2022年中考数学考前30天迅速提分专题02 数与式（含答案）

这是一份2022年中考数学考前30天迅速提分专题02 数与式（含答案），共53页。试卷主要包含了2数与式，2×10﹣2，精确度正确的是，01D．精确到0等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）
专题1.2数与式（2）（全国中考41个考点真题训练）

1．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
3．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．

（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
4．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
5．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
6．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
7．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
8．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
9．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
10．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
11．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
12．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
13．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
14．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
15．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
16．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
17．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
18．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
19．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
20．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
21．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
22．最简分式
最简分式的定义：
　
　一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
23．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．　　（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．　　　　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
24．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
25．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
26．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
27．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
28．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
29．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
30．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
31．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；

学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
32．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
33．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
34．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
35．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
36．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
37．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
38．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
39．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
40．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
41．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
42．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
【真题训练】
一．完全平方式（共1小题）
1．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 　 　；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 　 　块．

二．平方差公式（共1小题）
2．（2021•鄂尔多斯）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a6÷a2＝a3
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9 D．（﹣3a3）2＝9a6
三．平方差公式的几何背景（共1小题）
3．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
四．整式的除法（共1小题）
4．（2021•重庆）计算3a6÷a的结果是（　　）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
五．整式的混合运算（共1小题）
5．（2021•内江）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3
C．（2a2）4＝8a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2
六．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
6．（2021•河池）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2021．
七．因式分解的意义（共1小题）
7．（2021•兴安盟）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．2a﹣1＝a（2﹣） D．x2+6x+8＝x（x+6）+8
八．公因式（共1小题）
8．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（　　）
A．8是a的因子，8是b的因子
B．8是a的因子，8不是b的因子
C．8不是a的因子，8是c的因子
D．8不是a的因子，8不是c的因子
九．因式分解-提公因式法（共1小题）
9．（2021•朝阳）因式分解：﹣3am2+12an2＝　 　．
一十．因式分解-运用公式法（共2小题）
10．（2021•杭州）因式分解：1﹣4y2＝（　　）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
11．（2021•岳阳）因式分解：x2+2x+1＝　 　．
一十一．提公因式法与公式法的综合运用（共4小题）
12．（2021•兰州）因式分解：x3﹣4x2+4x＝（　　）
A．x（x﹣2）2 B．x（x2﹣4x+4） C．2x（x﹣2）2 D．x（x2﹣2x+4）
13．（2021•内江）分解因式：3a3﹣27ab2＝　 　．
14．（2021•淄博）分解因式：3a2+12a+12＝　 　．
15．（2021•哈尔滨）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 　 　．
一十二．因式分解-分组分解法（共1小题）
16．（2019•大庆）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝　 　．
一十三．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
17．（2021•荆门）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 　 　．
一十四．实数范围内分解因式（共1小题）
18．（2021•绥化）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝　 　．
一十五．因式分解的应用（共1小题）
19．（2021•内江）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝　 　．
一十六．分式的定义（共1小题）
20．（2017•贺州）下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
一十七．分式有意义的条件（共1小题）
21．（2021•贵港）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5
一十八．分式的值为零的条件（共1小题）
22．（2021•桂林）若分式的值等于0，则x的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
一十九．分式的值（共1小题）
23．（2021•百色）当x＝﹣2时，分式的值是（　　）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
二十．分式的基本性质（共1小题）
24．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二十一．约分（共1小题）
25．（2020•湖州）化简：＝　 　．





二十二．最简分式（共1小题）
26．（2016•滨州）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
二十三．最简公分母（共1小题）
27．（2020•呼和浩特）分式与的最简公分母是　 　，方程﹣＝1的解是　 　．
二十四．分式的乘除法（共1小题）
28．（2021•铜仁市）下列等式正确的是（　　）
A．|﹣3|+tan45°＝﹣2 B．（xy）5÷（）5＝x10
C．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2 D．x3y﹣xy3＝xy（x+y）（x﹣y）
二十五．分式的加减法（共2小题）
29．（2021•济南）计算的结果是（　　）
A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2
30．（2021•黔西南州）计算：＝　 　．
二十六．分式的混合运算（共2小题）
31．（2021•兴安盟）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．÷3x＝2y2
C．（﹣3a2b）3＝﹣9a6b3 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
32．（2021•沈阳）化简：（）•（x+4）＝　 　．
二十七．分式的化简求值（共5小题）
33．（2021•苏州）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
34．（2021•威海）先化简，然后从﹣1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．




35．（2021•宁夏）化简求值：（）÷，其中a＝+1．




36．（2021•阿坝州）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝．



37．（2021•兰州）先化简，再求值：，其中m＝2．





二十八．零指数幂（共3小题）
38．（2021•泰州）（﹣3）0等于（　　）
A．0 B．1 C．3 D．﹣3
39．（2021•乐山）（2021﹣π）0＝　 　．
40．（2020•重庆）计算：（π﹣1）0+|﹣2|＝　 　．
二十九．负整数指数幂（共3小题）
41．（2021•巴中）下列各式的值最小的是（　　）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
42．（2021•兴安盟）用四舍五入法把某数取近似值为5.2×10﹣2，精确度正确的是（　　）
A．精确到万分位 B．精确到千分位
C．精确到0.01 D．精确到0.1
43．（2021•绥化）定义一种新的运算：如果a≠0，则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（﹣）▲2的值是（　　）
A．﹣3 B．5 C．﹣ D．
三十．列代数式（分式）（共1小题）
44．（2021•台州）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（　　）
A．20% B．×100%
C．×100% D．×100%
三十一．二次根式的定义（共1小题）
45．（2013•曲靖）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是　 　（只需填一个）．
三十二．二次根式有意义的条件（共1小题）
46．（2021•内江）函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≤2且x≠﹣1 C．x≥2 D．x≥2且x≠﹣1
三十三．二次根式的性质与化简（共1小题）
47．（2021•大连）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣）2＝﹣3 B．＝2
C．＝1 D．（+1）（﹣1）＝3
三十四．最简二次根式（共1小题）
48．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
三十五．二次根式的乘除法（共1小题）
49．（2021•绵阳）计算×的结果是（　　）
A．6 B．6 C．6 D．6


