2022北京昌平区高三二模数学试题Word含解析

昌平区2022年高三年级第二次统一练习

                    数 学 试 卷              2022.5

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合,则

 （A） （B）

 （C） （D）

（2）若复数满足，则

（A）    （B）           （C）    （D）

（3）为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为

（A） 

（B）       

（C）      

（D）

（4）记为等差数列的前项和，若，则

（A）          （B）          （C）          （D）

（5）已知双曲线的焦距为，其右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为

（A）                     （B）         

（C）                    （D）

（6）“”是“函数在区间上单调递减”的

（A）充分而不必要条件                （B）必要而不充分条件     

（C） 充分必要条件                   （D）既不充分也不必要条件

（7）如图，在正四棱柱中，是底面的中心， 分别是的中点,则下列结论正确的是                

（A）//         

（B）  

（C） //平面      

（D）//平面   

（8）已知直线与圆相交于两点，当变化时，

△的面积的最大值为

 （A）            （B）          （C）           （D）

（9）已知函数，则关于的不等式的解集是

（A）            （B）          （C）           （D）

（10）在△中，只需添加一个条件，即可使△存在且唯一.在条件：①； ②；③中，所有可以选择的条件的序号为

（A） ①        （B）①②        （C）②③        （D）①②③

第二部分（非选择题  共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

 (11) 抛物线的准线方程为__________.

(12) 在的展开式中，常数项为_______.  （请用数字作答）

（13）已知是△的边的中点，,，则

（14）若函数有且仅有两个零点，则实数的一个取值为______.

（15）刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案,则______;图中螺旋形图案的面积为______.

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（16）（本小题13分）

如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

（17)（本小题13分）

已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

(I)求的解析式；

(II)设，若在区间上的最大值为，求的最小值．

条件①：的最小值为；

条件②：的图象经过点；

条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

 (18)（本小题14分）

某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定,其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测,检测结果如下表所示.

（I）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；

（II）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为,用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望;

（III）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为，比较的大小.（请直接写出结论）

(19)（本小题15分）

已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.

过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 若直线与直线相交于点,求证：三点共线.

（20）（本小题15分）

已知函数，.

(I)    若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；

(II)若函数无零点，求实数的取值范围；

(III) 当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围.

（21）（本小题15分）

已知数列，给出两个性质：

①对于任意的，存在，当时，都有成立；

②对于任意的，存在，当时，都有成立．

（Ⅰ）已知数列满足性质①，且，，试写出的值；

（Ⅱ）已知数列的通项公式为，证明：数列满足性质①；

（Ⅲ）若数列满足性质①②，且当时，同时满足性质①②的存在且唯一.证明：数列是等差数列．