2022年上海市宝山区中考数学二模试卷（含解析）
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一．选择题（本题共6小题，共24分）
- 下列各运算中，正确的运算是
A. B.
C. D.
- 若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围
A. B. C. D.
- 成人每天维生素的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为
A. B. C. D.
- 若数轴上表示和的两点分别是点和点，则、两点之间距离是
A. B. C. D.
- 如图，已知与都是等边三角形，点在边上不与点、重合，与相交于点，那么与相似的三角形是
A.
B.
C.
D.
- 下列命题中正确的是
- 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是等腰梯形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
二．选择题（本题共12小题，共48分）
- 若，则代数式的值为______．
- 化简：______．
- 如果一个数的平方等于，那么这个数是______．
- 方程的解是______．
- 如果反比例函数是常数，的图象经过点，那么当时，的值随的值增大而______填“增大”或“减小”
- 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两袋子重量忽略不计，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为______．
- 在一张边长为的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为______．
- 董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图小于天；天；天；天，则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是______．
- 如图，点、、在同一直线上，，，如果，那么______．
- 如图，在中，，，是的平分线，如果，那么______用表示．
|
- 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，那么：的值是______．
- 如图，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”如图，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______．
三．计算题（本题共1小题，共10分）
- 计算：
四．解答题（本题共6小题，共68分）
- 解方程组：．
- 如图，在梯形中，，，，，
求的长；
若的平分线交于点，连接，求的正切值．
|
- 如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量千瓦时，关于已行驶路程千米的函数图象．
根据图象，蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已经行驶的路程为______千米．当时，消耗千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为______千米．
当时，求关于的函数表达式，并计算当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量．
- 已知：如图，在平行四边形中，、交于点，点在的延长线上，联结、，且．
求证：；
如果，求证：平行四边形是矩形．
- 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点点在轴的正半轴上，与轴交于点，已知．
求顶点和点的坐标；
将抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线与轴交于点，求点的坐标和的面积；
如果点在原抛物线的对称轴上，当与相似时，求点的坐标．
- 如图，在半径为的圆中，、都是圆的半径，且，点是劣弧上的一个动点点不与点、重合，延长交射线于点．
当点为线段中点时，求的大小；
如果设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；
当时，点在线段上，且，点是射线上一点，射线与射线交于点，如果以点、、为顶点的三角形与相似，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、，所以选项正确；
C、，所以选项错误；
D、，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对进行判断；根据同底数幂的除法法则对进行判断；根据完全平方公式对进行判断．
本题考查了完全平方公式：也考查了整式的运算和二次根式的加减法．
2.【答案】
【解析】解：方程的解是负数，
，
解得：，
故选：．
根据方程的解为负数得出，解之即可得．
本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式的能力，根据题意列出不等式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与的个数的关系要掌握好．
本题用科学记数法的知识即可解答．
【解答】
解：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：数轴上表示和的两点分别是点和点，
、两点之间距离是，
故选：．
根据数轴的基本性质即可求解．
本题考查数轴和两点间的距离，解题的关键是数轴的基本特征．
5.【答案】
【解析】解：与都是等边三角形，
，
，
∽，
与相似的三角形是，
故选：．
根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一组对边相等，另一组对边平行的四边形是等腰梯形或平行四边形，原说法错误，故本选项不合题意；
B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，原说法错误，故本选项不合题意；
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，故本选项不合题意；
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
选项A根据等腰梯形的判定方法判断即可；选项B根据矩形的判定方法判断即可；选项C根据正方形的判定方法判断即可；选项D根据菱形的判定方法判断即可．
本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定，正方形的判定以及菱形的判定，掌握相关四边形的判定方法是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．由，可得，代入所求代数式即可．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：
8.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可．
此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出最简公分母．
9.【答案】
【解析】解：
这个数是．
故答案是：
根据平方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根的定义，一个正数的平方根有两个，这两个互为相反数．
10.【答案】
【解析】
【分析】
两边平方得出关于的整式方程，解之求得的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的的值，可得答案．
本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：平方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
