七年数学暑期作业系列之绝对值专项训练及解析学案

七年数学暑期作业系列之

绝对值专项训练及解析

（一)知识整理

绝对值定义：

在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

绝对值用“||”来表示。

在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。

绝对值的意义：

1、几何的意义：

在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。

2、代数的意义：

非负数（正数和0,）

非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。

实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。

互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。

若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.

绝对值的有关性质：

①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；

②绝对值等于0的数只有一个，就是0；

③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；

④互为相反数的两个数的绝对值相等。

绝对值的化简：

绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。

①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：

│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）

②整数就找到这两个数的相同因数；

③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；

④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。

(二）专项训练

1、若|-x|=2，则x=______；若|x-2|=0，则x=______；若|x+1|=2，则x=______．

【答案】

∵|-x|=2，

∴-x=±2，

∴x=±2；

∵|x-2|=0，

∴x-2=0，

∴x=2；

∵|x+1|=2，

∴x+1=±2，

∴x=1或-3．

故答案为±2；2；1或-3．

2、已知|x|=5，|y|=4，且x＞y，则2x-y的值为（　　）

A．+6 B．±6 C．+14 D．+6或+14

【答案】

∵|x|=5，|y|=4且x＞y

∴x必大于于0，x=5．

所以当y=4时，x=5，代入2x-y=2×5-4=6．

当y=-4时，x=5，代入2x-y=2×5-（-4）=14．

所以2x-y=6或+14．

故选D．

3、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示且|a|=|b|

（1）求a+b与 a b 值；

（2）化简|a|-|a+b|-|c-b|-|-b|．

【答案】

（1）∵a＞0，b＜0，|a|=|b|，

∴a+b=0， a b =-1；

（2）原式=a-0+c-b-（-b）

=a+c-b+b

=a+c．

4、|-2|=（　　）

A．2 B．-2

C．±2 D．以上都不正确

【答案】

|-2|=-（-2）=2．

故选A．

5、-5的相反数是______；|-5|=______，不小于-2的负整数是______．

【答案】-5的相反数是5；|-5|=5，不小于-2的负整数是-2、-1，

故【答案】为：5，5，-2，-1．

6、若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a-c|-|b+c|可化简为______．

【答案】

∵a＜0，b＜0，c＞0，

∴|a-c|=c-a，|b+c|=b+c，

∴原式=c-a-b-c=-a-b．

7、已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（　　）

A．-3a B．2c-a C．2a-2b D．b

【答案】

|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a

故选A．

8、设y1=|2+x|，y2=2-|x|，当y1=y2时，x的取值范围是______．

【答案】若y1=y2，即|2+x|=2-|x|，

化简可得|x+2|+|x|=2，

根据绝对值的意义，即x表示的点到原点与-2表示的点的距离之和为2，

观察数轴，分析可得必有-2≤x≤0，

故答案为-2≤x≤0．

9、若x=1，则|x-4|=（　　）

A．3 B．-3 C．5 D．-5

【答案】

∵x=1，

∴|x-4|=|1-4|=|-3|=3．

故选A．

10、已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a-1|+|a|的结果为（　　）

A．1 B．-1 C．1-2a D．2a-1

【答案】

∵由数轴上a点的位置可知，0＜a＜1，

∴a-1＜0，

∴原式=1-a+a=1．

故选A．

11、绝对值小于3的负整数有______个，整数有______个．

【答案】

根据绝对值的定义，则绝对值小于3的负整数是-2，-1两个，整数有-2，-1，0，1，2五个．

故答案为：2，5；

12、相反数等于它本身的数是______，绝对值等于它本身的数是______，任意一个数的绝对值都是______．

【答案】

相反数等于它本身的数是0，绝对值等于它本身的数是非负数，任意一个数的绝对值都是非负数．

故【答案】为0，非负数，非负数．

13、已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|-|a+c|-|1-b|+|-a-b|

【答案】

∵a、c在原点的左侧，a＜-1，

∴a＜0，c＜0，

∴2a＜0，a+c＜0，

∵0＜b＜1，

∴1-b＞0，

∵a＜-1，

∴-a-b＞0

∴原式=-2a+（a+c）-（1-b）+（-a-b）

=-2a+a+c-1+b-a-b

=-2a+c-1．

故答案为：-2a+c-1．

14、若m是有理数，则|m|+m的值（　　）

A．是负数 B．是非负数 C．必是正数 D．无法确定

【答案】

①当m＞0时，原式=m+m=2m＞0；

②当m=0时，原式=0+0=0；

③当m＜0时，原式=-m+m=0．

∴|m|+m的值大于等于0，

即为非负数，

故选B．

15、若x＞0，y＜0，求|x-y+2|-|y-x-3|的值．

【答案】

∵x＞0，y＜0，

∴x-y+2＞0，y-x-3＜0，

∴|x-y+2|-|y-x-3|，

=x-y+2+y-x-3，

=-1．

16、m与n表示在数轴上的位置如图所示，则|m+n|化简结果为（　　）

A．m+n B．m-n C．n-m D．-m-n

【答案】

由图可知，m＜0，n＜0，

∴|m+n|=-m-n．

故选D．

17、判断下列结论正确的是（　　）

A．绝对值等于其本身的数只有0

B．相反数等于其本身的数只有0

C．倒数等于其本身的数只有1

D．平方等于其本身的数有1、-1

【答案】

A、绝对值等于其本身的数有0和正数，所以A选项错误；

B、相反数等于其本身的数只有0，所以B选项正确；

C、倒数等于其本身的数只有±1，所以C选项错误；

D、平方等于其本身的数有0，±1，所以D选项错误．

故选B．

18、表示a、b两数的点在数轴上的位置如图，则|a-1|+|1+b|=______．

【答案】

由数轴可知：a＜1，b＜-1，

所以a-1＜0，1+b＜0，

故|a-1|+|1+b|=1-a-1-b=-a-b．

19、设a＜b＜c＜d，求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值．

【答案】

设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则|x-a|表示线段AX之长，同理，|x-b|，|x-c|，|x-d|分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求|x-a|，|x-b|，|x-c|，|x-d|之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．

因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图所示：

所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，

即（d-a）+（c-b）．

20、已知a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，化简：|a|-|b|=______，|c-b|=______．

【答案】

由图可知，a＜0，b＜0，c＞0，

∴|a|-|b|=-a-（-b）=b-a，

|c-b|=c-b．

故答案为：b-a；c-b．