定理可求得直角三角形的两条直角边，由，根据两角和的正切公式展开运算即可，由，展开后根据平面向量数量积的定义，得解．【解答】解：设四个全等的直角三角形的短直角边为，则长直角边为，，，化简得，解得或（舍负），在中，，在中，，，．故答案为：，0．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【分析】（1）由题意利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角差的正切公式即可求解的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角差的余弦公式即可求解．【解答】解：（1）因为，为锐角，则，，，则，，而．（2）由，，可得：，，则．18．【分析】（1）选择条件①，由题意利用复数的模可得，解得，的值，进而根据余弦定理可求的值．选择条件②，利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形的面积公式可求的值，结合，即可得解，的值，进而根据余弦定理即可求解的值．选择条件③，利用平面向量数量积的运算可求的值，结合，即可得解，的值，进而根据余弦定理即可求解的值．（2）在中，由余弦定理可求的值，由题意可求的值，在中，由余弦定理可求得的值．【解答】解：（1）方案一：选择条件①，由，解得，则，则．方案二：选择条件②，，，又，，由，解得，，则．方案三：选择条件③，，；，由，解得，，则．（2）在中，由余弦定理得：，因为，，则．在中，由余弦定理得：，则．19．【分析】（1）当与重合，是中点时，线段将正分成面积相等的两部分，然后证明；（2）线段的两端点都在的边上，不妨设点在线段上，点在线段上，然后证明；（3）在三角形边上取合适点、，可解决此问题．【解答】解：（1）当与重合，是中点时，线段将正分成面积相等的两部分．证明：易证，所以和的面积相等，此时线段将正分成面积相等的两部分．（此题答案不唯一，其它合理表述和解法也可以）（2）线段的两端点都在的边上，不妨设点在线段上，点在线段上．设，，，由（1）知，由得．在中，由余弦定理得：，（当且仅当“”时取等号），故，综上，当点在线段上，点在线段上，且时，线段将正分成面积相等的两部分．（此题答案不唯一，其它合理表述和解法也可以）（3）如：①在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成面积相等的两部分，求此时三角形的周长的最小值；在正内画一条线段，端点，都在的边上，并将分成的一个三角形和一个四边形，若它们的周长相等，求此时三角形的面积的最大值．（此题答案不唯一，其它合理表述和解法也可以）20．【分析】法一（基底法）（1）用向量和分别表示，，再利用向量的数量积运算即可求解；（2）用向量和分别表示，，由向量的线性运算及模的运算将转化为关于的函数，求出函数的最值即可求解．法二（坐标法）：以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，（1）利用向量的数量积坐标运算即可求解；（2）利用向量模的坐标运算转化为关于的函数，即可求解最小值．【解答】解：【法一（基底法）】（1）当时，，，．（2），，则，则．当时，的最小值为．【法二（坐标法）】以所在直线为轴，其中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，（1）由，得，则，，．（2），，，，为线段的中点，则，则，当时，的最小值为．21．【分析】解法一：（1）利用奇偶性的定义即可判断出；（2）对等式展开化简即可得出．解法二：先利用倍角公式进行化简再利用上述解法一即可．【解答】解法一：（1）定义域是，，函数是偶函数． （2），，移项得：，展开得：，对于任意实数上式恒成立，只有．，． 解法二：．（1）定义域是，，该函数在定义域内是偶函数． （2）由恒成立，，，化简可得：对于任意实数上式恒成立，只有，，．22．【分析】（1）先利用余弦定理表示出，再利用三角形的面积公式即可求解；（2）由题意在中，由余弦定理得，由正弦定理得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的余弦公式可求，在中，由余弦定理，三角函数恒等变换可求，利用正弦函数的性质，分类讨论即可求解其最大值．【解答】解：（1）在中，由余弦定理得：，于是四边形的面积为．（2）当时，在中，由余弦定理得，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，又，所以为锐角，所以，所以，在中，由余弦定理得：．则当时，的最大值为3．当时，由余弦定理得：，此时，，当时，，，此时，，综上，当时，的最大值为3．