还剩35页未读，
继续阅读
2022年4月江苏省常州市第二十四中学教育集团中考数学调研数学试卷1(word版含答案)
展开
这是一份2022年4月江苏省常州市第二十四中学教育集团中考数学调研数学试卷1(word版含答案)，共38页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省常州二十四中教育集团中考数学调研数学试卷
（4月份）（附参考答案与试题解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
2．（2分）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查
B．一组数据5，5，3，4，1的众数是5
C．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则乙的成绩比甲稳定
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
5．（2分）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
6．（2分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
7．（2分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
8．（2分）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）如果3a＝4b（b≠0），那么＝ ．
10．（2分）如图是某地未来7日最高气温走势图，这组数据的极差为 ℃．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个实数根为x＝﹣2，则另一个实数根为 ．
12．（2分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
13．（2分）若平面直角坐标系中，设点P（2，a）在正比例函数y＝x的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 象限．
14．（2分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm．（结果用π表示）
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为 ．
16．（2分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则△OCD的面积为 ．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ．
18．（2分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数的图象上，则y1+y2+…+y20的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0
（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0
21．（8分）为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．
组别
分数段
人数
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查属于 调查，样本容量是 ；
（2）表中的a＝ ，样本数据的中位数位于 组；
（3）补全条形统计图；
（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？
22．（8分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 ；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
23．（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y＝﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…
2
3
m
﹣3
﹣1
0
n
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 平移 个单位而得到．
③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
24．（7分）常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行25米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
25．（8分）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
26．（9分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程＝0是否为“弦系一元二次方程”？ （填“是”或“否”），并说明理由；
（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．
27．（10分）以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．
（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；
（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2022年江苏省常州二十四中教育集团中考数学调研数学试卷
（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点A'的坐标是（3，﹣1），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．
2．（2分）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
【考点】点与圆的位置关系．版权所有
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．版权所有
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义得出cosB＝，再代入求出答案即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以cosB＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查
B．一组数据5，5，3，4，1的众数是5
C．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则乙的成绩比甲稳定
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；众数；方差．版权所有
【分析】根据全面调查与抽样调查、众数、方差、随机事件判断即可．
【解答】解：A、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；
B、一组数据5，5，3，4，1的众数是5，本选项说法正确，不符合题意；
C、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则甲的成绩比甲稳定，故本选项说法错误，符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查、众数、方差、随机事件，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
5．（2分）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有
【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出
平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），
所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（2分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权所有
【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
7．（2分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【考点】切线的性质；圆内接四边形的性质．版权所有
