甘肃省永昌县达标名校2022年中考数学全真模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．已知m＝，n＝，则代数式的值为        （　　）

A．3 B．3 C．5 D．9

2．如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是（ ）

A． B． C． D．

3．如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2，高为8cm，乙圆柱型容器底面积为xcm2，若将甲容器装满水，然后再将甲容器里的水全部倒入乙容器中（乙容器无水溢出），则乙容器水面高度y（cm）与x（cm2）之间的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线l：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点D位于直线y＝﹣2与x轴之间的区域（不包括直线y＝﹣2和x轴），则l与直线y＝﹣1交点的个数是（　　）

A．0个 B．1个或2个

C．0个、1个或2个 D．只有1个

5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）

A． B． C． D．

6．已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（     ）

A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm

8．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

9．计算（﹣ab2）3的结果是（　　）

A．﹣3ab2 B．a3b6 C．﹣a3b5 D．﹣a3b6

10．下列说法正确的是（    ）

A．2a2b与–2b2a的和为0

B．的系数是，次数是4次

C．2x2y–3y2–1是3次3项式

D．x2y3与– 是同类项

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．已知 ，是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足=﹣1，则m的值是____．

12．已知一组数据1，2，x，2，3，3，5，7的众数是2，则这组数据的中位数是　  ．

13．2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为_______________.

14．－3的倒数是___________

15．如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）÷．

16．分解因式：_______

17．（2017四川省攀枝花市）若关于x的分式方程无解，则实数m=_______．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？

19．（5分）先化简，再求值：3a（a1+1a+1）﹣1（a+1）1，其中a=1．

20．（8分）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝(m2﹣n2)，b＝mn，c＝(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．

21．（10分）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

22．（10分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标

画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；

求点在函数的图象上的概率．

23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD=2，求⊙O的半径．

24．（14分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．求证：BC是⊙O的切线；若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】
由已知可得：，=.

【详解】

由已知可得：，

原式=

故选：B

【点睛】

考核知识点：二次根式运算.配方是关键.

2、C

【解析】

试题分析：根据三视图的意义，可知俯视图为从上面往下看，因此可知共有三个正方形，在一条线上.

故选C.

考点：三视图

3、C

【解析】
根据题意可以写出y关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的y值，即可解答本题．

【详解】

解：由题意可得，

y==，

当x=40时，y=6，

故选C．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键．

4、C

【解析】
根据题意，利用分类讨论的数学思想可以得到l与直线y＝﹣1交点的个数，从而可以解答本题．

【详解】

∵抛物线l：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点D位于直线y＝﹣2与x轴之间的区域，开口向下，

∴当顶点D位于直线y＝﹣1下方时，则l与直线y＝﹣1交点个数为0，

当顶点D位于直线y＝﹣1上时，则l与直线y＝﹣1交点个数为1，

当顶点D位于直线y＝﹣1上方时，则l与直线y＝﹣1交点个数为2，

故选C．

【点睛】

考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和分类讨论的数学思想解答．

5、C

【解析】

由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．故选C．

6、B

【解析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．

【详解】

A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；

B. 符合向量的长度及方向，正确；

C. 得出的是a的方向不是单位向量，故错误；

D. 左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误.

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

7、A

【解析】

试题分析：利用轴对称图形的性质得出PM=MQ，PN=NR，进而利用PM=2．5cm，PN=3cm，MN=3cm，得出NQ=MN-MQ=3-2．5=2．5（cm），即可得出QR的长RN+NQ=3+2．5=3．5（cm）．

故选A．

考点：轴对称图形的性质

8、A

【解析】
由于要求四个数的点中距离原点最远的点，所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解．

【详解】

∵|-1|=1，|-1|=1，

∴|-1|＞|-1|=1＞0，

∴四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是-1．

故选A．

【点睛】

本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想．

9、D

【解析】
根据积的乘方与幂的乘方计算可得．

【详解】

解：（﹣ab2）3=﹣a3b6，

故选D．

【点睛】

本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方与幂的乘方的运算

法则．

10、C

【解析】
根据多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义逐一判断可得．

【详解】

A、2a2b与-2b2a不是同类项，不能合并，此选项错误；

B、πa2b的系数是π，次数是3次，此选项错误；

C、2x2y-3y2-1是3次3项式，此选项正确；

D、x2y3与﹣相同字母的次数不同，不是同类项，此选项错误；

故选C．

【点睛】

本题主要考查多项式、单项式、同类项，解题的关键是掌握多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、3.

【解析】
可以先由韦达定理得出两个关于、的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解.

【详解】

得+=-2m-3，=m2，又因为，所以m2-2m-3=0，得m=3或m=-1，因为一元二次方程的两个不相等的实数根，所以△>0，得（2m+3）2-4×m2=12m+9>0，所以m＞，所以m=-1舍去，综上m=3.

