高中物理教科版 (2019)必修 第一册3 匀变速直线运动位移与时间的关系导学案

匀变速直线运动位移与时间的关系

学习目标：1.[物理观念]知道v­t图像中“面积”与位移的对应关系．　2.[物理观念]理解位移与时间的关系式的意义．　3.[科学思维]掌握三个平均速度公式及其适用条件，会用平均速度求解相关问题．　4.[科学思维]会推导位移差公式Δx＝aT2，会用它解决相关问题．

一、匀速直线运动的位移

1．位移公式：Δx＝vt.

2．v­t图像特点

(1)平行于横轴的直线．

(2)位移Δx就对应着那段图像与两个坐标轴间所围成的矩形(即图中阴影区域)的“面积”．

二、匀变速直线运动的位移

1．位移在v­t图像中的表示

(1)微元法推导

①将时间t分成若干等份，每一小段时间Δt，都是如图甲所示，每段位移＝每段起始时刻速度×每段的时间＝对应小矩形“面积”．所有这些小矩形合起来就是一个“阶梯形”的图形．

②如果将v­t图像中的时间间隔划分的更小些，如图乙所示，所得的阶梯图形与原来的阶梯图形相比较，可以更精确地表示物体在整个过程的位移．

③极限情况下，即把时间分成无限多个小的间隔，如图丙所示，“台阶”形的折线就变成了一条直线，它与两个坐标轴所围成的图形的“面积”，就可以看作等于那个梯形的“面积”．梯形的“面积”在数值上就等于在时间t内的位移值．

甲　　　　　　　乙　　　　　　丙

(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v­t图像中的图线与对应的时间轴所包围的“面积”．

2．位移与时间的关系

⇒x＝v0t＋at2.

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀变速直线运动． (√)

(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)

(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关． (√)

(4)初速度越大，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)

2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为(　　)

A．4 m/s　4 m　　 B．2 m/s　4 m

C．4 m/s　2 m D．2 m/s　2 m

A　[物体初速度v0＝0，a＝2 m/s2，t＝2 s，

则v＝v0＋at＝0＋2×2 m/s＝4 m/s，

x＝v0t＋at2＝0＋×2×22 m＝4 m，故A正确．]

3．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t 2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)

A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2

C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0

C　[对比x＝4t＋2t 2和位移公式x＝v0t＋at 2，可知其初速度v0＝4 m/s，2＝a，则加速度a＝4 m/s2，故C正确．]

1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．

2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：

3.公式的两种特殊形式

(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．

(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．

【例1】　一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：

(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；

(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．

思路点拨：①由vt＝v0＋at判断滑行的时间．

②由x＝v0t＋at2求x.

[解析]　汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.

(1)因为t1＝2 s<t，所以汽车2 s末没有停止运动

故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22)m＝30 m.

(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时已停止运动

故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40 m.

[答案]　(1)30 m　(2)40 m

处理刹车类问题的思路

(1)先确定刹车时间，若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则刹车时间为T＝.

(2)将题中所给出的已知时间t与T比较，若T<t，则在利用公式v＝v0－at、x＝v0t－at2进行计算时，公式中的时间应为T；若T>t，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t.

[跟进训练]

1．物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为 (　　)

A．5.5 m/s　　 B．5 m/s

C．1 m/s D．0.5 m/s

D　[对于末速度为0的匀减速直线运动可采用逆向思维法处理，速度公式和位移公式变为v＝at、x＝at2.由题意知最后1 s内的位移x＝at2＝×1×12 m＝0.5 m；故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝m/s＝0.5 m/s，选项D正确．]

1．平均速度

(1)三个平均速度公式及适用条件

①＝，适用于所有运动．

②＝，适用于匀变速直线运动．

③＝v，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．

(2)对＝v＝的推导

设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为vt.

由x＝v0t＋at 2得， ①

平均速度＝＝v0＋at. ②

由速度公式vt＝v0＋at知，当t′＝时，

v＝v0＋a ， ③

由②③得＝v. ④

又vt＝v＋a ， ⑤

由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.

2．位移差公式Δx＝aT2

(1)匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.

(2)推导：x1＝v0T＋aT 2，x2＝v0·2T＋a·T 2，x3＝v0·3T＋aT 2…，

所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT 2；

xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT 2；

xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT 2…，

故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2…，

所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.

(3)应用

①判断物体是否做匀变速直线运动

如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．

②求加速度

利用Δx＝aT2，可求得a＝.

