2022年上海市普陀区中考数学诊断试卷(word版含答案)

2022年上海市普陀区中考数学诊断试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为      

A.  B.  C.  D.

2. 对于一次函数，下列结论错误的是

A. 函数随的增大而减小
B. 函数的图象不经过第三象限
C. 函数的图象向下平移个单位长度得的图象
D. 函数的图象与轴的交点坐标是

3. 如图，，，交的平分线于点，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，直线上有三个正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ如果正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别是和，那么正方形Ⅲ的面积是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共36分）

7. 如图，是一个关于的函数图象，则函数值随自变量的增大而______填“增大”、“减小”或“不变”
    

8. 如图，已知抛物线和直线我们约定：当任取一值时，若，取、中的较小值记为；若，记下列判断：当时，；当时，值越大，值越大；若，则；使得大于的值不存在．其中正确的说法有______请填写正确说法的番号
9. 下列图形：直角三角形；线段；角；长方形；平行四边形；等边三角形，其中一定是轴对称图形的有______个．
10. 在平面直角坐标系中，为原点，点在第一象限内，，射线与轴正半轴的夹角为，如果，那么点的坐标为______．
11. 半径为的圆内接正六边形的边心距为______ 用科学计算器计算，结果精确到
12. 在平面直角坐标系中，以、、、为顶点的四边形是菱形，若点的坐标是，点在轴的正半轴上，则点的坐标是______．
13. 在中，，，边上的高线为，则的面积为______．
14. 如图，与位似，点为位似中心，若，则：______．
    
     

15. 如图，是等边三角形外一点．若，，连接，则的最大值与最小值的差为______．
    
    
     

16. 已知两个圆的半径比为：，一个圆的半径为，则另一个圆的半径为______ ．
17. 如图，在▱中，对角线与相交于点，如果，，那么用向量、表示向量是______．
     

18. 如图，矩形沿折叠，使点落在边上，如果，则 ______ ．
     

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

19. 计算
    ；
    ．
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共6小题，共56分）

20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点．
    求反比例函数的解析式及点的坐标；
    在轴上找一点，使的值最大，求满足条件的点的坐标及的面积．
    
     

21. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，点在第一象限内，且满足，设的面积是．
    写出与的函数关系式，并写出的取值范围；
    当时，求出点的坐标；
    点在何处时，是等腰三角形？
     

22. 甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离千米与时间时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
    轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
    求线段对应的函数表达式；
    在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．

23. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，且，，求证：．
    
     

24. 已知函数，将此函数的图象记为．
    当时，
    直接写出此函数的函数表达式．
    点在图象上，求点的坐标．
    点在图象上，求的值．
    设图象最低点的纵坐标为当时，直接写出的值．
    矩形的顶点坐标分别为、、、，若函数，在范围内的图象与矩形的边有且只有一个公共点，直接写出此时的取值范围
25. 如图，是的直径，点、为半圆的三等分点，过点作，交的延长线于点．
    求证：是的切线；
    判断四边形是否为菱形？并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】本题考查三角形内角和的计算，多边形内角和计算公式为，所以，解得，故选B．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的性质、两直线平行或相交、平移的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出值随值增大而减小，函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，结论A正确，结论B正确；根据“上加下减”，即可得出一次函数的图象向下平移个单位长度得一次函数的图象，结论C正确；代入求出值可得出一次函数的图象与轴的交点坐标，结论D错误．此题得解．
【解答】
解：、，
值随值增大而减小，结论A正确；
B、，交轴正半轴，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，结论B正确；
C、，
一次函数的图象向下平移个单位长度得一次函数的图象，结论C正确；
D、当，即时，，
一次函数的图象与轴的交点坐标为，结论D错误．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：，，
，．
交的平分线于点，
，
．
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出与的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选D．
首先观察图形，然后由平面向量的三角形法则，可得或或继而求得答案．
此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
，即，
解得，，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出，结合图形计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解，，
，
在和中，，
≌，
，
如上图，根据勾股定理的几何意义，Ⅱ的面积Ⅰ的面积Ⅲ的面积，
Ⅲ的面积．
故选C．
根据已知及全等三角形的判定可得到≌，从而得到Ⅱ的面积Ⅰ的面积Ⅲ的面积．
本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
 