【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC＝180°﹣∠ABC＝125°，由圆周角定理求出∠ACB＝90°，得出∠BAC＝35°，由弦切角定理得出∠MCA＝∠ABC＝55°，由三角形的外角性质得出∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝35°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝125°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝35°，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA＝∠ABC＝55°，∠AMC＝90°，
∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝35°，
∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝55°﹣35°＝20°；
故选：A．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
8．（2分）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．版权所有
【分析】根据最小数的定义可知：函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象是每一段图象的最低处，即可得函数图象．
【解答】解：如图，由2x﹣1＝x得：x＝1，
∴点A的横坐标为1，
由4﹣x＝x得：x＝2，
∴点C的横坐标为2，
当x≤1时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝2x﹣1，
当1＜x≤2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝x，
当x＞2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝4﹣x，
则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为B．
故选：B．
【点评】此题考查了新定义最小值问题，同时考查了同学们的阅读理解能力，题型新颖，值得关注，确定图象的最小值就是两个或多个图象的最低位置是本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）如果3a＝4b（b≠0），那么＝ ．
【考点】比例的性质．版权所有
【分析】利用比例的性质，将等积式转化为比例式即可得出结论．
【解答】解：∵3a＝4b，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质，将等积式转化为比例式是解题的关键．
10．（2分）如图是某地未来7日最高气温走势图，这组数据的极差为 7 ℃．
【考点】极差．版权所有
【分析】由于极差是一组数据中最大值与最小值的差，所以找出最大值与最小值即可求出极差．
【解答】解：根据图象得这组数据的最大值为32，最小值为25，
故极差为32﹣25＝7（℃）．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，利用极差定义得出是解题关键．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个实数根为x＝﹣2，则另一个实数根为 ﹣1 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．版权所有
【分析】设另一个实数根为t，根据题根与系数的关系得到﹣2+t＝﹣3，然后解一次方程即可．
【解答】解：设另一个实数根为t，
根据题意得﹣2+t＝﹣3，
解得t＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．（2分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 3 m．
【考点】二次函数的应用．版权所有
【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
13．（2分）若平面直角坐标系中，设点P（2，a）在正比例函数y＝x的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 一 象限．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标确定位置．版权所有
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a的值，将其代入点Q的坐标中可得出点Q的坐标为（2，1），进而可得出点Q位于第一象限．
【解答】解：∵点P（2，a）在正比例函数y＝x的图象上，
∴a＝2，
∴3a﹣5＝3×2﹣5＝1，
∴点Q的坐标为（2，1），
∴点Q位于第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标确定位置，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出a的值是解题的关键．
14．（2分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12π cm．（结果用π表示）
【考点】弧长的计算；几何体的展开图．版权所有
【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝＝6，
∴2πr＝2π×6＝12π，
故答案为：12π．
【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有
【分析】先求出AE长，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE长即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA＝90°，AE＝＝5，
∴∠DEA＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．
16．（2分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则△OCD的面积为 3 ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．版权所有
【分析】过点C作CH⊥OD于H，根据位似图形的概念求出点D的坐标，根据正切的定义求出CH，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：过点C作CH⊥OD于H，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，B（2，0），
∴点D的坐标为（6，0），
∵CO＝CD，∠OCD＝120°，CH⊥OD，
∴∠COD＝30°，OH＝HD＝3，
∴CH＝OH•tan∠COH＝3×＝，
∴S△COD＝OD•CH＝×6×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是位似变换，根据位似比求出点D的坐标是解题的关键．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 （4，3﹣） ．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．版权所有
【分析】连接MD，BC，根据切线的性质得到MD⊥x轴，根据圆周角定理得到AC⊥BC，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出ME，进而求出DE，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，
则MD⊥x轴，
∵点M的坐标为（2，3），
∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝3，
∵AB为圆的直径，
∴AC⊥BC，
∴BC∥x轴，
∴MD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，CE＝BE＝2，
在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴DE＝MD﹣ME＝3﹣，
∴点B的坐标为（4，3﹣），
故答案为：（4，3﹣）．
【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（2分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数的图象上，则y1+y2+…+y20的值为 4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形；规律型：图形的变化类．版权所有