【例2】　从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时20 s，行进50 m，求其最大速度．

思路点拨：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动，中间的最大速度既是第一阶段的末速度，又是第二阶段的初速度．

[解析]　方法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2－a2t，

t＝t1＋t2，vmax＝a1t1，0＝vmax－a2t2，

解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.

方法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即，＝＝

由x＝t得vmax＝＝5 m/s.

方法三：(图像法)作出运动全过程的v­t图像如图所示，v­t图像与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝，则vmax＝＝5 m/s.

[答案]　5 m/s

应用推论＝v＝解题时应注意

(1)推论＝v＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式．

(2)该推论是求瞬时速度的常用方法．

(3)当v0＝0时，v＝；当v＝0时，v＝.

[跟进训练]

训练角度1　平均速度法

2．飞机在航空母舰上起飞时，在6 s的时间内从30 m/s的弹射速度加速到起飞速度50 m/s，求航空母舰飞行甲板的最小长度．

[解析]　飞机起飞过程的平均速度

＝＝ m/s＝40 m/s

飞行甲板的最小长度x＝ t＝40×6 m＝240 m.

[答案]　240 m

训练角度2　位移公式法

3．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是 (　　)

A．20 m　　 B．24 m

C．25 m D．75 m

C　[设汽车的初速度为v0，加速度为a.根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得x2－x1＝aT2

得a＝＝ m/s2＝－2 m/s2.

根据第1 s内的位移x1＝v0t＋at2，代入数据得，9＝v0×1＋×(－2)×12，

解得v0＝10 m/s.

汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s.

则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为x＝t0＝×5 m＝25 m．故C正确，A、B、D错误．]

1．某质点的位移随时间的变化规律的关系是：x＝2t2－4t，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)

A．2 m/s与－8 m/s2 B．－4 m/s与4 m/s2

C．0与4 m/s2 D．4 m/s与0

B　[根据x＝v0t＋at2＝2t2－4t得，质点的初速度为－4 m/s，加速度为4 m/s2，故B正确，A、C、D错误．]

2．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为(　　)

A．1∶1　　 B．1∶3

C．3∶4 D．4∶3

C　[汽车从刹车到静止用时t刹＝＝ s＝4 s，

故刹车后2 s内汽车的位移x1＝v0t－at2＝(20×2－×5×22)m＝30 m

刹车后6 s内汽车的位移x2＝v0t刹－at＝(20×4－×5×42)m＝40 m，故x1∶x2＝3∶4，故A、B、D错误，C正确．]

3．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则 (　　)

A．前3 s的位移是6 m

B．3 s末的速度是3.6 m/s

C．3 s内的平均速度是2 m/s

D．第5 s内的平均速度是5.4 m/s

BD　[由位移公式x＝at2知，第3 s内的位移为a×32 m－a×22m＝3 m，故加速度a＝1.2 m/s2，所以前3 s 的位移x＝×1.2×32 m＝5.4 m，A错误；第3 s末的速度v＝at＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，B正确；3 s内的平均速度＝＝ m/s＝1.8 m/s，C错误；第5 s内的平均速度等于第4.5 s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5 m/s＝5.4 m/s，D正确．]

4．一质点做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C间的距离为14 m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等．则O与A的距离为 (　　)

A．8 m　　　 B．6 m

C．4 m　　　 D．2 m

B　[OA段、AB段、BC段所用时间相等，由Δx＝x2－x1＝x3－x2＝aT2得，xAB－xOA＝xBC－xAB即10 m－xOA＝14 m－10 m得xOA＝6 m，选项B正确．]

5．(新情境题)如表是济青高铁济南东至青岛北的两个车次，根据列车时刻表请回答

表格一：

表格二：

问题：

(1)G6903次从淄博北到潍坊北运行时间是多少分钟？

(2)G6901次从淄博北到潍坊北区间增加青州市北站多耗用的时间是几分钟？

(3)列车为了增加青州市北站停靠，需要匀减速、停靠、匀加速三个过程，请估算列车进站前后做匀变速运动的距离．

[解析]　(1)G6903次从淄博北8：23开到潍坊北8：50，运行时间是27分钟．

(2)G6901次从淄博北7：56开到潍坊北8：30，运行时间是34分钟，结合(1)知增加青州市北站多耗用的时间是7分钟．

(3)停靠车站2分钟，减速加速5分钟，列车进站前后做匀变速运动的距离x＝·t＝12.75 km.

[答案]　(1)27分钟　(2)7分钟　(3)12.75 km