7.【答案】减小
 

【解析】解：由关于的函数图象得，函数值随自变量的增大而减小．
故答案为：减小．
根据函数的图象可得出函数的增减性．
本题考查了函数的图象．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化了，降低了题的难度．
 

8.【答案】
 

【解析】解：当时，即时，
解得：或，
当时，利用函数图象可以得出；当时，；当时，利用函数图象可以得出；
错误；

抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为、若，取、中的较小值记为；
当时，根据函数图象可以得出值越大，值越大；
正确；

如图：当时，；
当，，；
时，；
当，，，舍去，
使得的值是或，
错误；

抛物线的最大值为，故大于的值不存在，
正确；

正确的有．
故答案为．
若，记首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当时，利用函数图象可以得出；根据当任取一值时，对应的函数值分别为、；当时，；当时，利用函数图象可以得出；若，取、中的较小值记为；即可求得答案．
本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据轴对称图形的概念可知：线段；角；长方形；等边三角形一定是轴对称图形；
直角三角形不一定是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形．
所以一定是轴对称图形的有个．
故答案为：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查轴对称图形的知识，要求掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作轴于，

在中，，
而，
，，
点．
故答案为：．
过点作轴于根据正弦函数的定义求解即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：连接，作，得到，，
则，
因而．
正六边形的边心距是．
故答案为：．
构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
 

12.【答案】，，
 

【解析】解：点的坐标是，
，
如图，若四边形是菱形，则，，
点的坐标为：；
若四边形是菱形，
则点的坐标为：；
如图，若四边形是菱形，连接，过点作于点，
则，，
，，
∽，
，
，
解得：，
点的坐标为：，
即．
综上所述，点的坐标为：，，．
故答案为：，，．
首先根据题意作出图形，然后分别从四边形、、是菱形去分析求解即可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意分类讨论思想的应用．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：如图，中，，，边上高，

在中，，
由勾股定理得，，
在中，，
由勾股定理得，，
则的长为，
的面积为：；
如图，

同的作法相同，，
的周长为：，
故答案为：或．
已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．
本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论．
 

14.【答案】：
 

【解析】

【分析】
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．与是位似三角形，则，，先证明∽，利用求得相似比，所以可求：：：，据此可得答案．
【解答】
解：与是位似三角形，
，
∽，∽，
：：，：：，
：：，
，
：：：，
则：：．
故答案为：：．  

15.【答案】
 

【解析】解：如图，以为边向外作等边，连接，

和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
，，
在中，，
即，
，
．
则的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
以为边向外作等边，连接，可证得≌从而得到，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把转化为从而求解，是一道较好的中考题．
 

16.【答案】或
 

【解析】解：设另一个圆的半径为，依题意有
：：，
解得；
或：：，
解得．
故另一个圆的半径为或．
故答案为：或．
可设另一个圆的半径为，根据两个圆的半径比为：，分两种情况列出方程求解即可．
考查了认识平面图形，注意分两种情况讨论求解．
 

17.【答案】
 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得出、，将其代入中即可求出结论．
本题考查了平面向量以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质找出、是解题的关键．
 

18.【答案】．
 

【解析】解：四边形为矩形，
，．
，，
．
，
．
由翻折的性质可知：．
．
故答案为：．
先依据直角三角形两锐角互余求得求得的度数，然后依据平行线的性质可求得的度数，然后依据翻折的性质得到．
本题主要考查的是翻折变换、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式．
 

【解析】原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果；
原式利用二次根式乘除法则计算，合并即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：直线经过点，
，
反比例函数经过，
，
，
由，解得或，
．

