2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第三章 §3.5　利用导数研究恒(能)成立问题

§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题题型一　分离参数求参数范围例1　(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－eq \f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解　(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex，f(0)＝(0－2)e0＝－2，f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1，所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0.(2)方法一　当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－eq \f(1,2)ax2＋ax≥0恒成立．即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－x))a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立. 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R.当x>2时，eq \f(1,2)x2－x>0，所以a≤eq \f(x－2ex,\f(1,2)x2－x)＝eq \f(2ex,x)恒成立．设g(x)＝eq \f(2ex,x)，则g′(x)＝eq \f(2x－1ex,x2)，因为x>2，所以g′(x)>0，所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增．所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]．方法二　f′(x)＝(x－1)(ex－a)，①当a≤0时，因为x≥2，所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0成立．②当0e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)0，所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意．综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]．教师备选(2022·重庆模拟)已知函数f(x)＝eq \f(x2,2)－(m＋1)x＋mln x＋m，f′(x)为函数f(x)的导函数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范围．解　(1)f′(x)＝x－(m＋1)＋eq \f(m,x)＝eq \f(x2－m＋1x＋m,x)＝eq \f(x－mx－1,x)，①当m≤0，x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递增．②当01，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，m)时，f′(x)0，f(x)单调递增．(2)由题意知xf′(x)－f(x)≥0恒成立，即eq \f(x2,2)－mln x≥0恒成立，∴eq \f(x2,2)≥mln x.当x＝1时，eq \f(x2,2)≥mln x恒成立，当x>1时，eq \f(x2,2ln x)≥m；当00时﹐由f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,\r(2a))，由f′(x)>0，得x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2a))))，由f′(x)－a，得a(x2－1)－ln x0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)>g(1)＝0，不符合题意，当0