广东省广州市天河区达标名校2021-2022学年中考三模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（　　）

A． B． C． D．

2．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

3．如图，一把带有60°角的三角尺放在两条平行线间，已知量得平行线间的距离为12cm，三角尺最短边和平行线成45°角，则三角尺斜边的长度为（　　）

A．12cm B．12cm C．24cm D．24cm

4．从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，下列事件中不可能事件是（　　）

A．标号是2 B．标号小于6 C．标号为6 D．标号为偶数

5．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝（　　）

A．3 B．2 C．5 D．

6．剪纸是水族的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

7．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

8．潍坊市2018年政府工作报告中显示，潍坊社会经济平稳运行，地区生产总值增长8%左右，社会消费品零售总额增长12%左右，一般公共预算收入539.1亿元，7家企业入选国家“两化”融合贯标试点，潍柴集团收入突破2000亿元，荣获中国商标金奖．其中，数字2000亿元用科学记数法表示为（　　）元．（精确到百亿位）

A．2×1011    B．2×1012    C．2.0×1011    D．2.0×1010

9．不等式组 的整数解有（　　）

A．0个 B．5个 C．6个 D．无数个

10．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

则这些运动员成绩的中位数、众数分别为　　

A．、 B．、 C．、 D．、

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．函数y=+中，自变量x的取值范围是_____．

12．已知一个正数的平方根是3x－2和5x－6，则这个数是_____．

13．正五边形的内角和等于______度．

14．某种商品两次降价后，每件售价从原来元降到元，平均每次降价的百分率是__________.

15．方程的解为　 　 ．

16．如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起，则∠1的度数为_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．

（1）求反比例函数y＝的表达式；

（2）在x轴上是否存在一点P，使得S△AOP＝S△AOB，若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，简述你的理由．

18．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣﹣2sin30°+（﹣）﹣2

（2）化简：.

19．（8分）先化简，再求值：，其中x＝－5

20．（8分）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．

（1）求证：AB是⊙O的切线；   

（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．

21．（8分）如图所示，平行四边形形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）请添加一个条件使四边形BEDF为菱形．

22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=600，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD=，求⊙O的直径．

23．（12分）已知如图①Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，A,C,D在同一条直线上，点M,N,F分别为AB，ED，AD的中点，∠B=∠EDC=45°，             

（1）求证MF=NF

（2）当∠B=∠EDC=30°，A,C,D在同一条直线上或不在同一条直线上，如图②，图③这两种情况时，请猜想线段MF，NF之间的数量关系．（不必证明）   

24．如图，在自动向西的公路l上有一检查站A，在观测点B的南偏西53°方向，检查站一工作人员家住在与观测点B的距离为7km，位于点B南偏西76°方向的点C处，求工作人员家到检查站的距离AC．（参考数据：sin76°≈，cos76°≈，tan 76°≈4，sin53°≈，tan53°≈）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的图形即可得.

【详解】从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1，

如图所示：

故选A．

【点睛】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图．

2、C

【解析】
先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．

【详解】

a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．

故选C．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．

3、D

【解析】
过A作AD⊥BF于D,根据45°角的三角函数值可求出AB的长度，根据含30°角的直角三角形的性质求出斜边AC的长即可.

【详解】

如图，过A作AD⊥BF于D，

∵∠ABD=45°，AD=12，

∴=12，

又∵Rt△ABC中，∠C=30°，

∴AC=2AB=24，

故选：D．

【点睛】

本题考查解直角三角形，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

4、C

【解析】
利用随机事件以及必然事件和不可能事件的定义依次分析即可解答．

【详解】

选项A、标号是2是随机事件；

选项B、该卡标号小于6是必然事件；

选项C、标号为6是不可能事件；

选项D、该卡标号是偶数是随机事件；

故选C．

【点睛】

本题考查了随机事件以及必然事件和不可能事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．

5、B

【解析】
以OM为直径作圆交⊙O于K，利用圆周角定理得到∠MKO＝90°．从而得到KM⊥OK，进而利用勾股定理求解．

【详解】

如图所示：

MK＝.

故选：B．

【点睛】

考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

6、D

【解析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，故此选项正确；

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．

7、B

【解析】
设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．

【详解】

设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，由题意得：．

故选B．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

8、C

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

2000亿元=2.0×1．
故选：C．

【点睛】

考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

9、B

【解析】
先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求整数解即可．

【详解】

解不等式x+3＞0，得x＞﹣3，

解不等式﹣x≥﹣2，得x≤2，

∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，

∴整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个，

故选B．

【点睛】

本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．

10、C

【解析】
根据中位数和众数的概念进行求解．

【详解】

解：将数据从小到大排列为：1.50，150，1.60，1.60，160，1.65，1.65， 1.1，1.1，1.1，1.75，1.75，1.75，1.75，1.80

众数为：1.75；

中位数为：1.1．

故选C．

【点睛】

本题考查1.中位数；2.众数，理解概念是解题关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、x≥﹣2且x≠1

【解析】

分析：

根据使分式和二次根式有意义的要求列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围.

详解：

∵有意义，

∴ ，解得：且.

故答案为：且.

点睛：本题解题的关键是需注意：要使函数有意义，的取值需同时满足两个条件：和，二者缺一不可.

12、

【解析】
试题解析:根据题意，得：

解得：

故答案为

【点睛】

：一个正数有2个平方根，它们互为相反数.