【分析】先由点C1在反比例函数图象上得到点C1的坐标为（x1，），然后由点C1是OB1的中点得到点B1的坐标为（2x1，），进而得到A1的坐标为（2x，0），即可得到OA1＝2x1，A1B1＝，然后由△OA1B1是等腰直角三角形得到2x1＝，解方程得到x1的值，即可得到点y1的值；然后由点C2的坐标为（x2，），
进而得到点B2和A2的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到A1A2＝A2B2，求得a的值即可得到y2的值，用同样的方法求得y3的值，结合y1、y2、y3的值得到规律，最后得到y1+y2+…+y20的值．
【解答】解：由题意得，点C1的坐标为（x1，），C2的坐标为（x2，），C3的坐标为（x3，），
∵点C1是OB1的中点，
∴点B1的坐标为（2x1，），
∴A1的坐标为（2x1，0），
∴OA1＝2x1，A1B1＝，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OA1＝A1B1，即2x1＝，
解得：x1＝2或x1＝﹣2（舍），
∴点A1的坐标为（4，0），y1＝2；
设点C2的坐标为（x2，），
∵点C2是A1B2的中点，
∴点B2的坐标为（2x2﹣4，），点A2的坐标为（2x2﹣4，0），
∴A1A2＝2x2﹣8，A2B2＝，
∵△A1B2A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝A2B2，即2x2﹣8＝，
解得：x2＝2+2或x2＝2﹣2（舍），
∴点A2的坐标为（4，0），y2＝2﹣2；
设点C3的坐标为（x3，），
∵点C3是A2B3的中点，
∴点B3的坐标为（2x3﹣4，），点A3的坐标为（2x3﹣4，0），
∴A2A3＝2x3﹣4﹣4＝2x3﹣8，A3B3＝，
∵△A2B3A3是等腰直角三角形，
∴A2A3＝A3B3，即2x3﹣8＝，
解得：x3＝2+2或x3＝2﹣2（舍），
∴y3＝2﹣2，…，y20＝2﹣2，
∴y1+y2+…+y20＝2+（2﹣2）+（2﹣2）+•••+（2﹣2）＝2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质列出方程求得点C的坐标．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
【考点】特殊角的三角函数值．版权所有
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2
＝2﹣2﹣2×
＝2﹣2﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0
（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．版权所有
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，
∴x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝6，
∴（x+1）2＝6，
∴x＝﹣1±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
21．（8分）为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．
组别
分数段
人数
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查属于 抽样 调查，样本容量是 35 ；
（2）表中的a＝ 16 ，样本数据的中位数位于 C 组；
（3）补全条形统计图；
（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布表．版权所有
【分析】（1）根据调查的方式，样本容量的定义解答即可；
（2）样本容量减去A、B、D组人数即可得出a，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于C组；
（3）根据（2）的结果补全条形统计图即可；
（4）用总人数乘以样本中成绩在D组的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查属于抽样调查，样本容量是 35，
故答案为：抽样，35；
（2）a＝35﹣2﹣5﹣12＝16，
根据中位数的定义得，样本数据的中位数位于C组，
故答案为：16，C；
（3）由（2）得，C组的人数为16，
补全条形统计图如下：
（4）980×＝336（人），
答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有336人．
【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（8分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 ；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ 5 ，n＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y＝﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…
2
3
m
﹣3
﹣1
0
n
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 上 平移 1 个单位而得到．
③函数图象关于点 （0，1） 中心对称．（填点的坐标）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；反比例函数的性质．版权所有
【分析】（1）x＝﹣，x＝3，分别代入y＝﹣+1即可得m、n的值；
（2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
【解答】解：（1）x＝﹣时，y＝﹣+1＝5，
∴m＝5，
x＝3时，y＝﹣+1＝，
∴n＝；
故答案为：5，；
（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：
（3）根据图象可得：
①在y轴左边，y随x增大而增大，
故答案为：增大；
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位得到的，
故答案为：上，1；
③函数图象关于点 （0，1）中心对称，
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查通过作函数图象，研究函数性质，解题的关键是掌握函数的研究方法：列表、描点、连线作图象，再数形结合得函数性质．
24．（7分）常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行25米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有
【分析】（1）根据题意可得AF∥DM，从而可得∠ACM＝α，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，即可解答；
（2）过点B作BN⊥DM，垂足为N，根据题意可得AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，∠BDC＝30°，然后在Rt△BDN中，利用锐角三角函数定义求出DN的长，从而求出DM的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
AF∥DM，
∴∠ACM＝∠FAC＝α，
在Rt△AMC中，MC＝米，tanα＝2，
∴AM＝MC•tan∠ACM＝25×2＝50（米），
∴无人机的飞行高度AM为50米；
（2）过点B作BN⊥DM，垂足为N，
则AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，
∵AF∥DM，
∴∠FBD＝∠BDC＝30°，
在Rt△BDN中，DN＝＝＝150（米），
∴DM＝MN+DN＝150+25＝175（米），
∴CD＝DM﹣MC＝175﹣25≈132（米），
∴河流的宽度CD为132米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（8分）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．版权所有
【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；
（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10（65﹣85）2+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
26．（9分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程＝0是否为“弦系一元二次方程”？ 是 （填“是”或“否”），并说明理由；
