2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第六章 §6.6　数列中的综合问题

§6.6　数列中的综合问题考试要求　1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．题型一　数学文化与数列的实际应用例1　(1)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A．3 699块 B．3 474块C．3 402块 D．3 339块答案　C解析　设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq \f(27×26,2)×9＝3 402(块)．(2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么eq \i\su(k＝1,n,S)k＝_______ dm2. 答案　5　240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(n＋3,2n)))解析　依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm，eq \f(5,2) dm×12 dm，10 dm×3 dm,20 dm×eq \f(3,2) dm四种规格的图形，且5×6＝30，eq \f(5,2)×12＝30,10×3＝30，20×eq \f(3,2)＝30，所以S3＝30×4＝120；当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm，eq \f(5,2) dm×6 dm，eq \f(5,4) dm×12 dm,10 dm×eq \f(3,2) dm,20 dm×eq \f(3,4) dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，eq \f(5,2)×6＝15，eq \f(5,4)×12＝15,10×eq \f(3,2)＝15,20×eq \f(3,4)＝15，所以S4＝15×5＝75；……所以可归纳Sk＝eq \f(240,2k)×(k＋1)＝eq \f(240k＋1,2k).所以eq \i\su(k＝1,n,S)k＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,22)＋\f(4,23)＋…＋\f(n,2n－1)＋\f(n＋1,2n)))，①所以eq \f(1,2)×eq \i\su(k＝1,n,S)k＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(3,23)＋\f(4,24)＋…＋\f(n,2n)＋\f(n＋1,2n＋1)))，②由①－②得，eq \f(1,2)×eq \i\su(k＝1,n,S)k＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋\f(1,24)＋…＋\f(1,2n)－\f(n＋1,2n＋1)))＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\f(1,22)－\f(1,2n)×\f(1,2),1－\f(1,2))－\f(n＋1,2n＋1)))＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(n＋3,2n＋1)))，所以eq \i\su(k＝1,n,S)k＝240eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(n＋3,2n)))dm2.教师备选1．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为(　　)A．4.5尺 B．3.5尺C．2.5尺 D．1.5尺答案　A解析　冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列{an}，设公差为d，由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝28.5，,a10＋a11＋a12＝1.5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝10.5，,d＝－1，))所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分时节的日影长为4.5尺．2．古希腊时期，人们把宽与长之比为eq \f(\r(5)－1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618))的矩形称为黄金矩形，把这个比值eq \f(\r(5)－1,2)称为黄金分割比例．如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K之间的距离超过1.5 m，C与F之间的距离小于11 m，则该古建筑中A与B之间的距离可能是(参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)(　　)A．30.3 m B．30.1 mC．27 m D．29.2 m答案　C解析　设|AB|＝x，a≈0.618，因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，所以有|BC|＝ax，|CF|＝a2x，|FG|＝a3x，|GJ|＝a4x，|JK|＝a5x，|KM|＝a6x.由题设得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a6x>1.5，,a2x0，∴c1＋c2＋…＋cn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b1)－\f(1,b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,b3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)－\f(1,bn＋1)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b1)－\f(1,b2)＋\f(1,b2)－\f(1,b3)＋…＋\f(1,bn)－\f(1,bn＋1)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b1)－\f(1,bn＋1)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,d)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,bn＋1)))