【解答】
解：两边平方得，
则或，
解得：或，
又，
解得：，
则，
故答案为：．
11.【答案】增大
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
当时，的值随的值增大而增大，
故答案为：增大．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，根据反比例函数的性质解答即可．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数中，当，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，由题意得：
，
故答案为：．
根据题意可得等量关系：枚黄金的重量枚白银的重量；枚白银的重量枚黄金的重量枚白银的重量枚黄金的重量两，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何概率的求法：注意圆、正方形的面积计算．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
根据题意，求得正方形与圆的面积，相比可得答案．
【解答】
解：根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；
由题意可得：正方形纸边长为，其面积为，
圆的半径为，其面积为，
故其概率为．
14.【答案】
【解析】解：被调查的总人数为人，
类别人数为人，
则扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是，
故答案为：．
先由类别人数及其所占百分比求得总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出类别人数，继而用乘以类别人数占总人数的比例即可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
由，，求得的度数，又由，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16.【答案】
【解析】
【分析】
首先证明，推出即可解决问题．
本题考查平面向量，解题的关键是证明，属于中考常考题型．
【解答】
解：在中，，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：过点作于，作的垂直平分线交于点、交于，
在中，，，
则，
解得：，
由勾股定理得：，
在中，，
则，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
过点作于，作的垂直平分线交于点、交于，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是解直角三角形、平行线分线段成比例定理，根据余弦的定义求出是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，，
，，
点是的一个“布洛卡点”，
，
，
∽，
，
，，
，
故答案为：．
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：，
由得：，
或，
则或，
解得，．
【解析】利用十字相乘法把方程的左边因式分解，组成两个二元一次方程组，解二元一次方程组即可．
本题考查的是二元二次方程组的解法，把方程的左边正确进行因式分解是解题的关键．
21.【答案】过点作垂足为，
由题意得，，分
，，分
在中解得，分
设，由，，，
得≌，
，分
，在中，，得分
分
【解析】过点作垂足为，求得的长后在中解得的长后即可得到答案；
证得≌后，在中利用勾股定理求得的长后利用锐角三角函数的定义可以求的正切值．
本题考查了梯形的性质、勾股定理及锐角三角函数的知识，解题的关键是利用梯形的性质得到进一步解题的条件．
22.【答案】解： ，；
设，把点，代入，
得，解得，
，
当时，，
答：当时，函数表达式为，当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量为千瓦时．
【解析】解：由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已行驶了千米．
千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：千米，
故答案为：；．
见答案。
由图象可知，蓄电池剩余电量为千瓦时时汽车已行驶了千米，据此即可求出千瓦时的电量汽车能行驶的路程；
运用待定系数法求出关于的函数表达式，再把代入即可求出当汽车已行驶千米时，蓄电池的剩余电量．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键：熟练运用待定系数法就解析式；找出剩余油量相同时行驶的距离．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
23.【答案】解：证明：平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
，
∽，
；
∽，
，
在平行四边形中，，
，
，
又，
，
是等腰三角形，
，
，
即，
，
平行四边形是矩形．
【解析】由已知条件和平行四边形的性质易证∽，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：；
由可得，又因为，所以可证明，再由等腰三角形的性质可得，所以，进而可证明平行四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中小题证明是等腰三角形是解题的关键．
24.【答案】解：根据题意可画出函数图象，
令可得，
，即．
在中，，
，
，
．
将点的坐标代入抛物线解析式可得，，解得．
抛物线的解析式为：．
顶点，
令，即，
或，
．
将中抛物线向右平移个单位，得到的新抛物线．
令，则．
连接并延长交轴于点，
直线的解析式为：，
，
．
在中，，，，，
，．
如图，过点作垂直于原抛物线的对称轴，
，，
，．
，
若与相似，则：：或：：，
设，则，
：：或：：，
解得或．
或
【解析】根据题意可画出函数图象，由可得，令可得，进而可得，即，由此可得，将点的坐标代入抛物线解析式可求出的值，化作顶点式可求出点的坐标；令，可求出的值，进而可得出点的坐标；
根据抛物线的平移可求出新抛物线，令，可得出点的坐标，利用三角形的面积公式可求出的面积；
过点作垂直于原抛物线的对称轴，可得出和的长，进而可得出，由与相似可得，：：或：：，由此可得出点的坐标．
本题属于二次函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角函数值，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识．第问得出是解题关键．
25.【答案】解：如图，连接，
点为线段中点，，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
如图，连接，，过点作于点，
，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
点是劣弧上的一个动点点不与点、重合，
，
，
，
关于的函数解析式为，定义域为；
如图，
当时，由可知，，
，，
，，，
∽，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
∽，
．
【解析】利用直角三角形的性质得出，进而证明是等边三角形，得出，即可求出；
连接，，过点作于点，由等腰三角形的性质及勾股定理得出，，再证明∽，得出，即可得出，由点是劣弧上的一个动点点不与点、重合，得出，即可求出定义域；
当时，由可知，，进而得出，，，由∽，可证明∽，得出，可得，得出，由相似三角形的性质得出．
本题考查了圆的综合应用，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
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