2022年江西省抚州市乐安县中考数学一模试卷（含解析）

2022年江西省抚州市乐安县中考数学一模试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 计算的结果为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，平分，若，那么度数为

A.
B.
C.
D.

5. 已知直线与抛物线在坐标系中如图所示，和是方程的两个根，且，则函数在坐标系中的图象大致为

A.
B.
C.
D.
 

6. 在数学活动课中，我们学习过平面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点拼在一起，形成一个平面图案，则可拼出的不同图案共有

1. 种 B. 种 C. 种 D. 种

二．填空题（本题共6小题，共18分）

7. 因式分解：______．
8. 年月日，年春运正式开启，本次春运从月日一直持续到月日，共天，而在春运期间，全国预计发送旅客人次，相比去年提升了，将数据用科学记数法表示为______．
9. 中国古代的算筹计数法可追溯到公元前世纪．摆法有纵式和横式两种如图所示，以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示，表示，则表示______．

10. 已知，是一元二次方程的两根，则代数式的值等于______．
11. 如图，将一张边长为的正方形的纸片图，将其沿虚线对折一次得图，再沿图中的虚线对折得图，然后用剪刀沿图中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形的面积为______．

12. 如图，在中，，，，点为的中点，点为上一点，把沿翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为______．

三．解答题（本题共11小题，共86分）

13. 计算：；
    已知：如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且平分，求证：四边形是菱形．
    
    
    
    
    
    
     
14. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
    
    
    
    
    
    
    
     
15. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测温进校的防控要求．我校开设了、、三个测温通道，某天早晨，小颖和小明将随机通过测温通道进入校园．
    小颖通过通道进入校园的概率是______；
    利用画树状图或列表的方法，求小颖和小明通过同一通道进入校园的概率．
    
    
    
    
    
    
     
16. 如图，、、均为上的点，且，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．
    在图中，在圆上取点，使；
    在图中，作出的一个余角．
    
    ______ 为所求；______ 为所求．

17. 疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进、两种口罩，型口罩的每盒进价是型口罩的两倍少元．用元购进型口罩的盒数与用元购进型口罩盒数相同．
    ，型口罩每盒进价分别为多少元？
    经市场调查表明，型口罩更受欢迎，当每盒型口罩售价为元时，日均销量为盒，型口罩每盒售价每增加元，日均销量减少盒．当型口罩每盒售价多少元时，销售型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
    
    
    
    
    
    
     
18. 某校要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间单位：进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表和扇形统计图：

请根据图表信息回答下列问题：
本次被抽取的七年级学生共有______名；
统计图表中，______；
扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是______；
请估计该校名七年级学生中睡眠不足小时的人数．






 

19. 如图，反比例函数与直线的图象相交于，两点，其中点，且．
    求反比例函数解析式．
    求直线解析式．
    请根据图象，直接写出当时，的取值范围．

20. 小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图所示，已知电脑显示屏与底板的夹角为，，于点，．
    求的度数；
    若保持显示屏与底板的夹角不变，将电脑平放在桌面上如图中的所示，则显示屏顶部比原来顶部大约下降了多少？参考数据：结果精确到参考数据：，，
    ，，

21. 如图，在中，以为直径的与边、分别交于、两点，恰好是的中点，过点作于点．
    求证：是的切线．
    若，，求阴影部分的面积．
     

22. 定义：已知，一次函数和二次函数若为实数则称和的“函数”．
    若，和的“函数”为，求的解析式．
    设一次函数和二次函数．
    求和的“函数”解析式用含的代数式表示．
    不论取何值，和的“函数”是否都过某定点，若是求出定点坐标；若否，请说明理由．
    不论取何值，若二次函数上的点关于轴对称的点始终在和的“函数”上，求点坐标．
    
    
    
    
    
    
     

综合与实践
如图，已知点在正方形的对角线上，，垂足为，，垂足为．

【证明与推断】
四边形的形状是______；
的值为______；
【探究与证明】
在图的基础上，将正方形绕点按顺时针方向旋转角，如图所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
如图，在的条件下，正方形在旋转过程中，当、、三点共线时，探究和的位置关系，并说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
 

3.【答案】
 

【解析】解：

，
故选：．
根据同分母的分式减法法则求出即可．
本题考查了分式的加减，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
平分，，
，即，
．
故选C
由与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，根据为角平分线得到一对角相等，即可确定出度数．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由图象可得：，，，对称轴，
，
的两个根，且，
，
，异号，
，
，，
故函数的图象经过一三四象限．
故选：．
根据函数图象可得，，，根据对称轴判断的符号，然后根据和是方程的两个根，且，结合根与系数的关系判断与的符号，即可确定函数在坐标系中的大致图象．
本题考查了正比例函数，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确判断与的符号是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：正三角形的内角为，正六边形的内角为，
围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，则共拼出，，共种不同的图案；
故选：．
正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
本题考查了平面镶嵌密铺，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
 

7.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：由题意可知，表示．
故答案为：．
根据算筹表示数字的规则，依次寻找表格中对应的数字即可．
本题考查正数与负数，此类题目读懂规则，注意对应关系，属于基础题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，，
所以．
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，整理得：，代入计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