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是解决本题的关键.

12、2.1

【解析】

试题分析：∵数据1，2，x，2，3，3，1，7的众数是2，

∴x=2，

∴这组数据的中位数是（2+3）÷2=2.1；

故答案为2.1．

考点：1、众数；2、中位数

13、

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】60000小数点向左移动4位得到6，

所以60000用科学记数法表示为：6×1，

故答案为：6×1．

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14、

【解析】
乘积为1的两数互为相反数，即a的倒数即为，符号一致

【详解】

∵－3的倒数是

∴答案是

15、1

【解析】

解：原式==xy+2x+2y，方程组：，解得：，当x=3，y=﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为1．

点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16、

【解析】

=2（）=.

故答案为.

17、3或1．

【解析】

解：方程去分母得：1+3（x﹣1）=mx，整理得：（m﹣3）x=2．①当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；

②当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m﹣3=2，m=1．

综上所述：∴m的值为3或1．

故答案为3或1．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时.

【解析】
设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，根据甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果同时到达，即可列方程求解.

【详解】

设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，由题意得

，

解得x=16，

经检验x=16适合题意，

2.5x=40，

答：自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时.

19、2

【解析】

试题分析：首先根据单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式将括号去掉，然后再进行合并同类项，最后将ａ的值代入化简后的式子得出答案.

试题解析：解：原式=3a3+6a1+3a﹣1a1﹣4a﹣1=3a3+4a1﹣a﹣1，

当a=1时，原式=14+16﹣1﹣1=2．

20、 (1)证明见解析；(2)当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．

【解析】
（1）根据题意只需要证明a2+b2＝c2，即可解答

（2）根据题意将n＝5代入得到a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，即可解答

【详解】

(1)∵a2+b2＝(2n+1)2+(2n2+2n)2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，

c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，

∴a2+b2＝c2，

∵n为正整数，

∴a、b、c是一组勾股数；

(2)解：∵n＝5

∴a＝ (m2﹣52)，b＝5m，c＝ (m2+25)，

∵直角三角形的一边长为37，

∴分三种情况讨论，

①当a＝37时， (m2﹣52)＝37，

解得m＝±3 (不合题意，舍去)

②当y＝37时，5m＝37，

解得m＝ (不合题意舍去)；

③当z＝37时，37＝ (m2+n2)，

解得m＝±7，

∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，

∴m＝7，

把m＝7代入①②得，x＝12，y＝1．

综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．

【点睛】

此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键

21、（1）点B的坐标为（1，0）.

（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②线段QD长度的最大值为.

【解析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P 的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标．

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.

【详解】

解：（1）∵A、B两点关于对称轴对称 ，且A点的坐标为（－3，0），

∴点B的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线，对称轴为，经过点A（－3，0），

∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.

设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则.

∵，∴，解得.

当时；当时，，

∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：

，解得：.

∴直线AC的解析式为.

∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为(q,-q-3).

又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为(q,q2+2q-3).

∴.

∵，

∴线段QD长度的最大值为.

22、见解析；．

【解析】
(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

(2)找出点(x，y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．

【详解】

画树状图得：

共有12种等可能的结果、、、、、、、、、、、；

在所有12种等可能结果中，在函数的图象上的有、、这3种结果，

点在函数的图象上的概率为．

【点睛】

本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

23、(2)1

【解析】

试题分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；

（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==,得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以

∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30°的直角三角形三边的关系得AC=2CD=1，在Rt△ACB中，利用含30°的直角三角形三边的关系得BC=AC=1，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为1．

试题解析：（1）证明：连结OC，如图，

∵=

∴∠FAC=∠BAC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∴∠FAC=∠OCA

∴OC∥AF

∵CD⊥AF

∴OC⊥CD

∴CD是⊙O的切线

（2）解：连结BC，如图

∵AB为直径

∴∠ACB=90°

∵==

∴∠BOC=×180°=60°

∴∠BAC=30°

∴∠DAC=30°

在Rt△ADC中，CD=2

∴AC=2CD=1

在Rt△ACB中，BC=AC=×1=1

∴AB=2BC=8

∴⊙O的半径为1.

考点：圆周角定理, 切线的判定定理，30°的直角三角形三边的关系

24、（1）详见解析；（2）BD=9.6.

【解析】

试题分析：(1)连接OB，由垂径定理可得BE=DE，OE⊥BD， ，再由圆周角定理可得 ，从而得到∠ OBE＋∠ DBC＝90°，即 ，命题得证.

(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长.

试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB.

∵ E是弦BD的中点，∴ BE＝DE，OE⊥ BD，，

∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°.

∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，

∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切线．

(2)解：∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴ ,

∵ ，∴ ，

∴.

点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.