2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第十章 §10.6　事件的相互独立性与条件概率

§10.6　事件的相互独立性与条件概率考试要求　1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．知识梳理1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq \x\to(B)，eq \x\to(A)与B，eq \x\to(A)与eq \x\to(B)也都相互独立．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．常用结论1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(　√　)(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(　√　)(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．(　√　)教材改编题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为(　　)A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.85答案　B解析　由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.2．若P(A|B)＝eq \f(1,9)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(AB)的值是(　　)A.eq \f(1,27) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,4)答案　A解析　由P(AB)＝P(A|B)P(B)，可得P(AB)＝eq \f(1,9)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27).3．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为(　　)A.eq \f(1,100) B.eq \f(1,60) C.eq \f(1,50) D.eq \f(1,30)答案　B解析　设B表示汽车中途停车修理，A1表示公路上经过的汽车是货车，A2表示公路上经过的汽车是客车，则P(A1)＝eq \f(2,3)，P(A2)＝eq \f(1,3)，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝eq \f(2,3)×0.02＋eq \f(1,3)×0.01＝eq \f(1,60).题型一　条件概率例1　(1)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于(　　)A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10)C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)答案　D解析　根据条件概率的计算公式可得，P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq \f(3,5).(2)(多选)(2022·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　)A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(1,2)答案　ABC解析　P(A)＝eq \f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq \f(3,5)，故A正确；P(AB)＝eq \f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故B正确；P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2)，故C正确；P(eq \x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，P(eq \x\to(A)B)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq \f(3,10)，P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(P\x\to(A)B,P\x\to(A))＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4)，故D错误．教师备选1．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是(　　)A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)答案　D解析　记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(B))A))＝eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A)))＝eq \f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq \f(2,3).2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)答案　B解析　设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，则P(AB)＝eq \f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,10))＝eq \f(1,15)，P(A)＝eq \f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,10))＝eq \f(1,5)，所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,3).思维升华　求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).(2)样本点法：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA).(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．跟踪训练1　(1) (多选)下列说法正确的是(　　)A．P(A|B)