（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．
【考点】四边形综合题．版权所有
【分析】（1）根据“弦系一元二次方程”的定义判断即可．
（2）证明Δ≥0．
（3）想办法求出ab的值可得结论．
【解答】（1）解：∵a＝，b＝，c＝，
∴a2+b2＝c2，
∴a，b，c能构成直角三角形，
∴方程＝0是否为是弦系一元二次方程”．
故答案为：是．
（2）证明：根据题意，得Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴Δ＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴弦系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣x+b＝0，即a+b＝c，
∵2a+2b+c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝4，a+b＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴ab＝2，
∴S△ABC＝ab＝1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，“弦系一元二次方程”的定义，根的判别式等知识，解题的关键是理解“弦系一元二次方程”的定义，灵活运用所学知识解决问题．
27．（10分）以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．
（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；
（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．
【考点】圆的综合题．版权所有
【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；
（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；
（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．
【解答】解：（1）连接OC．
∵C为DB中点，
∴OC＝BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°；
（2）连接DA．
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD＝10，
∵DE＝8，DE⊥AB，
∴AE＝6，
∴BE＝4，
∵∠FAE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠EAF，
∵∠AEF＝∠DEB＝90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴＝，
∴EF＝3；
（3）①当交点E在O、A之间时，
若∠EOF＝∠BAC，此时，
∵，
∴，
∴OE＝AE，
则OE＝；
若∠EOF＝∠ABC，此时，
∴，
则OE＝1；
②当交点E在O、B之间时，OE＝．
综上所述，OE＝或1或．
【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
28．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，即可求得a和b的值和抛物线C解析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标；
（2）根据抛物线C绕点O旋转180°，可求得新抛物线C′的解析式，再将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点E坐标，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，由DE＝2EM，即可得＝，再证明△MEK∽△MDH，即可得DH＝3EK，建立方程求解即可；
（3）连接BG，易证△ABG是Rt△，∠ABG＝90°，可得tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；通过建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得
解得
∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；
（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1
∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，
∴直线l解析式为y＝x﹣，
设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，
∴OD＝OE
∵DE＝2EM
∴OM＝2OD，
过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，
∴∠OFD＝∠ORM，
∵∠DOF＝∠MOR
∴△ODF∽△OMR
∴＝＝＝2
∴OR＝2OF，RM＝2DF
∴M（﹣2m，2m2+8m）
∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，
解得：m1＝﹣3，m2＝，
∵m＜﹣2
∴m的值为：﹣3；
（3）由（2）知：m＝﹣3，
∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，
如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20
∴AB2+BG2＝AG2
∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，
∴tan∠GAB＝＝＝，
∵∠DEP＝∠GAB
∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，
在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，
过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；
∵E（3，﹣3），
∴∠EOT＝45°
∵∠EOH＝90°
∴∠HOT＝45°
∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，
则，解得
∴直线EH解析式为y＝﹣x，
解方程组，
∴x＝或，
∴点P的横坐标为：或．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．
2022年江苏省常州二十四中教育集团中考数学调研数学试卷
（4月份）（附参考答案与试题解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
2．（2分）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查
B．一组数据5，5，3，4，1的众数是5
C．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则乙的成绩比甲稳定
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
5．（2分）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
6．（2分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
7．（2分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
8．（2分）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）如果3a＝4b（b≠0），那么＝ ．
10．（2分）如图是某地未来7日最高气温走势图，这组数据的极差为 ℃．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个实数根为x＝﹣2，则另一个实数根为 ．
12．（2分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
13．（2分）若平面直角坐标系中，设点P（2，a）在正比例函数y＝x的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 象限．
14．（2分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm．（结果用π表示）
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为 ．
