数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案，共14页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，知识梳理，学习过程，达标检测等内容，欢迎下载使用。

空间向量及其运算的坐标表示

【学习目标】
1．了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示。
2．掌握空间向量运算的坐标表示。
3．掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用。
4．掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题。
【学习重难点】
重点：理解空间向量的坐标表示及其运算。
难点：运用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题。
【知识梳理】
一、平面向量坐标表示及其运算
已知=（，），=（，），写出下列向量的坐标表示
+=（+，+）；-=（-，-）；=（，）；=
//=0；⊥=0
设，则或
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么；cosq=（）
【学习过程】
一、情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法……”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算。

二、探究新知
（一）空间直角坐标系与坐标表示
1．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面。

（1）画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。三个坐标平面把空间分成八个部分。
（2）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的都是右手直角坐标系。
2．点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使OA=xi+yj+zk。在单位正交基底i，j，k下与向量OA对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。

3．向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作OA=a由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a=xi+yj+zk。有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=（x，y，z）。

小试牛刀
1．若a=3i+2j-k，且{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为 。
（3，2，-1）
答案：向量OP的坐标恰好是终点P的坐标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换。
思考：在空间直角坐标系中，向量OP的坐标与终点P的坐标有何关系？
（二）空间向量运算的坐标表示
1．空间向量的坐标运算法则
设向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），λ∈R，那么

向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b

减法
a-b

数乘
λa

数量积
a·b

（a1+b1，a2+b2，a3+b3）；（a1-b1，a2-b2，a3-b3） ；（λa1，λa2，λa3） ；a1b1+a2b2+a3b3
2．空间向量的坐标与其端点坐标的关系：
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）。
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
3．空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），则
（1）当b≠0时，a∥b⇔a=λb⇔ （λ∈R）；
（2）a⊥b⇔ ⇔ 。
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3；a·b=0；a1b1+a2b2+a3b3=0
点睛：当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔
a1b1=a2b2=a3b3
4．空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），则
（1）|a|=a·a= ；
（2）cos=a·b|a||b|= ；
（3）若P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则P1，P2两点间的距离为|P1P2|= 。
a12+a22+a32；a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32；（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2。

小试牛刀
1．已知空间向量m=（1，-3，5），n=（-2，2，-4），则有m+n= ，3m-n= ，（2m）·（-3n）= 。
2．已知空间向量a=（2，λ，-1），b=（λ，8，λ-6），若a∥b，则λ= ，若a⊥b，则λ= 。
3．已知a=（-2，2，3），b=（32，6，0），则|a|= ，a与b夹角的余弦值等于 。
例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，AA1=4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求DO，A1B的坐标。
用坐标表示空间向量的步骤如下：

跟踪训练1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{AB，AD，AA1}为基底，则向量AE的坐标为 ，向量AF的坐标为 ，向量AC1的坐标为 。


例2已知在空间直角坐标系中，A（1，-2，4），B（-2，3，0），C（2，-2，-5）。
（1）求AB+CA，CB-2BA，AB·AC；
（2）若点M满足AM=12AB+34AC，求点M的坐标；
（3）若p=CA，q=CB，求（p+q）·（p-q）。
空间向量的坐标运算注意以下几点：
（1）一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键。
（3）运用公式可以简化运算：（a±b）2=a2±2a·b+b2；（a+b）·（a-b）=a2-b2．
跟踪训练2在△ABC中，A（2，-5，3），AB=（4，1，2），BC=（3，-2，5）。
（1）求顶点B，C的坐标；
（2）求CA·BC；
（3）若点P在AC上，且AP=12PC，求点P的坐标。
例3已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）。设a=AB，b=AC。
（1）若|c|=3，c∥BC，求c；
（2）若ka+b与ka-2b互相垂直，求k。
向量平行与垂直问题主要题型
（1）平行与垂直的判断；
（2）利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用。解题时要注意：①适当引入参数（比如向量a，b平行，可设a=λb），建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的。
跟踪训练3．已知a=（λ+1，1，2λ），b=（6，2m-1，2）。
（1）若a∥b，分别求λ与m的值；
（2）若|a|=5，且与c=（2，-2λ，-λ）垂直，求A．
例4如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是AA1，CB1的中点。

（1）求BM，BN的长。
（2）求△BMN的面积。
反思感悟向量夹角与模的计算方法
利用坐标运算解空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解。
跟踪训练4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF= ，EF= 。


一题多变——空间向量的平行与垂直
典例在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3B1P=PD1，若PQ⊥AE，BD=λDQ，求λ的值。
延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ，其他条件不变，结果如何？
延伸探究2本例中若点G是A1D的中点，点H在平面xOy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置。
【达标检测】
1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=1，AA1=3，已知向量a在基底{AB，AD，AA1}下的坐标为（2，1，-3）。若分别以DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为（ ）

