湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2021-2022学年中考联考数学试卷含解析

这是一份湖南省长沙市长郡梅溪湖中学2021-2022学年中考联考数学试卷含解析，共22页。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（　　）

A． B．2 C．2 D．4
2．tan60°的值是( )
A． B． C． D．
3．如图,在中， ,以边的中点为圆心,作半圆与相切，点分别是边和半圆上的动点,连接,则长的最大值与最小值的和是（ ）

A． B． C． D．
4．下列函数中，y关于x的二次函数是( )
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x(x﹣1)
C．y= D．y＝(x﹣1)2﹣x2
5．如图，直线y＝kx+b与x轴交于点(﹣4，0)，则y＞0时，x的取值范围是(　　)

A．x＞﹣4 B．x＞0 C．x＜﹣4 D．x＜0
6．如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB=6，AD=9，则五边形ABMND的周长为（　　）

A．28 B．26 C．25 D．22
7．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个三角形，第②个图案中有4个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（　　）

A．15 B．17 C．19 D．24
8．若二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在如图的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
10．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ）
A．14 B．7 C．﹣2 D．2
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．太极揉推器是一种常见的健身器材．基本结构包括支架和转盘，数学兴趣小组的同学对某太极揉推器的部分数据进行了测量：如图，立柱AB的长为125cm，支架CD、CE的长分别为60cm、40cm，支点C到立柱顶点B的距离为25cm．支架CD，CE与立柱AB的夹角∠BCD=∠BCE=45°，转盘的直径FG=MN=60cm，D，E分别是FG，MN的中点，且CD⊥FG，CE⊥MN，则两个转盘的最低点F，N距离地面的高度差为_____cm．（结果保留根号）

12．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1，点P是线段BD上的一点，联结CP，将△BCP沿着直线CP翻折，若点B落在边AD上的点E处，且EP//AB，则AB的长等于________．

13．若反比例函数y＝﹣的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____．
14．若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．
15．如果将“概率”的英文单词 probability中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母b的概率是________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．

17．如图，△ABC中，AB=AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC=90°，∠CAD=∠CAB=26°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF等于__________°．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
(1)甲，乙两组工作一天，商店各应付多少钱?
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少?
(3)若装修完后，商店每天可贏利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.(可用(1)(2)问的条件及结论)
19．（5分）某校为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，随机抽取一部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了以下两幅不完整的统计图：

请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）共抽取　 　名学生进行问卷调查；
（2）补全条形统计图，求出扇形统计图中“足球”所对应的圆心角的度数；
（3）该校共有3000名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数．
（4）甲乙两名学生各选一项球类运动，请求出甲乙两人选同一项球类运动的概率．
20．（8分）（1）计算：（﹣2）﹣2+cos60°﹣（﹣2）0；
（2）化简：（a﹣）÷ ．
21．（10分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参考数据：sin53°≈,cos53°≈，tan53°≈)

22．（10分）问题探究
(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为　 　；
(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；
问题解决
(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．

23．（12分）如图，已知点E,F分别是□ABCD的边BC,AD上的中点，且∠BAC=90°．

（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．
24．（14分）已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、C
【解析】
连接,交于点设则根据△AMN的面积为4，列出方程求出的值，再计算半径即可.
【详解】
连接,交于点

内切于正方形 为的切线，
经过点 为等腰直角三角形，

为的切线，

设则
△AMN的面积为4，
则
即解得

故选:C.
【点睛】
考查圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，综合性比较强.
2、A
【解析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
tan60°=
故选：A．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3、C
【解析】
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
【详解】
解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，

此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=10°，
∵∠OP1B=10°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，\
∴P1C=P1B，
∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是1．
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
4、B
【解析】
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.
【详解】
A.当a=0时， y=ax2+bx+c= bx+c，不是二次函数，故不符合题意；
B. y=x（x﹣1）=x2-x，是二次函数，故符合题意；
C. 的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；
D. y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.
5、A
【解析】
试题分析：充分利用图形，直接从图上得出x的取值范围．
由图可知，当y＜1时，x＜-4，故选C.
考点：本题考查的是一次函数的图象
点评：解答本题的关键是掌握在x轴下方的部分y＜1，在x轴上方的部分y＞1．
6、A
【解析】
如图，运用矩形的性质首先证明CN=3，∠C=90°；运用翻折变换的性质证明BM=MN（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，即可解决问题．
【详解】
如图，