作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，点即为所求；

，，
设直线的解析式为，
则解得
直线的解析式为，
，
．
 

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用三角形的三边关系确定最值问题，为中考常考题型．
利用待定系数法即可解决问题；
作点关于轴的对称点，连接，延长交轴于点，点即为所求，再计算三角形面积即可．
 

21.【答案】解：点在第一象限内，且满足，
．
．
令中，则，
解得：，，
点的坐标为．
，，，
，，．
为等腰三角形分三种情况：
当时，有，
解得：，，
此时点的坐标为或；
当时，有，
解得：，舍去，
此时点的坐标为；
当时，有，
解得：，
此时点的坐标为．
综上可知：点的坐标为、、或时，是等腰三角形．
 

【解析】由点在第一象限且满足，即可得出，再根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式；
将代入的结论中，求出值，即可得出点的坐标；
由点、、的坐标利用两点间的距离公式求出、、的长度，分、和三种情况考虑为等腰三角形，由线段相等可得出关于的无理方程，解方程即可得出值，将其代入点的坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及解无理方程，解题的关键是：用表示出，并得出的取值范围；代入求出值；分、和三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据等腰三角形的性质，分三条边两两相等来考虑．
 

22.【答案】解：由图象可得，
货车的速度为千米小时，
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米，
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米；
设线段对应的函数表达式是，
点，点，
，
解得，
即线段对应的函数表达式是；
当时，两车之间的距离为：，
，
在轿车行进过程，两车相距千米时间是在之间，
由图象可得，线段对应的函数解析式为，
则，
解得，，
轿车比货车晚出发小时，小时，小时，
在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米．
 

【解析】根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
根据函数图象中的数据，可以得到线段对应的函数表达式；
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
，．
，．
．
 

【解析】依据，可证明四边形是平行四边形，然后依据平行线分线段成比例定理求解即可．
本题主要考查的是主要考查的是平行四边形的性质和判定、平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，则；
点在图象上，
当时，，
点的坐标为；
点在图象上，
当时，，
解得，舍去，
当时，，
解得舍去，，
的值为或．
设，，
则，
当时，图象最低点的纵坐标，
解得，舍去，
当时，函数取得最小值时，，
解得：，
，
当时，图象最低点的纵坐标，
对于任意实数，总有成立，
图象最低点一定在上，
综上所述，的值为或．
根据题意，要使图象与矩形的边有且只有一个公共点，
则，，
，
当，即时，此时函数与矩形的边有且只有一个公共点，
当，即时，要使函数与矩形的边只有一个公共点，
则，
另外，当时，图象与矩形的边也只有一个公共点，
综上所述，图象与矩形的边只有一个公共点的符合条件的的取值范围是：或或．
 

【解析】把代入即可求得函数表达式；
由点在图象上，因为，所以把代入，即可求出点的坐标；
当时，把代入，即可求出的值，当时，把代入，即可求出的值，
因为图象最低点的纵坐标为需要分两种情况进行讨论：当在抛物线顶点取得最小值时，所以把代入顶点纵坐标计算即可；当函数最小值在轴上取得时，有，即．
需要分情况讨论分析：取值全在轴右侧时，函数与矩形的边有且只有一个公共点时，，即；取值全在轴左侧时，函数与矩形的边有且只有一个公共点，；另外不要忘记还有一个孤点，当时，图象与矩形的边只有一个公共点．
本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数图象上的点的坐标，图形与二次函数只有一个交点时分情况讨论的求参数取值范围等知识，属于中考压轴题，难度较大，需要有较高的分析论证能力．
 

25.【答案】解：连接，
点是半圆的三等分点，
，
，
，
，
，
内错角相等，两直线平行
，
，
，
，
是的切线；
四边形为菱形．
理由是：
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
 

【解析】连接，由题意得，，即可证明，从而得出，即可证得结论；
四边形为菱形．由，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形；
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是中学阶段的重点内容．