16．（2分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则△OCD的面积为 ．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ．
18．（2分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数的图象上，则y1+y2+…+y20的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0
（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0
21．（8分）为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．
组别
分数段
人数
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查属于 调查，样本容量是 ；
（2）表中的a＝ ，样本数据的中位数位于 组；
（3）补全条形统计图；
（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？
22．（8分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 ；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
23．（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ ，n＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y＝﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…
2
3
m
﹣3
﹣1
0
n
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 平移 个单位而得到．
③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
24．（7分）常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行25米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
25．（8分）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
26．（9分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程＝0是否为“弦系一元二次方程”？ （填“是”或“否”），并说明理由；
（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．
27．（10分）以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．
（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；
（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．
28．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2022年江苏省常州二十四中教育集团中考数学调研数学试卷
（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．版权所有
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点A'的坐标是（3，﹣1），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．
2．（2分）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
【考点】点与圆的位置关系．版权所有
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．版权所有
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义得出cosB＝，再代入求出答案即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以cosB＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
4．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查
B．一组数据5，5，3，4，1的众数是5
C．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则乙的成绩比甲稳定
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【考点】随机事件；全面调查与抽样调查；众数；方差．版权所有
【分析】根据全面调查与抽样调查、众数、方差、随机事件判断即可．
【解答】解：A、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；
B、一组数据5，5，3，4，1的众数是5，本选项说法正确，不符合题意；
C、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则甲的成绩比甲稳定，故本选项说法错误，符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查、众数、方差、随机事件，掌握它们的概念和性质是解题的关键．
5．（2分）将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．版权所有
【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出
平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），
所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（2分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．版权所有
【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
7．（2分）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【考点】切线的性质；圆内接四边形的性质．版权所有
【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC＝180°﹣∠ABC＝125°，由圆周角定理求出∠ACB＝90°，得出∠BAC＝35°，由弦切角定理得出∠MCA＝∠ABC＝55°，由三角形的外角性质得出∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝35°，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝125°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝35°，
∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，
∴∠MCA＝∠ABC＝55°，∠AMC＝90°，
∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM，
∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝35°，
∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝55°﹣35°＝20°；
故选：A．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
8．（2分）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，例如min{﹣1，1，2}＝﹣1，则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．版权所有
【分析】根据最小数的定义可知：函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象是每一段图象的最低处，即可得函数图象．
【解答】解：如图，由2x﹣1＝x得：x＝1，
∴点A的横坐标为1，
由4﹣x＝x得：x＝2，
∴点C的横坐标为2，
当x≤1时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝2x﹣1，
