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2022年广东省广州市中考数学模拟试题(word版含答案)
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这是一份2022年广东省广州市中考数学模拟试题(word版含答案)，共26页。
2022年广州市中考数学模拟试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①5是25的算术平方根；②﹣9没有算术平方根；③（﹣6）2的算术平方根是±6；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤（π﹣2）2的算术平方根是π﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（ ）
A． B．和 C．和 D．和
3．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（ ）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2＝a4 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+＝2 D．（﹣a3）2＝﹣a6
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．
8．（3分）对于题目“抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，1）、B（3，1）．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知y＝﹣+2，则xy＝ ．
12．（3分）方程（x+1）2＝3（x+1）的解为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为 ．
14．（3分）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第 象限．
15．（3分）等腰三角形有 条对称轴，则其对称轴在 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）如图，已知∠A＝∠EDF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．
19．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（6分）运算能力是数学能力的重要组成部分．为提高学生运算能力，我校八年级开展了“打卡二十一天，运算大比拼”的竞赛活动．现从八年级（1）、（2）两个班（各班均为60人）各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据
1班：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77
2班：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
（1）班
0
1
0
a
7
1
（2）班
1
0
0
7
b
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
（1）班
78
75
c
（2）班
78
d
80.5
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有多少人？
（3）你认为哪个班级的学生运算能力的总体水平较好，请说明理由．
21．（8分）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线．
（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）当AB＝4，AC＝2时，求CE的长．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
24．（12分）如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
25．（12分）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C'D'EF，C'F交AD于点H，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由．
问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C'落在AD上时，已知DE＝a，CD＝b，CF＝c，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图③，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4．将▱ABCD沿对角线AC翻折得到△ACE，AE交BC于点F．若点F为BC的中点，则▱ABCD的面积为 ．
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①5是25的算术平方根；②﹣9没有算术平方根；③（﹣6）2的算术平方根是±6；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤（π﹣2）2的算术平方根是π﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】5是25的算术平方根，所以①正确；
﹣9是负数，负数没有平方根，所以②正确；
（﹣6）2＝36，36的算术平方根为6，所以③错误；
0的算术平方根规定为0，所以④错误；
算术平方根为正的平方根，π﹣2＞0，所以⑤正确．
故选：C．
2．（3分）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（ ）
A． B．和 C．和 D．和
【答案】C
【解析】由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有
|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝7
∵当点P位于点A、B之间时，|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝4
∴将x从﹣1向左1.5个单位或从3向右1.5个单位，则有
|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝7
此时x＝﹣1﹣1.5＝﹣，或x＝3+1.5＝
\故选：C．
3．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（ ）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【答案】D
【解析】方程变形得：﹣＝3，
去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2＝a4 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+＝2 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【答案】A
【解析】A、a2•a2＝a4，正确；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故错误；
C、2与不能合并，故错误；
D、（﹣a3）2＝a6，故错误；
