2022北京丰台区高三下学期二模考试数学试题含答案

北京市丰台区2021-2022学年度第二学期综合练习（二）

高三数学2022．04

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

2. “”是“”的（）

A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 函数是（）

A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数

C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数

4. 在的展开式中，常数项为

A B.  C. 60 D. 240

5. 已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面，，则下列结论中正确的是（）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

6. 小王每天在6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（）

A. 0.13 B. 0.17 C. 0.21 D. 0.3

7已知，，，则（）

A.  B.

C.  D.

8. 设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（）

A.  B.

C D.

9. 已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

10. 已知双曲线C：（，）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，．以线段为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，与另一条渐近线平行．若，则的面积是（）

A.  B.  C.  D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 已知向量，．若，则______．

12. 已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______．

13. 在中，，，，则______．

14. 在平面直角坐标系中，已知点，动点N满足，记d为点N到直线l：的距离．当m变化时，直线l所过定点的坐标为______；d的最大值为______．

15. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：

①设，则数列是等比数列；

②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；

③常数；

④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 如图，在正三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面．

（1）求证：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

18. 已知数列的前n项和为，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为．若对任意，不等式恒成立，求m的最小值．

条件①：且；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有“幸”字，另外4张卡片上印有“运”字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．

（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率；

（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券金额数，求X的分布列和数学期望；

（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．

22. 已知函数．

（1）当时，求的单调区间和极值；

（2）当时，求证：；

（3）直接写出a的一个取值范围，使得恒成立．

24. 已知椭圆C：经过点，P到椭圆C的两个焦点的距离和为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．

26. 设，，…，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数使得，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点．

（1）已知，为聚合区间，求t的值；

（2）已知，，…，，为聚合区间．

（ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，，使得；

（ⅱ）若对任意p，q（且p，），都有，互不包含．求证：存在不同的i，，使得．

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】D

【9题答案】

【答案】C

【10题答案】

【答案】C

【11题答案】

【答案】

【12题答案】

【答案】

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】    ①.     ②. 6

【15题答案】

【答案】①②④

【16题答案】

【小问1详解】

连接，平面∥平面，

∵平面平面，平面平面，

∴∥.

【小问2详解】

设=2m

以D为坐标原点，AD为x轴，CD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

∴，，，

设平面的法向量为

，

联立方程

解得：，

∴

同理求得平面的法向量

∴

平面与平面夹角的余弦值的余弦值为.

【18题答案】

【答案】（1）

（2）2

【小问1详解】

选条件①：因为，且，即

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列

所以.

选条件②：当时，

当时，

因为当时，上式也成立，

所以.

选条件③：因，得

当时，，得

当时，

整理得

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列

所以.

【小问2详解】

由（1）知，，记

因为，

所以是以1为首项，为公比的等比数列

所以

所以m的最小值为2.

【20题答案】

【小问1详解】

解：记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到4张卡片上都印有“幸”字”为事件，

则，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为；

【小问2详解】

解：依题意随机变量的所有可能取值为、、；

则，

，

，

所以的分布列为：

所以

【小问3详解】

解：记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，

所以，

所以我不愿意再次参加该项抽奖活动；

【22题答案】

【小问1详解】

当时，，则，

令，即，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；

因此在处取得极大值，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值，且极大值为1；

【小问2详解】

要证，即证，

因此设，则，

令，则，

因为，所以，因此单调递减，且，所以时，；当时，；即时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值也是最大值，且，故.

【小问3详解】

要证，即证，

也即是，即证，

令，则，

当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；所以，故，

令，

则

令，则，

，则

所以和时，，则单调递增，时，，则单调递减，且，，，

因此时，，即，所以单调递减，

时，，即，所以单调递增，

所以，即

因此当时，恒成立.

【24题答案】

【小问1详解】

根据椭圆的定义可得，解得，

又过点，所以，解得，

所以椭圆C的方程为.

【小问2详解】

因为，，

所以，，

设直线l的方程为，，

所以，

所以直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，

联立直线AQ与椭圆，消去x可得，

所以，又代入，

整理可得，代入直线AQ，可得

同理可得，，

所以

又，

所以M，N，R三点共线

【26题答案】

【小问1详解】

由可得，又，为聚合区间，由定义可得，故当且仅当时成立，故

【小问2详解】

（ⅰ）由，是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设，因为，故，又，故，不妨设中的最大值为，中最小值为，则，即，故存在区间

（ⅱ）若存在 则或，与已知条件矛盾

不妨设，则

否则，若，则，与已知条件矛盾

取，设

当时，，

又，所以，所以，

即，所以，

此时取，则，

当时，同理可取，使得，

综上，存在不同的i，，使得