2022北京西城区高三下学期二模考试数学试题含答案

这是一份2022北京西城区高三下学期二模考试数学试题含答案，共16页。
西 城 区 高 三 模 拟 测 试 试 卷                数  学            2022.5 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）  （B）（C）  （D）（2）已知双曲线的焦点分别为，，双曲线上一点P满足，则该双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）（3）已知为等差数列，首项，公差，若，则（A）  （B） （C）  （D）（4）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（A）  （B） （C）  （D）（5）已知直线与圆交于两点，且，则的值为（A） （B） （C） （D） （6）已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（A）  （B） （C）  （D）（7）已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）已知，记关于x的方程的所有实数根的乘积为，则（A）有最大值，无最小值 （B）有最小值，无最大值（C）既有最大值，也有最小值 （D）既无最大值，也无最小值（9）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（A）  （B） （C）  （D）（10）如图为某商铺两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元.图中点的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量，点的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是① 2月两种商品的总销售量最多；② 3月两种商品的总销售量最多；③ 1月两种商品的总利润最多；④ 2月两种商品的总利润最多.（A）①③ （B）①④ （C）②③ （D）②④
第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）二项式的展开式中的系数为，则_____.（12）已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为_____.（13）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为_____；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则_____.（14）已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为_____.（15）已知四棱锥的高为，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：① 四棱锥可能为正四棱锥；② 空间中一定存在到距离都相等的点；③ 可能有平面平面；④ 四棱锥的体积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_____.         三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，证明：.  （17）（本小题13分）2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布．义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分．其中过程性考核40分，现场考试30分．该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开．现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容．某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%．假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立．（Ⅰ）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（Ⅱ）从该区九年级全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，估计这人中恰有人选考1分钟跳绳的概率；（Ⅲ）已知乒乓球考试满分8分．在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分．记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小.（结论不需要证明）
（18）（本小题14分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为的菱形，，点为棱上动点（不与重合），平面与棱交于点. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.    （19）（本小题15分）已知函数.（Ⅰ）若，求a的值；（Ⅱ）当时，①求证：有唯一的极值点；②记的零点为，是否存在a使得？说明理由.
（20）（本小题15分）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点.（Ⅰ）求椭圆的方程和焦距；（Ⅱ）已知分别是椭圆和圆上的动点（不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点. 求线段长度的最小值.  （21）（本小题15分）已知数列，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.（Ⅰ）若数列，求，的值；（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；（Ⅲ）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
 西 城 区 高 三 模 拟 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2022.5 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）A （ 2 ）C （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）B （ 6 ）C （ 7 ）A （ 8 ）D （ 9 ）B （10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13） （14）（答案不唯一） （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以，所以，因为，所以. ┄┄┄┄┄┄ 7分（Ⅱ）因为，所以. 由余弦定理得，所以，即 . ①因为，所以.             ②将②代入①，得，整理得 ，所以.                   ┄┄┄┄┄┄13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）样本中男生选考乒乓球人数为人，女生选考乒乓球人数人.设从该区所有九年级学生中随机抽取1人，该学生选考乒乓球为事件，用频率估计概率，. ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，      设从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，      由题意，的估计值为，的估计值为.      设从该区九年级全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，恰有2人选考跳绳为事件，      则所求概率的估计值为. ┄┄┄┄┄┄ 9分（Ⅲ）. ┄┄┄┄┄┄13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，，       又平面,      所以平面.      又因为平面平面，      所以. ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）选条件①②.连接，取中点，连接，.在菱形中，，所以为等边三角形.又因为为中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，所以.又因为，所以.以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，.所以，.设平面的一个法向量为，则     所以令，则，，故.又因为，.所以直线AB与平面B1BDE所成角的正弦值为.选条件②③.连接，取中点，连接，.在菱形中，，所以为等边三角形.又为中点，故，且.又因为，.所以，所以.又因为，所以平面.以下同选①②.选条件①③取中点，连接，.在中，因为，所以，且，.又因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.在中，.又因为，，所以，所以.以下同选①②.                                 ┄┄┄┄┄┄14分（19）（共15分）解：（Ⅰ），，所以，因为，所以. ┄┄┄┄┄┄ 5分（Ⅱ）①的定义域是， ，令，则.设，因为，在上单调递减，所以在上单调递减.因为，，所以在上有唯一的零点，所以有有唯一解，不妨设为，.与的情况如下：＋0－极大值所以有唯一的极值点.②由题意，，则.若存在，使，则，所以.因为在单调递减，，则需，即，与已知矛盾.所以，不存在使得.  ┄┄┄┄┄┄15分 （20）（共15分）解：（Ⅰ）由题意，，， 所求椭圆方程为 .因为，所以焦距. ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）设且.由题意，设且.因为，所以线段的中点为.又直线的斜率为，所以线段的中垂线的斜率为.故线段的中垂线方程为 .令，得 .由，可得，代入上式，得 ，所以.因为直线的斜率为，所以圆在点处的切线斜率为.所以切线方程为 .令得 ,所以.所以线段长度.（当且仅当，即时等号成立）所以线段长度的最小值为. ┄┄┄┄┄┄15分（21）（共15分）解：（Ⅰ），. ┄┄┄┄┄┄ 4分（Ⅱ）若数列中任意两项互不相等，则当时,由,可知，,当且时,，又,,所以 .综上,,所以，不合题意.所以存在,，使，即.因为，所以.所以.若，则，，不舍题意，舍.若，则数列为：1，1，，1，，符合题意.综上，. ┄┄┄┄┄┄10分（Ⅲ）的所有可能值为.证明如下：因为，所以递增且中各项（即中各项）两两不等，所以同（Ⅱ）可知.由定义，存在因为比中个项大,故，同理，，所以.因为至少比中的一项小，故，同理，.所以.综上，.令,下面证明各值均可取得.①，由是递增数列，此时，,,此时.②当时，令，则，.当时，令，则，，所以  ,,此时,.③给定,令，且,则，，又是递增数列,，，，又是递增数列,，此时,.所以 ，综上，，各值均可取得.                   ┄┄┄15分