13、540

【解析】
过正五边形五个顶点，可以画三条对角线，把五边形分成3个三角形

∴正五边形的内角和=3180=540°

14、

【解析】
设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1−x），第二次降价后的单价是原来的（1−x）2，根据题意列方程解答即可．

【详解】

解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得：

100×（1−x）2＝81

解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．

所以降价的百分率为0.1，即10%．

故答案为：10%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

15、．

【解析】

试题分析：首先去掉分母，观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解：

，经检验，是原方程的根．

16、60°

【解析】
先根据多边形的内角和公式求出正六边形每个内角的度数，然后用正六边形内角的度数减去正三角形内角的度数即可.

【详解】

（6-2）×180°÷6=120°，

∠1=120°-60°=60°.

故答案为：60°.

【点睛】

题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(n-2) ×180°是解答本题的关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）y＝；（1）（﹣1，0）或（1，0）

【解析】
（1）把A的坐标代入反比例函数的表达式，即可求出答案；

（1）求出∠A＝60°，∠B＝30°，求出线段OA和OB，求出△AOB的面积，根据已知S△AOPS△AOB，求出OP长，即可求出答案．

【详解】

（1）把A（，1）代入反比例函数y得：k＝1，所以反比例函数的表达式为y；

（1）∵A（，1），OA⊥AB，AB⊥x轴于C，∴OC，AC＝1，OA1．

∵tanA，∴∠A＝60°．

∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠B＝30°，∴OB＝1OC＝1，∴S△AOBOA•OB1×1．

∵S△AOPS△AOB，∴OP×AC．

∵AC＝1，∴OP＝1，∴点P的坐标为（﹣1，0）或（1，0）．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识点，求出反比例函数的解析式和求出△AOB的面积是解答此题的关键．

18、 (1)2;(2) x﹣y．

【解析】

分析：（1）本题涉及了二次根式的化简、绝对值、负指数幂及特殊三角函数值，在计算时，需要针对每个知识 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.

详解：（1）原式=3﹣4﹣2×+4=2；

（2）原式=•=x﹣y．

点睛：（1）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值及特殊三角函数值等考点的运算；（2）考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19、,-

【解析】

分析：首先把括号里的式子进行通分,然后把除法运算转化成乘法运算,进行约分化简,最后代值计算.

详解：

．

当时，原式.

点睛：本题主要考查分式的混合运算,注意运算顺序,并熟练掌握同分、因式分解、约分等知识点.

20、 (1)见解析；(2)．

【解析】

分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；

    （2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．

详解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，

     ∵PA=PD，∴弧AP=弧DP，∴OP⊥AD，AE=DE，∴∠1+∠OPA=90°．

    ∵OP=OA，∴∠OAP=∠OPA，∴∠1+∠OAP=90°．

    ∵四边形ABCD为菱形，∴∠1=∠2，∴∠2+∠OAP=90°，∴OA⊥AB，

∴直线AB与⊙O相切；

    （2）连结BD，交AC于点F，如图，

     ∵四边形ABCD为菱形，∴DB与AC互相垂直平分．

    ∵AC=8，tan∠BAC=，∴AF=4，tan∠DAC==，

∴DF=2，∴AD==2，∴AE=．

在Rt△PAE中，tan∠1==，∴PE=．

设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R．

在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，∴R2=（R﹣）2+（）2，

∴R=，即⊙O的半径为．

点睛：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和锐角三角函数以及勾股定理．

21、见解析

【解析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，OB=OD，由平行线的性质可得∠OBE=∠ODF，利用ASA判定△BOE≌△DOF，由全等三角形的性质可得EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形BEDF是平行四边形；（2）添加EF⊥BD（本题添加的条件不唯一），根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可判定平行四边形BEDF为菱形．

【详解】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，

∴AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

又∵∠BOE=∠DOF，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）EF⊥BD．

∵四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴平行四边形BEDF是菱形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的判定，熟知平行四边形的性质与判定及菱形的判定方法是解决问题的关键.

22、（1）见解析（2）2

【解析】

解：（1）证明：连接OA，

∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1．

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=2．

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=2．

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=3．∴OA⊥PA．

∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．

（2）在Rt△OAP中，∵∠P=2，

∴PO=2OA=OD+PD．

又∵OA=OD，∴PD=OA．

∵PD=，∴2OA=2PD=2．

∴⊙O的直径为2．．

（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=2，再由AP=AC得出

∠P=2，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．

（2）利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=，可得出⊙O的直径．

23、（1）见解析；（2）MF= NF.

【解析】
（1）连接AE,BD，先证明△ACE和△BCD全等，然后得到AE=BD，然后再通过三角形中位线证明即可.

（2）根据图（2）（3）进行合理猜想即可.

【详解】

解：（1）连接AE,BD

在△ACE和△BCD中

∴△ACE≌△BCD

∴AE=BD

又∵点M,N,F分别为AB，ED，AD的中点

∴MF=BD,NF=AE

∴MF=NF

(2) MF= NF.

方法同上.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质以及三角形中位线的知识，做出辅助线和合理猜想是解答本题的关键.

24、工作人员家到检查站的距离AC的长约为km．

【解析】

分析：过点B作BH⊥l交l于点H，解Rt△BCH，得出CH=BC•sin∠CBH=，BH=BC•cos∠CBH=．再解Rt△BAH中，求出AH=BH•tan∠ABH=，那么根据AC=CH-AH计算即可.

详解：如图，过点B作BH⊥l交l于点H，

∵在Rt△BCH中，∠BHC=90°，∠CBH=76°，BC=7km，

∴CH=BC•sin∠CBH≈，

BH=BC•cos∠CBH≈．

∵在Rt△BAH中，∠BHA=90°，∠ABH=53°，BH=，

∴AH=BH•tan∠ABH≈，

∴AC=CH﹣AH=（km）．

答：工作人员家到检查站的距离AC的长约为km．

点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．