A．（2，1，-3） B．（-1，2，-3） C．（1，-8，9） D．（-1，8，-9）
2．下列向量中与向量a=（0，1，0）平行的向量是（ ）
A．B=（1，0，0） B．C=（0，-1，0） C．D=（-1，-1，1）D．e=（0，0，-1）
3．已知向量a=（1，0，1），b=（2，0，-2），若（ka+b）·（a+kb）=2，则k的值等于（ ）
A．1 B．35 C．25 D．15
4．已知点A（1-t，1-t，t），B（2，t，t），则A，B两点的距离的最小值为（ ）
A．31010 B．55 C．355 D．35
5．已知向量a=（2，-1，-2），b=（1，1，-4）。
（1）计算2a-3b和|2a-3b|。（2）求。
6．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点。
（1）求证：EF⊥CF；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求CE的长。
课堂小结
课堂小结：本节课你学到了什么？


参考答案：
知识梳理
【学习过程】
小试牛刀
1．（3，2，-1）
答案：向量OP的坐标恰好是终点P的坐标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换。
小试牛刀
1．（-1，-1，1）；（5，-11，19）；168
解析：m+n=（1，-3，5）+（-2，2，-4）=（-1，-1，1），3m-n=3（1，-3，5）-（-2，2，-4）=（5，-11，19），
（2m）·（-3n）=（2，-6，10）·（6，-6，12）=168．
2．4；-23
解析：若a∥b，则有2λ=λ8=-1λ-6，解得λ=4．若a⊥b，则a·b=2λ+8λ-λ+6=0，解得λ=-23。
3．答案：3 69
解析：|a|=a·a=（-2）2+22+（3）2=3，a与b夹角的余弦值cos=a·b|a||b|=-6+12+03×36=69。
例1思路分析先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再根据空间向量基本定理，将DO，A1B用基底表示，即得坐标。
解：由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，从而建立以OA，OB，OO1方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图，则OA=4i，OB=2j，OO1=4k，
DO=-OD=-（OO1+O1D）=-OO1+12（OA+OB）=-OO1-12OA-12OB=-2i-j-4k，
故DO的坐标为（-2，-1，-4）。
A1B=OB-OA1=OB-（OA+AA1）=OB-OA-AA1=-4i+2j-4k，
故A1B的坐标为（-4，2，-4）。
即DO=（-2，-1，-4），A1B=（-4，2，-4）。


跟踪训练1．答案：12，1，1 1，12，1 （1，1，1）
解析：因为AE=AD+DD1+D1E=12AB+AD+AA1，所以向量AE的坐标为12，1，1。
因为AF=AB+BB1+B1F=AB+12AD+AA1，
所以向量AF的坐标为1，12，1。
因为AC1=AB+AD+AA1，所以向量AC1的坐标为（1，1，1）。

例2思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求
解：（1）因为A（1，-2，4），B（-2，3，0），C（2，-2，-5），所以AB=（-3，5，-4），CA=（-1，0，9）。
所以AB+CA=（-4，5，5），又CB=（-4，5，5），BA=（3，-5，4），
所以CB-2BA=（-10，15，-3），又AB=（-3，5，-4），AC=（1，0，-9），
所以AB·AC=-3+0+36=33．
（2）由（1）知，AM=12AB+34AC=12（-3，5，-4）+34（1，0，-9）=-34，52，-354，
若设M（x，y，z），则AM=（x-1，y+2，z-4），
于是x-1=-34，y+2=52，z-4=-354，解得x=14，y=12，z=-194，故M14，12，-194。
（3）由（1）知，p=CA=（-1，0，9），q=CB=（-4，5，5）。
（方法1）（p+q）·（p-q）=|p|2-|q|2=82-66=16．
（方法2）p+q=（-5，5，14），p-q=（3，-5，4），所以（p+q）（p-q）=-15-25+56=16．
跟踪训练2解：（1）设B（x，y，z），C（x1，y1，z1），所以AB=（x-2，y+5，z-3），BC=（x1-x，y1-y，z1-z）。
因为AB=（4，1，2），所以x-2=4，y+5=1，z-3=2，解得x=6，y=-4，z=5，所以点B的坐标为（6，-4，5）。
因为BC=（3，-2，5），所以x1-6=3，y1+4=-2，z1-5=5，解得x1=9，y1=-6，z1=10，所以点C的坐标为（9，-6，10）。
（2）因为CA=（-7，1，-7），BC=（3，-2，5），所以CA·BC=-21-2-35=-58．
（3）设P（x2，y2，z2），则AP=（x2-2，y2+5，z2-3），PC=（9-x2，-6-y2，10-z2），于是有（x2-2，y2+5，z2-3）=12（9-x2，-6-y2，10-z2），
所以x2-2=12（9-x2），y2+5=12（-6-y2），z2-3=12（10-z2），解得x2=133，y2=-163，z2=163，故点P的坐标为133，-163，163。
例3思路分析（1）根据c∥BC，设c=λBC，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|=3求λ值；
（2）把ka+b与ka-2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解。
解：（1）∵BC=（-2，-1，2）且c∥BC，∴设c=λBC=（-2λ，-λ，2λ）（λ∈R）。
∴|c|=（-2λ）2+（-λ）2+（2λ）2=3|λ|=3，解得λ=±1．
∴c=（-2，-1，2）或c=（2，1，-2）。
（2）∵a=AB=（1，1，0），b=AC=（-1，0，2），∴ka+b=（k-1，k，2），ka-2b=（k+2，k，-4）。
∵（ka+b）⊥（ka-2b），∴（ka+b）·（ka-2b）=0，
即（k-1，k，2）·（k+2，k，-4）=2k2+k-10=0，解得k=2或k=-52。
跟踪训练3．解：（1）由a∥b，得（λ+1，1，2λ）=k（6，2m-1，2），
∴λ+1=6k，1=k（2m-1），2λ=2k，解得λ=k=15，m=3．∴λ=15，m=3．
（2）∵|a|=5，且a⊥c，∴（λ+1）2+12+（2λ）2=5，（λ+1，1，2λ）·（2，-2λ，-λ）=0，化简，得5λ2+2λ=3，2-2λ2=0，解得λ=-1．因此，a=（0，1，-2）。
例4思路分析建立空间直角坐标系，写出B，M，N等点的坐标，从而得BM，BN的坐标。然后利用模的公式求得BM，BN的长度。对于（2），可利用夹角公式求得cos∠MBN，再求出sin∠MBN的值，然后套用面积公式计算。
解：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）。
则B（0，1，0），M（1，0，1），N0，12，1。
（1）∵BM=（1，-1，1），BN=0，-12，1，∴|BM|=12+（-1）2+12=3，
|BN|=02+-122+12=52。故BM的长为3，BN的长为52。

