2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第八章 §8.1　直线的方程

§8.1　直线的方程考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则eq \o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α0，因为直线l过点M(2,1)，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，则1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，故ab≥8，故S△AOB的最小值为eq \f(1,2)×ab＝eq \f(1,2)×8＝4，当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.延伸探究1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解　由本例方法二知，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝3＋eq \f(a,b)＋eq \f(2b,a)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当a＝2＋eq \r(2)，b＝1＋eq \r(2)时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋eq \r(2)y＝2＋eq \r(2).2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解　方法一　由本例方法一知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)(k＜0)．所以|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)＝2×eq \f(1＋k2,|k|)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－k＋\f(1,－k)))≥4.当且仅当－k＝－eq \f(1,k)，即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二　由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.所以|MA|·|MB|＝|eq \o(MA,\s\up6(→))|·|eq \o(MB,\s\up6(→))|＝－eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但△EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，∴直线EF的方程为eq \f(x,30)＋eq \f(y,20)＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，且一个顶点在线段EF上时，可使草坪面积最大，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，又eq \f(m,30)＋eq \f(n,20)＝1(0≤m≤30)，∴n＝20－eq \f(2,3)m，∴S＝(100－m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80－20＋\f(2,3)m))＝－eq \f(2,3)(m－5)2＋eq \f(18 050,3)(0≤m≤30)，∴当m＝5时，S有最大值，此时eq \f(|EP|,|PF|)＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且|EP|＝5|PF|时，草坪面积最大．思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)1，))解得k>0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)0，))解得k>0.∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.课时精练1．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程是(　　)A．x＋y＋1＝0　　 B．y＝－eq \f(1,2)xC．x＋2＝0　　 D．y－1＝0答案　C解析　由于直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.2．(2022·芜湖模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为(　　)A．y＝－eq \r(3)x＋2　　 B．y＝－eq \r(3)x－2C．y＝eq \r(3)x＋2　　 D．y＝eq \r(3)x－2答案　B解析　斜率为tan 120°＝－eq \r(3)，利用斜截式直接写出方程，即y＝－eq \r(3)x－2.3．过点(－1,0)，且方向向量为a＝(5，－3)的直线的方程为(　　)A．3x＋5y－3＝0　　 B．3x＋5y＋3＝0C．3x＋5y－1＝0　　 D．5x－3y＋5＝0答案　B解析　方法一　设直线上任意一点P(x，y)，则向量(x＋1，y)与a＝(5，－3)平行，则－3(x＋1)－5y＝0，即3x＋5y＋3＝0.方法二　因为直线的方向向量为a＝(5，－3)，所以所求直线的斜率k＝－eq \f(3,5)，故所求直线的方程为y＝－eq \f(3,5)(x＋1)，即3x＋5y＋3＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)A．a＞0，c＞0　　 B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0　　 D．a＜0，c＜0答案　A解析　因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　)A．0°　　B．1°　　C．2°　　D．3°答案　C解析　∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)A．－1＜k＜eq \f(1,5)　　 B．k＞1或k＜eq \f(1,2)C．k＞1或k＜eq \f(1,5)　　 D．k＞eq \f(1,2)或k＜－1答案　D解析　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解不等式可得k>eq \f(1,2)或k0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．答案　16解析　根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故eq \f(－2,a)＋eq \f(－2,b)＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a