11.【答案】
 

【解析】解：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，如图所示，

用剪刀沿图中两边的三等分点连线剪掉一个角后再打开，打开后的几何图形如图所示：

，
，
，
打开后的几何图形的面积．
故答案为：．
严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．进而即可求出打开后的几何图形的面积．
本题主要考查剪纸问题，解决本题的关键是考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
 

12.【答案】或或
 

【解析】解：当，且在下方时，如图：

，是中点，
，
沿翻折得到，
，，
在中，，
，
在中，，
；
当，且在上方时，如图：

沿翻折得到，
，，
在中，，
，
在中，，
；
当时，如图：

，
，
，
沿翻折得到，
，，，
，
，
，
综上所述，的长为：或或，
故答案为：或或．
分三种情况：：当，且在下方时，由，是中点，沿翻折得到，可得，，从而，在中，；当，且在上方时，由沿翻折得到，得，，，在中，，可得；当时，由，得，根据沿翻折得到，有，，，故，，从而．
本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是分类画出图形，熟练运用含角的直角三角形三边的关系．
 

13.【答案】解：


；
证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
 

【解析】由二次根式的性质、零指数幂的定义以及特殊角的三角函数值进行计算即可；
先证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得，可得结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定以及实数的运算等知识，证明是解题的关键．
 

14.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：小颖从测温通道通过的概率为，
故答案为：；
列表格如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中小颖和小明从同一个测温通道通过的有种可能，
所以小颖和小明从同一个测温通道通过的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作．

作所对的圆周角，利用，则，所以，而根据圆周角定理得到，所以；
连接，利用，则，则根据垂径定理得到，所以．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和垂径定理．
 

17.【答案】解：设型口罩的每盒进价是元，则型口罩每盒进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：型口罩的每盒进价是元，型口罩每盒进价是元；
设型口罩每盒售价是元，销售型口罩所得日均总利润为元，
根据题意得：，
，
时，取得最大值，最大值是元，
答：当型口罩每盒售价元时，销售型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为元．
 

【解析】设型口罩的每盒进价是元，则型口罩每盒进价是元，可得，即可解出答案；
设型口罩每盒售价是元，销售型口罩所得日均总利润为元，可得，由二次函数性质可得答案．
本题考查分式方程及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

18.【答案】   
 

【解析】解：本次调查的同学共有：人，
故答案为：；
，
故答案为：；
扇形统计图中组所在扇形的圆心角的大小是：，
故答案为：；
人，
答：估计该校名七年级学生中睡眠不足小时的人数有人．
根据组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
根据频数分布表中的数据，即可计算出的值；
根据组的频率可计算出扇形统计图中组所在扇形的圆心角的大小；
根据每天睡眠时长低于小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于小时的人数
本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为；
作轴于，轴于，则，
∽，
，
点，
，
，
，
，
的纵坐标为，
把代入得，，
，
把、代入得，
解得，
直线解析式为；
由图象可知，当时，的取值范围是．
 

【解析】根据待定系数法即可求得；
作轴于，轴于，则，得出∽，根据相似三角形的性质求得，进而求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
观察图象即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得的坐标以及数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】解：于点，，，
在中，．
；
如图，过点作，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
，，，
，
在中，，
，

，
，
在中，
，

答：显示屏顶部比原来顶部大约下降了．
 

【解析】在直角三角形中，求出的正弦值即可求出的度数；
过点作，过点作于点，过点作，交的延长线于点，求出的值即可得到显示屏顶部比原来顶部下降了多少．
本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

21.【答案】证明：如图，连接，
恰好是的中点，
，
，
是的中位线，
，
于点，
，
经过的半径的端点，且，
是的切线；
解：如图，连接，则，
，
是等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积为．
 

【解析】如图，连接，由恰好是的中点，得到，得到是的中位线，根据三角形中位线定理得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
连接，则，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
此题考查圆的切线的判定和性质，等腰三角形的性质、求扇形和三角形的面积等知识与方法，解题的关键是作经过切点的半径．
 

22.【答案】解：，和的“函数”为，
，
，
；
和的“函数”，
；
，
当时，，
不论取何值，和的“函数”都过定点；
点关于轴对称的对称点为，
把代入得，
函数过点，
不论取何值，二次函数上的点关于轴对称的点始终在和的“函数”上，
点为，点为．
 

【解析】根据题意得到，整理得到；
直接利用为实数得到即可；
函数化为，即可得到结论；
由可知和的“函数”都过定点，而点关于轴的对称点在上，从而求得为．
本题主要考查了新定义，二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据新定义，求出新的函数．
 

23.【答案】正方形 
 

【解析】解：正方形    ．
理由：如图中，四边形是正方形，
，，
、，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是正方形，
，，
，
．
故答案为：正方形，．


结论：，
理由：如图中，连接由旋转可得，

四边形是正方形，
，，
为等腰直角三角形，
，
由得四边形是正方形，
，，
为等腰直角三角形．
，
，
∽，
，
线段与之间的数量关系为；

结论：，
理由：如图中，连接，

，点、、三点共线，
．
∽，
．
，
点，，三点共线，
，
．
根据正方形的判定和性质解决问题即可；
结论：证明∽，可得；
结论：，证明，可得结论．
本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、正确寻找相似三角形解决问题．