当1＜x≤2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝x，
当x＞2时，y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}＝4﹣x，
则函数y＝min{2x﹣1，x，4﹣x}的图象大致为B．
故选：B．
【点评】此题考查了新定义最小值问题，同时考查了同学们的阅读理解能力，题型新颖，值得关注，确定图象的最小值就是两个或多个图象的最低位置是本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）如果3a＝4b（b≠0），那么＝ ．
【考点】比例的性质．版权所有
【分析】利用比例的性质，将等积式转化为比例式即可得出结论．
【解答】解：∵3a＝4b，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质，将等积式转化为比例式是解题的关键．
10．（2分）如图是某地未来7日最高气温走势图，这组数据的极差为 7 ℃．
【考点】极差．版权所有
【分析】由于极差是一组数据中最大值与最小值的差，所以找出最大值与最小值即可求出极差．
【解答】解：根据图象得这组数据的最大值为32，最小值为25，
故极差为32﹣25＝7（℃）．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，利用极差定义得出是解题关键．
11．（2分）若关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个实数根为x＝﹣2，则另一个实数根为 ﹣1 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．版权所有
【分析】设另一个实数根为t，根据题根与系数的关系得到﹣2+t＝﹣3，然后解一次方程即可．
【解答】解：设另一个实数根为t，
根据题意得﹣2+t＝﹣3，
解得t＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
12．（2分）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 3 m．
【考点】二次函数的应用．版权所有
【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
13．（2分）若平面直角坐标系中，设点P（2，a）在正比例函数y＝x的图象上，则点Q（a，3a﹣5）位于第 一 象限．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标确定位置．版权所有
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a的值，将其代入点Q的坐标中可得出点Q的坐标为（2，1），进而可得出点Q位于第一象限．
【解答】解：∵点P（2，a）在正比例函数y＝x的图象上，
∴a＝2，
∴3a﹣5＝3×2﹣5＝1，
∴点Q的坐标为（2，1），
∴点Q位于第一象限．
故答案为：一．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标确定位置，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出a的值是解题的关键．
14．（2分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 12π cm．（结果用π表示）
【考点】弧长的计算；几何体的展开图．版权所有
【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝＝6，
∴2πr＝2π×6＝12π，
故答案为：12π．
【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有
【分析】先求出AE长，根据相似三角形的判定得出△AED∽△ACB，得出比例式，代入求出DE长即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA＝90°，AE＝＝5，
∴∠DEA＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴，
即
∴DE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能推出△AED∽△ACB是解此题的关键．
16．（2分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（2，0），则△OCD的面积为 3 ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．版权所有
【分析】过点C作CH⊥OD于H，根据位似图形的概念求出点D的坐标，根据正切的定义求出CH，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：过点C作CH⊥OD于H，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，B（2，0），
∴点D的坐标为（6，0），
∵CO＝CD，∠OCD＝120°，CH⊥OD，
∴∠COD＝30°，OH＝HD＝3，
∴CH＝OH•tan∠COH＝3×＝，
∴S△COD＝OD•CH＝×6×＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是位似变换，根据位似比求出点D的坐标是解题的关键．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 （4，3﹣） ．
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．版权所有
【分析】连接MD，BC，根据切线的性质得到MD⊥x轴，根据圆周角定理得到AC⊥BC，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出ME，进而求出DE，根据坐标与图形性质解答即可．
【解答】解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，
则MD⊥x轴，
∵点M的坐标为（2，3），
∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝3，
∵AB为圆的直径，
∴AC⊥BC，
∴BC∥x轴，
∴MD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，CE＝BE＝2，
在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴DE＝MD﹣ME＝3﹣，
∴点B的坐标为（4，3﹣），
故答案为：（4，3﹣）．
【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（2分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数的图象上，则y1+y2+…+y20的值为 4 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角形；规律型：图形的变化类．版权所有
【分析】先由点C1在反比例函数图象上得到点C1的坐标为（x1，），然后由点C1是OB1的中点得到点B1的坐标为（2x1，），进而得到A1的坐标为（2x，0），即可得到OA1＝2x1，A1B1＝，然后由△OA1B1是等腰直角三角形得到2x1＝，解方程得到x1的值，即可得到点y1的值；然后由点C2的坐标为（x2，），
进而得到点B2和A2的坐标，从而由等腰直角三角形的性质得到A1A2＝A2B2，求得a的值即可得到y2的值，用同样的方法求得y3的值，结合y1、y2、y3的值得到规律，最后得到y1+y2+…+y20的值．
【解答】解：由题意得，点C1的坐标为（x1，），C2的坐标为（x2，），C3的坐标为（x3，），
∵点C1是OB1的中点，
∴点B1的坐标为（2x1，），
∴A1的坐标为（2x1，0），
∴OA1＝2x1，A1B1＝，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OA1＝A1B1，即2x1＝，
解得：x1＝2或x1＝﹣2（舍），
∴点A1的坐标为（4，0），y1＝2；
设点C2的坐标为（x2，），
∵点C2是A1B2的中点，
∴点B2的坐标为（2x2﹣4，），点A2的坐标为（2x2﹣4，0），
∴A1A2＝2x2﹣8，A2B2＝，
∵△A1B2A2是等腰直角三角形，
∴A1A2＝A2B2，即2x2﹣8＝，
解得：x2＝2+2或x2＝2﹣2（舍），
∴点A2的坐标为（4，0），y2＝2﹣2；
设点C3的坐标为（x3，），
∵点C3是A2B3的中点，
∴点B3的坐标为（2x3﹣4，），点A3的坐标为（2x3﹣4，0），