故选：A．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】A、三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、n边形（n≥3）的外角和为360°，正确，是真命题，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画树状图如图：
共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为＝，
故选：A．
7．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．
【答案】C
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
在四边形APBO中，∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长l＝＝π，
故选：C．
8．（3分）对于题目“抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
【答案】C
【解析】由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），
如图所示：
∵m为整数，
由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，
∴甲、乙的结果合在一起正确，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．
根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，
∴CD＝8．
在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝＝，
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，1）、B（3，1）．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】分析图形可知：
当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，
∵P在y＝上且yP＝1，
∴P（k，1），
设PB＝a，则Q（k，1+a），
∵四边形APQM是矩形，
∴M（1，1+a），
而M在y＝上，
∴1+a＝k，
∵AP＝MQ，
∴2﹣a＝k﹣1，
由，
解得，
∴1＜k≤2，
k≠1，因为题中要求点P不与点A． B重合，若k＝1，则双曲线过点A，与点P重合，
∴k＝不符合条件．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知y＝﹣+2，则xy＝________．
【答案】9．
【解析】根据题意得，
解得x＝3，
当x＝3时，y＝2，
∴xy＝32＝9，
12．（3分）方程（x+1）2＝3（x+1）的解为________．
【答案】x1＝﹣1，x2＝2．
【解析】方程变形得：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为________．
【答案】4．
【解析】
如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G．
在△ABC中，∠CAB＝30°，FD垂直平分AB，EF＝2DE＝2，
∴FD＝3DE＝3，AF＝2FD＝6，AE＝BE，
∵BE＝EC，
∴AE＝EC，
∴GF＝EF＝1，AG＝GC＝5，
∴CF＝GC﹣GF＝5﹣1＝4．
14．（3分）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第________象限．
【答案】二，四．
【解析】∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1；
∴反比例函数y＝经过第二，四象限，
15．（3分）等腰三角形有________条对称轴，则其对称轴在________．
【答案】一条或三条，底边的垂直平分线上．
【解析】一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线；
若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线．
等腰三角形的对称轴在底边的垂直平分线上，
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为________．
【答案】．
【解析】连接DO，OF，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴DC＝DA，DC＝DF，
∴DA＝DF，
在△DAO和△DFO中
∴△DAO≌△DFO（SSS）
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE，
∴点O、F、E三点共线，
设CE＝x，则OE＝OF+EF＝1+x，BE＝2﹣x，OB＝1，
∵∠OBE＝90°，
∴12+（2﹣x）2＝（1+x）2，
解得，x＝，
即CE的长为，
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：．
【答案】见解析
【解析】，
①×3+②，得7x＝14，解得x＝2，
把x＝2代入①，得2﹣y＝3，解得y＝﹣1．
故方程组的解为．
18．（4分）如图，已知∠A＝∠EDF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB．
∴AB＝DE．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠ABC＝∠DEF．
∴BC∥EF．
19．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】见解析
【解析】原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
20．（6分）运算能力是数学能力的重要组成部分．为提高学生运算能力，我校八年级开展了“打卡二十一天，运算大比拼”的竞赛活动．现从八年级（1）、（2）两个班（各班均为60人）各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据
1班：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77
2班：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
（1）班
0
1
0
a
7
1
（2）班
1
0
0
7
b
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
（1）班
78
75
c
（2）班
78
d
80.5
应用数据：
（1）由上表填空：a＝________，b＝________，c＝________，d＝________．
（2）估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有多少人？
（3）你认为哪个班级的学生运算能力的总体水平较好，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，b＝20﹣1﹣7﹣2＝10，
八年级（1）班20名学生的分数排序为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94．
∴中位数c＝＝78，
八年级（2）班成绩81分的有3个，
∴八年级（2）班成绩的众数d＝81，
故答案为：11，10，78，81；
（2）60×2×＝9（人），
答：估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有9人；
