2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第一章 §1.2　常用逻辑用语

§1.2　常用逻辑用语考试要求　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)(4)命题“∃x∈R，sin2eq \f(x,2)＋cos2eq \f(x,2)＝eq \f(1,2)”是真命题．(　×　)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．使－24”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·太原模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型二　充分、必要条件的应用例2　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，　∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．延伸探究　本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围．解　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴AB，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x>ln y，则x>y，反之x>y得不出ln x>ln y，所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件，故D正确．9．若命题p：∀x∈(0，＋∞)，eq \r(x)>x＋1，则命题p的否定为________．答案　∃x∈(0，＋∞)，eq \r(x)≤x＋110．(2022·衡阳模拟)使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．答案　x22x等价于x>2x，解得x4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x0)有公共点的充要条件是________．答案　a∈[1，＋∞)解析　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．已知命题p：“∀x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围为____________________．答案　{a|a≤－2或a＝1}解析　由题意可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得∀x∈[1，＋∞)，x2≥a恒成立，(x2)min＝1，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．13．(2022·苏州中学月考)在△ABC中，“A>B”是“cos AB，所以0