∴A2A3＝2x3﹣4﹣4＝2x3﹣8，A3B3＝，
∵△A2B3A3是等腰直角三角形，
∴A2A3＝A3B3，即2x3﹣8＝，
解得：x3＝2+2或x3＝2﹣2（舍），
∴y3＝2﹣2，…，y20＝2﹣2，
∴y1+y2+…+y20＝2+（2﹣2）+（2﹣2）+•••+（2﹣2）＝2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质列出方程求得点C的坐标．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：2tan45°﹣﹣2sin260°．
【考点】特殊角的三角函数值．版权所有
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×1﹣﹣2×（）2
＝2﹣2﹣2×
＝2﹣2﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣5＝0
（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．版权所有
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，
∴x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝6，
∴（x+1）2＝6，
∴x＝﹣1±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
21．（8分）为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．
组别
分数段
人数
A
x＜60
2
B
60≤x＜75
5
C
75≤x＜90
a
D
x≥90
12
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查属于 抽样 调查，样本容量是 35 ；
（2）表中的a＝ 16 ，样本数据的中位数位于 C 组；
（3）补全条形统计图；
（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；频数（率）分布表．版权所有
【分析】（1）根据调查的方式，样本容量的定义解答即可；
（2）样本容量减去A、B、D组人数即可得出a，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于C组；
（3）根据（2）的结果补全条形统计图即可；
（4）用总人数乘以样本中成绩在D组的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查属于抽样调查，样本容量是 35，
故答案为：抽样，35；
（2）a＝35﹣2﹣5﹣12＝16，
根据中位数的定义得，样本数据的中位数位于C组，
故答案为：16，C；
（3）由（2）得，C组的人数为16，
补全条形统计图如下：
（4）980×＝336（人），
答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有336人．
【点评】本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．（8分）现有A、B两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分别标记数字2，3，4；B袋中的三个小球上分别标记数字3，4，5．这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为 ；
（2）分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将A袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为7的结果有3种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ 5 ，n＝ ；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
1
2
3
4
…
y＝﹣
…
1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…
2
3
m
﹣3
﹣1
0
n
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 增大 ；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 上 平移 1 个单位而得到．
③函数图象关于点 （0，1） 中心对称．（填点的坐标）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；反比例函数的性质．版权所有
【分析】（1）x＝﹣，x＝3，分别代入y＝﹣+1即可得m、n的值；
（2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
【解答】解：（1）x＝﹣时，y＝﹣+1＝5，
∴m＝5，
x＝3时，y＝﹣+1＝，
∴n＝；
故答案为：5，；
（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：
（3）根据图象可得：
①在y轴左边，y随x增大而增大，
故答案为：增大；
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位得到的，
故答案为：上，1；
③函数图象关于点 （0，1）中心对称，
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查通过作函数图象，研究函数性质，解题的关键是掌握函数的研究方法：列表、描点、连线作图象，再数形结合得函数性质．
24．（7分）常州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行25米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有
【分析】（1）根据题意可得AF∥DM，从而可得∠ACM＝α，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，即可解答；
（2）过点B作BN⊥DM，垂足为N，根据题意可得AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，∠BDC＝30°，然后在Rt△BDN中，利用锐角三角函数定义求出DN的长，从而求出DM的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
AF∥DM，
∴∠ACM＝∠FAC＝α，
在Rt△AMC中，MC＝米，tanα＝2，
∴AM＝MC•tan∠ACM＝25×2＝50（米），
∴无人机的飞行高度AM为50米；
（2）过点B作BN⊥DM，垂足为N，
则AB＝MN＝25米，AM＝BN＝50米，
∵AF∥DM，
∴∠FBD＝∠BDC＝30°，
在Rt△BDN中，DN＝＝＝150（米），
∴DM＝MN+DN＝150+25＝175（米），
∴CD＝DM﹣MC＝175﹣25≈132（米），
∴河流的宽度CD为132米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（8分）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．版权所有
【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；
（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），
将（60，600），（80，400）代入，得：
解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；
（2）由题意得：
w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）
＝﹣10x2+1700x﹣60000
＝﹣10（x﹣85）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x≤85时，w随x的增大而增大，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，
∴x≤50×（1+30%），即x≤65，
∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10（65﹣85）2+12250＝8250．
∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
26．（9分）如图是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，显然AE＝c，我们把关于x的一元二次方程ax2+cx+b＝0称为“弦系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）判断方程＝0是否为“弦系一元二次方程”？ 是 （填“是”或“否”），并说明理由；