（2）S△BMN=12·|BM|·|BN|·sin∠MBN。
∵cos∠MBN=cos=BM·BN|BM||BN|=323×52=155，
∴sin∠MBN=1-1552=105，
故S△BMN=12×3×52×105=64。即△BMN的面积为64。
跟踪训练4．答案：25 62
解析：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系（图略），设正方体棱长为1，则
E0，12，1，F1，0，12，∴AE=0，12，1，AF=1，0，12，EF=1，-12，-12，
∴cos=AE·AF|AE|·|AF|=1252×52=25，∴cos∠EAF=25，EF=|EF|=62。
一题多变——空间向量的平行与垂直
典例解：如图所示，以点D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），
E0，0，12，B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），


由题意，可设点P的坐标为（a，a，1），
因为3B1P=PD1，所以3（a-1，a-1，0）=（-a，-a，0），
所以3a-3=-a，解得a=34，所以点P的坐标为34，34，1。
由题意可设点Q的坐标为（b，b，0），
因为PQ⊥AE，所以PQ·AE=0，所以（b-34，b-34，-1）·（-1，0，12）=0，
即-（b-34）-12=0，解得b=14，所以点Q的坐标为（14，14，0），
因为BD=λDQ，所以（-1，-1，0）=λ（14，14，0），所以λ4=-1，故λ=-4．

延伸探究1解：以点D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为（c，c，0），因为B1Q⊥EQ，所以B1Q·EQ=0，
所以（c-1，c-1，-1）·c，c，-12=0，即c（c-1）+c（c-1）+12=0，4c2-4c+1=0，
解得c=12，所以点Q的坐标为12，12，0，
所以点Q是线段BD的中点，所以BD=-2DQ，故λ=-2．
延伸探究2解：以点D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为点G是A1D的中点，所以点G的坐标为12，0，12，
因为点H在平面xOy上，设点H的坐标为（m，n，0），
因为GH=m-12，n，-12，BD1=（-1，-1，1），且GH∥BD1，所以m-12-1=n-1=-121，解得m=1，n=12。
所以点H的坐标为1，12，0，所以点H为线段AB的中点。
【达标检测】
1．答案：D 解析：a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=8j-i-9k=（-1，8，-9）。
2．答案：B 解析：比较选项中各向量，观察哪个向量符合λa=（0，λ，0）的形式，经过观察，只有c=-A．
3．答案：D 解析：由已知得|a|=2，|b|=22，a·b=0，所以由（ka+b）·（a+kb）=2可得k|a|2+k|b|2+（k2+1）a·b=2，即2k+8k=2，解得k=15。
4．答案：C 解析：因为点A（1-t，1-t，t），B（2，t，t），所以|AB|2=（1+t）2+（2t-1）2+（t-t）2=5t2-2t+2，
由二次函数性质易知，当t=15时，取得最小值为95。∴AB的最小值为355，故选C．
5．解：（1）2a-3b=2（2，-1，-2）-3（1，1，-4）=（4，-2，-4）-（3，3，-12）=（1，-5，8）。|2a-3b|=12+（-5）2+82=310。
（2）cos=a·b|a||b|=93×32=22，又∈[0，π]，故=π4。
6．解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

则D（0，0，0），E，C（0，1，0），F，G。
所以＝，＝，＝，＝。
（1）证明 因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF。
（2）因为·＝×1＋×0＋（－）×＝，||＝＝，
||＝＝，∴cos〈，〉＝＝＝.
（3）||＝＝。