2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第八章 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系

§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)3.直线被圆截得的弦长(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).常用结论1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　√　)(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　×　)(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　√　)(4)在圆中最长的弦是直径．(　√　)教材改编题1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离答案　B解析　圆心为(0,0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，而0eq \r(3)＋1，故两圆相离，不会有两个公共点，D错误．6．(多选)(2022·海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　)A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)答案　ABD解析　对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq \r(2)，D正确．7．(2021·天津)若斜率为eq \r(3)的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________.答案　eq \r(3)解析　设直线AB的方程为y＝eq \r(3)x＋b，则点A(0，b)，由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，则eq \f(|b－1|,2)＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，因为|BC|＝1，故|AB|＝eq \r(|AC|2－|BC|2)＝eq \r(3).8．若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．答案　8解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，所以线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)时，求直线l的方程．解　(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝2，解得a＝－eq \f(3,4).(2)设圆心C到直线l的距离为d，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝eq \r(2)，则有d＝eq \f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq \r(2)，解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.10．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则eq \o(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \o(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．由题设知eq \o(CM,\s\up6(→))·eq \o(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，故l的方程为x＋3y－8＝0.又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，故△POM的面积为eq \f(16,5).11．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)C．[－1,1] D．(－3，－1]∪[1,3)答案　A解析　到原点的距离为eq \r(2)的点的轨迹方程为圆C1：x2＋y2＝2，因此圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为eq \r(2)，转化为圆C1：x2＋y2＝2与圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8有两个交点，∵两圆的圆心和半径分别为C1(0,0)，r1＝eq \r(2)，C(a，a)，r＝2eq \r(2)，∴r－r1