（3）八年级（2）班的学生运算能力的总体水平较好，
因为两个班级学生的平均数相等，而八年级（2）班的中位数大于八年级（1）班的中位数，
所以八年级（2）班的学生运算能力的总体水平较好．
21．（8分）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
【答案】见解析
【解析】（1）到甲厂家购买所需费用为800×3+80（x﹣3×3）＝（80x+1680）元；
到乙厂家购买所需费用为（800×3+80x）×0.8＝（64x+1920）元．
（2）当到甲厂家购买划算时，80x+1680＜64x+1920，
解得：x＜15；
当到甲、乙两厂家购买费用相同时，80x+1680＝64x+1920，
解得：x＝15；
当到乙厂家购买划算时，80x+1680＞64x+1920，
解得：x＞15．
答：当9≤x＜15时，到甲厂家购买更划算；当x＝15时，到两个厂家购买费用相同；当x＞15时，到乙厂家购买更划算．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线．
（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）当AB＝4，AC＝2时，求CE的长．
【答案】见解析
【解析】（1）如图，CE为所求作的AD的垂线，E为垂足；
（2）过点A作AF⊥BC．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，
∴，
又，
∴，
∵AD是Rt△ABC的中线，
∴，
在△ACD中，CE⊥AD，
∴，
∴．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠AOB＝90°,
∴AB为⊙M的直径，
∵点M是AB的中点，则点M（1,4），
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；
（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣3,5）、（5,3）；
（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，
由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,0），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝2+＝，
综上，OP为5或10或．
24．（12分）如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
【答案】见解析
【解析】（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，3），
∴OA＝4，OC＝3，
Rt△AOC中，AC＝＝5，
∵AC＝BC，
∴BC＝5，
Rt△BOC中，OB＝＝4，
∴B（4，0），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴将B（4，0）平移到A（﹣4，0）时，C（0，3）即平移到D，
∴D（﹣8，3），
将B（4，0），D（﹣8，3）代入y＝ax2+x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）①存在，理由如下：
若MN⊥AC，则∠MNC＝∠AOC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MCN＝∠CAO，
∴△MCN∽△CAO，
∴＝，
而CN＝AC﹣AN＝5﹣t，CM＝t，
∴＝，
解得t＝；
②过N作NH⊥CD于H，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，A（﹣4，0），C（0，3），B（4，0），
∴S△ADC＝S▱ABCD＝AB•OC＝8×3＝12，
∵∠NCH＝∠CAO，∠NHC＝∠AOC，
∴△NCH∽△CAO，
∴＝，
∵AN＝CM＝t，AC＝5，
∴CN＝5﹣t，
∴＝，
∴NH＝﹣t+3，
∴S△NCM＝CM•NH＝t•（﹣t+3）＝﹣t2+t，
∴四边形ADMN的面积S＝S△ADC﹣S△NCM＝12﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t+12＝（x﹣）2+，
∵＞0，
∴当t＝时，四边形ADMN的面积S有最小值，最小值为，
即M运动到CM＝时，四边形ADMN的面积最小为．
25．（12分）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C'D'EF，C'F交AD于点H，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由．
问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C'落在AD上时，已知DE＝a，CD＝b，CF＝c，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图③，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4．将▱ABCD沿对角线AC翻折得到△ACE，AE交BC于点F．若点F为BC的中点，则▱ABCD的面积为________．
【答案】见解析
【解析】问题呈现：小华的判断是正确的．
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠HEF＝∠EFC．
由折叠，得∠HFE＝∠EFC，
∴∠HFE＝∠HEF．
∴HE＝HF．
∴△EFH是等腰三角形．
问题拓展：a2+b2＝c2．
在矩形ABCD中，∠D＝90°，
由折叠，得∠D'＝∠D＝90°，DE＝DE＝a，C'D'＝CD＝b，C'F＝CF＝c
由问题呈现，得C'E＝C'F＝c．
在Rt△C'D'E中，D'E2+C'D'2＝C'E2，
∴a2+b2＝c2；
问题应用：
∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝3，AD＝4，
∴CD＝3，BC＝4，∠B＝∠D，
由折叠性质可知，
EC＝CD，AE＝AD＝4，∠E＝∠D，
∴EC＝AB，∠B＝∠E，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵∠AFB＝∠EFC，
∴△AFB≌△EFC（AAS），
∴AF＝FE＝AE＝＝2．
∴BF＝AF＝2，
如图，过点F作FH⊥AB于H，
则AH＝BH＝AB＝＝，
在Rt△BHF中，HF＝＝＝，
∴S△ABF＝＝＝，
∴S▱ABCD＝4S△ABF＝4×＝3．
故答案为3
2022年广州市中考数学模拟试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①5是25的算术平方根；②﹣9没有算术平方根；③（﹣6）2的算术平方根是±6；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤（π﹣2）2的算术平方根是π﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（ ）
A． B．和 C．和 D．和
3．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（ ）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2＝a4 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+＝2 D．（﹣a3）2＝﹣a6
