2022成都七中高三下学期三诊模拟考试数学（理）含答案

成都七中高2019级三诊模拟数学（理科）答案

命题人：税洪  审题人：杜家忠

一､选择题：CBCDB  BDDDA

D【详解】显然直线不满足条件，故可设直线：，

，，由，得，

，解得或，

，，

，，

，

解得，直线的斜率的取值范围为.故选：D.

B【解析】原不等式可化为，

设，则直线过定点，

由题意得函数的图象在直线的下方．

∵，∴．

设直线与曲线相切于点，

则有，消去整理得，解得或（舍去），故切线的斜率为，解得．

又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时， ，由解得．

当直线绕着点旋转时可得，

故实数的取值范围是．选B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 144    14.    15.

【详解】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，

如图所示，则，且的最大值是，

所以，所以的最小值是，即到的距离为，

所以，因为，在中可得，即可得,

取的外接圆圆心为，作，所以，解得，所以,

取为的中点，所以，由勾股定理得，

所以三棱锥的外接球的表面积是.

16． ①③④

【解析】对于①，如图：

任取，

当，，

当，，，

，，恒成立，故①正确；

对于②，，，

，故②错误；

对于③，的零点的个数问题，

分别画出和的图像，如图：

和图像由三个交点，的零点的个数为，

故③正确；

对于④，设，，

，，，

令在，，可得，

当时，，，，，

若任意，不等式恒成立，

即，可得，

求证：当时，，化简可得，

设函数，则，

当时，单调递增，可得，

，，即，

综上所述，对任意，不等式恒成立，故④正确，故答案为①③④．

三、解答题：

17. 解：（1）由已知得，，则，所以．

又，所以，

又，所以.

所以，即，

所以.

（2）因为，所以，所以．

当时，；

当时，.

所以，或.

18．（1）证明：是边长为1的等边三角形，

，，

是的中点，，即△是等腰三角形，

，从而，即．

平面，且平面，，

又，平面，平面，平面，

平面，．

（2）解：连接，，．

以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，，，，

，，，，．

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，，3，，

由（1）知，平面的一个法向量为，，，

，，

由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为．

19．解:（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，

则；

该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则.

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，

根据题意可知，，则，

报考乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.

，

，

，

，

随机变量的分布列：

，

因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，

所以的范围为：.

20．解: （1）椭圆：的离心率为

，可得 故

右焦点到直线的距离为.

①当时，将代入

可得整理可得：

即解得：（舍去）或

由，可得，即根据可得：
椭圆的方程为：

②当时，将代入

可得

整理可得：

方程无解

椭圆的方程为：

（2）过点作与坐标轴不垂直的直线

设直线的方程为

联立直线的方程和椭圆方程可得：，消掉

可得：   

根据韦达定理可得：

设线段的中点，

则，

是正三角形且

根据，可得

由可得：可得：，解得：

设，将其代入

可得,可得

故在轴上是存在点，使得为正三角形，坐标为，

21. 解：（1）设直线与相切于点．

因为，所以  所以．

又因为P在切线上，所以

所以，，

因此.

设，

则由 解得.

所以在上单调递增，在上单调递减，可知的最大值为，

所以的最大值为.

（2）方法1：原方程即为，

设，则上述方程等价于．

设，则函数需有两个不同的零点．

因为在上单调递减，

且在上存在唯一实根，

即，即．

所以当时，，当时，．

因此在上单调递增，在上单调递减．

若，则．

，

不合题意，舍去．

若，则．

当时，则，

取，则；

当时，则，

取，则．

由此，且，.

要使函数有两个不同的零点，

则只需，所以只需.

因为是关于的增函数．且，

所以存在使得，所以当时，．

因为是关于的减函数，所以

又因为，所以的最大整数值为．

方法2：原方程即为，设，

则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，

即关于方程）有两个不同的解．

设，则.

设，

由知，所以

在区间上单调递减，又，

所以存在使得.

当时，，；当时，，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所照．

要使得关于的方程有两个不同的解，则.

当时，设，

则，可知在上单调递增，

在单调递减．

又，，，

有两个不同的零点，符合题意．所以的最大整数值为．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22.解：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．

（1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．

代入曲线的普通方程，得，则，

所以，点的坐标为．

（2）将代入，得，

因为，，所以．

得．由于，故．

所以直线的斜率为．

23． 解:（1）由题意知恒成立，即恒成立，

可得函数在上是增函数，在上是减函数，

所以，则，

即，整理得，解得，

综上实数的取值范围是.

（2）由，知，

即，

所以要证，

只需证，即证，

又

，

成立.