（2）求证：关于x的“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“弦系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．
【考点】四边形综合题．版权所有
【分析】（1）根据“弦系一元二次方程”的定义判断即可．
（2）证明Δ≥0．
（3）想办法求出ab的值可得结论．
【解答】（1）解：∵a＝，b＝，c＝，
∴a2+b2＝c2，
∴a，b，c能构成直角三角形，
∴方程＝0是否为是弦系一元二次方程”．
故答案为：是．
（2）证明：根据题意，得Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴Δ＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴弦系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣x+b＝0，即a+b＝c，
∵2a+2b+c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝2，
∴a2+b2＝4，a+b＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴ab＝2，
∴S△ABC＝ab＝1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，“弦系一元二次方程”的定义，根的判别式等知识，解题的关键是理解“弦系一元二次方程”的定义，灵活运用所学知识解决问题．
27．（10分）以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．
（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；
（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．
【考点】圆的综合题．版权所有
【分析】（1）连接OC．根据直角三角形的性质和圆的性质可得△OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到∠BAC的度数；
（2）连接DA．根据垂直平分线的性质可得AB＝AD＝10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明△AEF∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；
（3）分两种情况：①当交点E在O、A之间时；②当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长．
【解答】解：（1）连接OC．
∵C为DB中点，
∴OC＝BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°；
（2）连接DA．
∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD＝10，
∵DE＝8，DE⊥AB，
∴AE＝6，
∴BE＝4，
∵∠FAE+∠AFE＝90°，∠CFD+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠EAF，
∵∠AEF＝∠DEB＝90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴＝，
∴EF＝3；
（3）①当交点E在O、A之间时，
若∠EOF＝∠BAC，此时，
∵，
∴，
∴OE＝AE，
则OE＝；
若∠EOF＝∠ABC，此时，
∴，
则OE＝1；
②当交点E在O、B之间时，OE＝．
综上所述，OE＝或1或．
【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
28．（12分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；
（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．版权所有
【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，即可求得a和b的值和抛物线C解析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标；
（2）根据抛物线C绕点O旋转180°，可求得新抛物线C′的解析式，再将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点E坐标，过点D作DH∥y轴交直线l于H，过E作EK∥y轴交直线l于K，由DE＝2EM，即可得＝，再证明△MEK∽△MDH，即可得DH＝3EK，建立方程求解即可；
（3）连接BG，易证△ABG是Rt△，∠ABG＝90°，可得tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；通过建立方程组求解即可．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得
解得
∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，
配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；
（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．
∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1
∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x
将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，
∴直线l解析式为y＝x﹣，
设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，
∴OD＝OE
∵DE＝2EM
∴OM＝2OD，
过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，
∴∠OFD＝∠ORM，
∵∠DOF＝∠MOR
∴△ODF∽△OMR
∴＝＝＝2
∴OR＝2OF，RM＝2DF
∴M（﹣2m，2m2+8m）
∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，
解得：m1＝﹣3，m2＝，
∵m＜﹣2
∴m的值为：﹣3；
（3）由（2）知：m＝﹣3，
∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，
如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20
∴AB2+BG2＝AG2
∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，
∴tan∠GAB＝＝＝，
∵∠DEP＝∠GAB
∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，
在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，
过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；
∵E（3，﹣3），
∴∠EOT＝45°
∵∠EOH＝90°
∴∠HOT＝45°
∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，
则，解得
∴直线EH解析式为y＝﹣x，
解方程组，
∴x＝或，
∴点P的横坐标为：或．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．
相关试卷
江苏省常州市第二十四中学教育集团2023—-2024学年上学期 九年级期中调研数学试卷： 这是一份江苏省常州市第二十四中学教育集团2023—-2024学年上学期 九年级期中调研数学试卷，共6页。
江苏省常州市第二十四中学教育集团2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷： 这是一份江苏省常州市第二十四中学教育集团2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷，共4页。
江苏省常州市第二十四中学教育集团2023-2024学年八年级上学期期中调研数学试卷： 这是一份江苏省常州市第二十四中学教育集团2023-2024学年八年级上学期期中调研数学试卷，共6页。