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．
8．（3分）对于题目“抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，1）、B（3，1）．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（ ）
A． B．2 C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知y＝﹣+2，则xy＝ ．
12．（3分）方程（x+1）2＝3（x+1）的解为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为 ．
14．（3分）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第 象限．
15．（3分）等腰三角形有 条对称轴，则其对称轴在 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：．
18．（4分）如图，已知∠A＝∠EDF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．
19．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（6分）运算能力是数学能力的重要组成部分．为提高学生运算能力，我校八年级开展了“打卡二十一天，运算大比拼”的竞赛活动．现从八年级（1）、（2）两个班（各班均为60人）各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据
1班：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77
2班：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
（1）班
0
1
0
a
7
1
（2）班
1
0
0
7
b
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
（1）班
78
75
c
（2）班
78
d
80.5
应用数据：
（1）由上表填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
（2）估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有多少人？
（3）你认为哪个班级的学生运算能力的总体水平较好，请说明理由．
21．（8分）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线．
（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）当AB＝4，AC＝2时，求CE的长．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
24．（12分）如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
25．（12分）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C'D'EF，C'F交AD于点H，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由．
问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C'落在AD上时，已知DE＝a，CD＝b，CF＝c，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图③，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4．将▱ABCD沿对角线AC翻折得到△ACE，AE交BC于点F．若点F为BC的中点，则▱ABCD的面积为 ．
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列说法中，正确的个数是（ ）
①5是25的算术平方根；②﹣9没有算术平方根；③（﹣6）2的算术平方根是±6；④一个数的算术平方根一定是正数；⑤（π﹣2）2的算术平方根是π﹣2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】5是25的算术平方根，所以①正确；
﹣9是负数，负数没有平方根，所以②正确；
（﹣6）2＝36，36的算术平方根为6，所以③错误；
0的算术平方根规定为0，所以④错误；
算术平方根为正的平方根，π﹣2＞0，所以⑤正确．
故选：C．
2．（3分）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（ ）
A． B．和 C．和 D．和
【答案】C
【解析】由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有
|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝7
∵当点P位于点A、B之间时，|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝4
∴将x从﹣1向左1.5个单位或从3向右1.5个单位，则有
|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝7
此时x＝﹣1﹣1.5＝﹣，或x＝3+1.5＝
\故选：C．
3．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（ ）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【答案】D
【解析】方程变形得：﹣＝3，
去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2＝a4 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+＝2 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【答案】A
【解析】A、a2•a2＝a4，正确；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故错误；
C、2与不能合并，故错误；
D、（﹣a3）2＝a6，故错误；
故选：A．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．n边形（n≥3）的外角和为360°
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】A、三角形的外角大于它的任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、n边形（n≥3）的外角和为360°，正确，是真命题，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意．
故选：B．
6．（3分）甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画树状图如图：
共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为＝，
故选：A．
7．（3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．
【答案】C
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
