2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第十章 §10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题　培优课

§10.10　概率、统计与其他知识的交汇问题题型一　概率、统计与数列的综合问题例1　为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为eq \f(1,2).每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为eq \f(2,3)，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为eq \f(1,3)，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．(1)若m＝2，求分数X的分布列与均值．(若结果不为整数，用分数表示)(2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G(n)，如G(1)＝eq \f(1,3).①求G(2)；②问是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}为等比数列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出λ；若没有，请说明理由．解　(1)进行一次试验，获得0分的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)，获得1分的概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，获得2分的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，进行两次试验，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，P(X＝4)＝eq \f(1,6)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,36)，P(X＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,6)×2＝eq \f(1,9)，P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,6)×2＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,18)，P(X＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2＝eq \f(1,3)，P(X＝0)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).所以分数X的分布列为E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(5,18)＋3×eq \f(1,9)＋4×eq \f(1,36)＝eq \f(4,3).(2)①G(2)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(5,18)，②据题意有，G(n)＝eq \f(1,6)G(n－2)＋eq \f(1,3)G(n－1)，其中n≥3，设G(n)－λG(n－1)＝eq \f(1,6)G(n－2)＋eq \f(1,3)G(n－1)－λG(n－1)＝eq \f(1,6)G(n－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－λ))G(n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－λ))[G(n－1)－λG(n－2)]．比较系数得－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－λ))λ＝eq \f(1,6)，解得λ＝eq \f(1±\r(7),6)，所以{G(n)－λG(n－1)}是公比为eq \f(1,3)－λ的等比数列，其中n∈N*，n≥2，λ＝eq \f(1±\r(7),6).思维升华　高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．跟踪训练1　(2022·大连模拟)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步．(1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值．(2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为pn，求pn的最大值．解　(1)①设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，则P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝eq \f(1,4)，P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝eq \f(1,2)，P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝eq \f(1,4)，所以P(Y>Z)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))＝eq \f(5,16)，所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率为eq \f(5,16).②由①知X的所有可能取值为4,5,6,7,8，所以P(X＝4)＝eq \f(1,16)，P(X＝5)＝eq \f(1,4)，P(X＝6)＝eq \f(3,8)，P(X＝7)＝eq \f(1,4)，P(X＝8)＝eq \f(1,16)，随机变量X的分布列为E(X)＝4×eq \f(1,16)＋5×eq \f(1,4)＋6×eq \f(3,8)＋7×eq \f(1,4)＋8×eq \f(1,16)＝6.(2)由题意得p1＝eq \f(1,2)，p2＝eq \f(3,4)，当n≥3时，pn＝eq \f(1,2)pn－1＋eq \f(1,2)pn－2，pn－pn－1＝－eq \f(1,2)(pn－1－pn－2)＝eq \f(1,4)(pn－2－pn－3)＝…＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－2(p2－p1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，所以pn＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋eq \f(2,3)(n≥3)，因为p1＝eq \f(1,2)，p2＝eq \f(3,4)，所以pn＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋eq \f(2,3)(n∈N*)，当n为奇数时，eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n1时，p1，故p2＋2p3>p0.此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3