由题意得：BM=MN（设为λ），CN=DN=3；
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=9，∠C=90°，MC=9-λ；
由勾股定理得：λ2=（9-λ）2+32，
解得：λ=5，
∴五边形ABMND的周长=6+5+5+3+9=28，
故选A．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
7、D
【解析】
由图可知：第①个图案有三角形1个，第②图案有三角形1+3＝4个，第③个图案有三角形1+3+4＝8个，第④个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），由此得出规律解决问题．
【详解】
解：解：∵第①个图案有三角形1个，
第②图案有三角形1+3＝4个，
第③个图案有三角形1+3+4＝8个，
…
∴第n个图案有三角形4（n﹣1）个（n＞1时），
则第⑦个图中三角形的个数是4×（7﹣1）＝24个，
故选D．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据给定图形中三角形的个数，找出an＝4（n﹣1）是解题的关键．
8、D
【解析】
由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【详解】
∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，
解得：m＜1．
故选D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
9、A
【解析】
函数→一次函数的图像及性质
10、D
【解析】
解不等式得到x≥m+3，再列出关于m的不等式求解.
【详解】
≤﹣1，
m﹣1x≤﹣6，
﹣1x≤﹣m﹣6，
x≥m+3，
∵关于x的一元一次不等式≤﹣1的解集为x≥4，
∴m+3=4，解得m=1．
故选D．
考点：不等式的解集

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、10
【解析】
作FP⊥地面于P，CJ⊥PF于J，FQ∥PA交CD于Q，QH⊥CJ于H．NT⊥地面于T．解直角三角形求出FP、NT即可解决问题．
【详解】
解：作FP⊥地面于P，CJ⊥PF于J，FQ∥PA交CD于Q，QH⊥CJ于H．NT⊥地面于T．
由题意△QDF，△QCH都是等腰直角三角形，四边形FQHJ是矩形，
∴DF＝DQ＝30cm，CQ＝CD−DQ＝60−30＝30cm，
∴FJ＝QH＝15cm，
∵AC＝AB−BC＝125−25＝100cm，
∴PF＝（15＋100）cm，
同法可求：NT＝（100＋5），
∴两个转盘的最低点F，N距离地面的高度差为＝（15＋100）-（100＋5）=10

故答案为: 10
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
12、
【解析】
设CD=AB=a，利用勾股定理可得到Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=1-2a2，Rt△DEP中，DE2=PD2-PE2=1-2PE，进而得出PE=a2，再根据△DEP∽△DAB，即可得到，即，可得，即可得到AB的长等于．
【详解】
如图，设CD=AB=a，则BC2=BD2-CD2=1-a2，

由折叠可得，CE=BC，BP=EP，
∴CE2=1-a2，
∴Rt△CDE中，DE2=CE2-CD2=1-2a2，
∵PE∥AB，∠A=90°，
∴∠PED=90°，
∴Rt△DEP中，DE2=PD2-PE2=（1-PE）2-PE2=1-2PE，
∴PE=a2，
∵PE∥AB，
∴△DEP∽△DAB，
∴，即，
∴，
即a2+a-1=0，
解得（舍去），
∴AB的长等于AB=.
故答案为.
13、﹣2
【解析】
∵反比例函数的图象过点A（m，3），
∴，解得.
14、
【解析】
由于分式的分母不能为2，x-1在分母上，因此x-1≠2，解得x．
解：∵分式有意义，
∴x-1≠2，即x≠1．
故答案为x≠1．
本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为2．
15、
【解析】
分析：让英文单词probability中字母b的个数除以字母的总个数即为所求的概率．
详解：∵英文单词probability中，一共有11个字母，其中字母b有2个，∴任取一张，那么取到字母b的概率为．
故答案为．
点睛：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
16、（4，2）．
【解析】
利用图象旋转和平移可以得到结果.
【详解】
解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，
则BD′=OD=2，
∴点D坐标为（4，6）；
当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，
∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），
故答案为（4，2）．

【点睛】
平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.
定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.
17、
【解析】
E、F分别是BC、AC的中点.
，
∠CAB=26°

又

∠CAD =26°





!

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；（2）单独请乙组需要的费用少；（3）甲乙合作施工更有利于商店.
【解析】
（1）设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元，根据总费用与时间的关系建立方程组求出其解即可；
（2）由甲乙单独完成需要的时间，再结合（1）求出甲、乙两组单独完成的费用进行比较就可以得出结论；
（3）先比较甲、乙单独装修的时间和费用谁对商店经营有利，再比较合作装修与甲单独装修对商店的有利经营情况，从而可以得出结论．
【详解】
解：(1)设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元.
由题意得：
解得：
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元
(2)单独请甲组需要的费用：300×12=3600元.
单独请乙组需要的费用：24×140=3360元.
答：单独请乙组需要的费用少.
(3)请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12=2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200X24=4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8=1600元，相当于损失5120元；
因为5120