在四边形APBO中，∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长l＝＝π，
故选：C．
8．（3分）对于题目“抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
【答案】C
【解析】由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），
如图所示：
∵m为整数，
由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，
∴甲、乙的结果合在一起正确，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．
根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，
∴CD＝8．
在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝＝，
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，1）、B（3，1）．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】分析图形可知：
当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，
∵P在y＝上且yP＝1，
∴P（k，1），
设PB＝a，则Q（k，1+a），
∵四边形APQM是矩形，
∴M（1，1+a），
而M在y＝上，
∴1+a＝k，
∵AP＝MQ，
∴2﹣a＝k﹣1，
由，
解得，
∴1＜k≤2，
k≠1，因为题中要求点P不与点A． B重合，若k＝1，则双曲线过点A，与点P重合，
∴k＝不符合条件．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知y＝﹣+2，则xy＝________．
【答案】9．
【解析】根据题意得，
解得x＝3，
当x＝3时，y＝2，
∴xy＝32＝9，
12．（3分）方程（x+1）2＝3（x+1）的解为________．
【答案】x1＝﹣1，x2＝2．
【解析】方程变形得：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为________．
【答案】4．
【解析】
如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G．
在△ABC中，∠CAB＝30°，FD垂直平分AB，EF＝2DE＝2，
∴FD＝3DE＝3，AF＝2FD＝6，AE＝BE，
∵BE＝EC，
∴AE＝EC，
∴GF＝EF＝1，AG＝GC＝5，
∴CF＝GC﹣GF＝5﹣1＝4．
14．（3分）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y＝经过第________象限．
【答案】二，四．
【解析】∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1；
∴反比例函数y＝经过第二，四象限，
15．（3分）等腰三角形有________条对称轴，则其对称轴在________．
【答案】一条或三条，底边的垂直平分线上．
【解析】一般等腰三角形有一条，即底边上的中线所在的直线；
若是特殊的等腰三角形即等边三角形，则有三条，即每条边上的中线所在的直线．
等腰三角形的对称轴在底边的垂直平分线上，
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为________．
【答案】．
【解析】连接DO，OF，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴DC＝DA，DC＝DF，
∴DA＝DF，
在△DAO和△DFO中
∴△DAO≌△DFO（SSS）
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE，
∴点O、F、E三点共线，
设CE＝x，则OE＝OF+EF＝1+x，BE＝2﹣x，OB＝1，
∵∠OBE＝90°，
∴12+（2﹣x）2＝（1+x）2，
解得，x＝，
即CE的长为，
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：．
【答案】见解析
【解析】，
①×3+②，得7x＝14，解得x＝2，
把x＝2代入①，得2﹣y＝3，解得y＝﹣1．
故方程组的解为．
18．（4分）如图，已知∠A＝∠EDF，AD＝BE，AC＝DF．求证：BC∥EF．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB．
∴AB＝DE．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠ABC＝∠DEF．
∴BC∥EF．
19．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】见解析
【解析】原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
20．（6分）运算能力是数学能力的重要组成部分．为提高学生运算能力，我校八年级开展了“打卡二十一天，运算大比拼”的竞赛活动．现从八年级（1）、（2）两个班（各班均为60人）各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据
1班：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77
2班：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
（1）班
0
1
0
a
7
1
（2）班
1
0
0
7
b
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
（1）班
78
75
c
（2）班
78
d
80.5
应用数据：
（1）由上表填空：a＝________，b＝________，c＝________，d＝________．
（2）估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有多少人？
（3）你认为哪个班级的学生运算能力的总体水平较好，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）由题意知a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，b＝20﹣1﹣7﹣2＝10，
八年级（1）班20名学生的分数排序为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94．
∴中位数c＝＝78，
八年级（2）班成绩81分的有3个，
∴八年级（2）班成绩的众数d＝81，
故答案为：11，10，78，81；
（2）60×2×＝9（人），
答：估计两个班级学生在本次比拼中成绩在90分以上（含90分）的共有9人；
（3）八年级（2）班的学生运算能力的总体水平较好，
因为两个班级学生的平均数相等，而八年级（2）班的中位数大于八年级（1）班的中位数，
所以八年级（2）班的学生运算能力的总体水平较好．
21．（8分）甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元每张椅子80元．甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三张椅子；乙厂家：桌子和椅子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干张椅子，若购买的椅子数为x张（x≥9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
【答案】见解析
【解析】（1）到甲厂家购买所需费用为800×3+80（x﹣3×3）＝（80x+1680）元；
到乙厂家购买所需费用为（800×3+80x）×0.8＝（64x+1920）元．
（2）当到甲厂家购买划算时，80x+1680＜64x+1920，
解得：x＜15；
当到甲、乙两厂家购买费用相同时，80x+1680＝64x+1920，
解得：x＝15；
当到乙厂家购买划算时，80x+1680＞64x+1920，
解得：x＞15．
答：当9≤x＜15时，到甲厂家购买更划算；当x＝15时，到两个厂家购买费用相同；当x＞15时，到乙厂家购买更划算．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线．
（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）当AB＝4，AC＝2时，求CE的长．
【答案】见解析
【解析】（1）如图，CE为所求作的AD的垂线，E为垂足；
（2）过点A作AF⊥BC．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝2，
∴，
又，
∴，
∵AD是Rt△ABC的中线，
∴，
在△ACD中，CE⊥AD，
∴，
∴．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
【答案】见解析
【解析】（1）∵∠AOB＝90°,
∴AB为⊙M的直径，
∵点M是AB的中点，则点M（1,4），
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；
（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣3,5）、（5,3）；
（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，
故∠DBO＝45°，
由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；
由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,0），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝2+＝，
综上，OP为5或10或．
24．（12分）如图，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于A，C两点，二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于点B，且AC＝BC．点D为该二次函数图象上一点，四边形ABCD为平行四边形．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）动点M沿线段CD从C到D，同时动点N沿线段AC从A到C都以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①点M运动过程中能否存在MN⊥AC？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
②当点M运动到何处时，四边形ADMN的面积最小？并求出其最小面积．
【答案】见解析
【解析】（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，3），
∴OA＝4，OC＝3，
Rt△AOC中，AC＝＝5，
∵AC＝BC，
∴BC＝5，
Rt△BOC中，OB＝＝4，
∴B（4，0），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴将B（4，0）平移到A（﹣4，0）时，C（0，3）即平移到D，
∴D（﹣8，3），
将B（4，0），D（﹣8，3）代入y＝ax2+x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣3；
（2）①存在，理由如下：
若MN⊥AC，则∠MNC＝∠AOC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MCN＝∠CAO，
∴△MCN∽△CAO，
∴＝，
而CN＝AC﹣AN＝5﹣t，CM＝t，
∴＝，
解得t＝；
②过N作NH⊥CD于H，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，A（﹣4，0），C（0，3），B（4，0），
∴S△ADC＝S▱ABCD＝AB•OC＝8×3＝12，
∵∠NCH＝∠CAO，∠NHC＝∠AOC，
∴△NCH∽△CAO，
∴＝，
∵AN＝CM＝t，AC＝5，
∴CN＝5﹣t，
∴＝，
∴NH＝﹣t+3，
∴S△NCM＝CM•NH＝t•（﹣t+3）＝﹣t2+t，
∴四边形ADMN的面积S＝S△ADC﹣S△NCM＝12﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t+12＝（x﹣）2+，
∵＞0，
∴当t＝时，四边形ADMN的面积S有最小值，最小值为，
即M运动到CM＝时，四边形ADMN的面积最小为．
25．（12分）问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片ABCD，点E在AD上，点F在BC上，小华同学将这张矩形纸片沿EF翻折得到四边形C'D'EF，C'F交AD于点H，小华认为△EFH是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由．
问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点C的对应点C'落在AD上时，已知DE＝a，CD＝b，CF＝c，写出a、b、c满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图③，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4．将▱ABCD沿对角线AC翻折得到△ACE，AE交BC于点F．若点F为BC的中点，则▱ABCD的面积为________．
【答案】见解析
【解析】问题呈现：小华的判断是正确的．
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠HEF＝∠EFC．
由折叠，得∠HFE＝∠EFC，
∴∠HFE＝∠HEF．
∴HE＝HF．
∴△EFH是等腰三角形．
问题拓展：a2+b2＝c2．
在矩形ABCD中，∠D＝90°，
由折叠，得∠D'＝∠D＝90°，DE＝DE＝a，C'D'＝CD＝b，C'F＝CF＝c
由问题呈现，得C'E＝C'F＝c．
在Rt△C'D'E中，D'E2+C'D'2＝C'E2，
∴a2+b2＝c2；
问题应用：
∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝3，AD＝4，
∴CD＝3，BC＝4，∠B＝∠D，
由折叠性质可知，
EC＝CD，AE＝AD＝4，∠E＝∠D，
∴EC＝AB，∠B＝∠E，
∵点F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵∠AFB＝∠EFC，
∴△AFB≌△EFC（AAS），
∴AF＝FE＝AE＝＝2．
∴BF＝AF＝2，
如图，过点F作FH⊥AB于H，
则AH＝BH＝AB＝＝，
在Rt△BHF中，HF＝＝＝，
∴S△ABF＝＝＝，
∴S▱ABCD＝4S△ABF＝4×＝3．
故答案为3
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