三十六．分母有理化（共1小题）
50．（2021•潍坊）下列运算正确的是 　 　．
A．（a﹣）2＝a2﹣a+
B．（﹣a﹣1）2＝
C．＝
D．＝2
三十七．同类二次根式（共1小题）
51．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
三十八．二次根式的加减法（共1小题）
52．（2021•百色）下列各式计算正确的是（　　）
A．33＝9 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+3＝5 D．（2a2b）3＝8a8b3
三十九．二次根式的混合运算（共3小题）
53．（2021•梧州）下列计算正确的是（　　）
A．＝3 B．+＝ C．＝ D．（）2＝2
54．（2021•兰州）计算：．
55．（2021•兰州）计算：（+）×．
四十．二次根式的化简求值（共2小题）
56．（2021•包头）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（　　）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
57．（2021•荆州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝　 　．




四十一．二次根式的应用（共3小题）
58．（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．6 C．18 D．
59．（2019•淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．2 C．2 D．6
60．（2019•营口）一个长方形的长和宽分别为和2，则这个长方形的面积为　 　．

2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）
专题1.2数与式（2）（全国中考41个考点真题训练）

1．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
3．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．

（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
4．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
5．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
6．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
7．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
8．公因式
1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
9．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
10．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
11．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
12．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
13．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
14．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
15．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
16．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
17．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
18．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
19．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
20．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
21．约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
22．最简分式
最简分式的定义：
　
　一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
23．最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．　　（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．　　　　②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
24．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
25．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
26．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
27．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
28．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
29．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
30．列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
31．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；

学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
32．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
33．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①≥0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③＝|a|＝（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
34．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
35．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）

规律方法总结：
在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
36．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
37．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
38．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
39．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
40．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
41．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
42．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
【真题训练】
一．完全平方式（共1小题）
1．（2021•河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 　a2+b2　；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 　4　块．

【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；
（2）利用完全平方公式可求解．
【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，
故答案为：a2+b2；
（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
二．平方差公式（共1小题）
2．（2021•鄂尔多斯）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a6÷a2＝a3
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9 D．（﹣3a3）2＝9a6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法运算法则、平方差公式、幂的乘方的运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣3a3）2＝9a6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．
三．平方差公式的几何背景（共1小题）
3．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（　　）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【分析】矩形的长为（a+6）米，矩形的宽为（a﹣6）米，矩形的面积为（a+6）（a﹣6），根据平方差公式即可得出答案．
【解答】解：矩形的面积为（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键．
四．整式的除法（共1小题）
4．（2021•重庆）计算3a6÷a的结果是（　　）
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
【分析】直接利用单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式，计算得出答案．
【解答】解：3a6÷a＝3a5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握整式的除法运算法则是解题关键．
五．整式的混合运算（共1小题）
5．（2021•内江）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．2a3b÷b＝2a3
C．（2a2）4＝8a8 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，故A不符合题意．
B、原式＝2a3，故B符合题意．
C、原式＝16a8，故C不符合题意．
D、原式＝a2+2ab+b2，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
六．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
6．（2021•河池）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2021．
【分析】根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1，
当x＝2021时，
原式＝2021+1
＝2022．
另解：原式＝（x+1）（x+1﹣x）
＝x+1，
当x＝2021时，
原式＝2022．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
七．因式分解的意义（共1小题）
7．（2021•兴安盟）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．2a﹣1＝a（2﹣） D．x2+6x+8＝x（x+6）+8
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
C．2a﹣1＝a（2﹣），等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．x2+6x+8＝x（x+6）+8，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
八．公因式（共1小题）
8．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（　　）
A．8是a的因子，8是b的因子
B．8是a的因子，8不是b的因子
C．8不是a的因子，8是c的因子
D．8不是a的因子，8不是c的因子
【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断．
【解答】解：∵（a，b）＝12，（a，c）＝18，
∴a为12与18的公倍数，
又[12，18]＝36，且a介于50与100之间，
∴a＝36×2＝72，即8是a的因子，
∵（a，b）＝12，
∴设b＝12×m，其中m为正整数，
又a＝72＝12×6，
∴m和6互质，即8不是b的因子．
故选：B．
【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键．
九．因式分解-提公因式法（共1小题）
9．（2021•朝阳）因式分解：﹣3am2+12an2＝　﹣3a（m+2n）（m﹣2n）　．
【分析】直接提取公因式﹣3a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3a（m2﹣4n2）
＝﹣3a（m+2n）（m﹣2n）．
故答案为：﹣3a（m+2n）（m﹣2n）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
一十．因式分解-运用公式法（共2小题）
10．（2021•杭州）因式分解：1﹣4y2＝（　　）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：1﹣4y2
＝1﹣（2y）2
＝（1﹣2y）（1+2y）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
11．（2021•岳阳）因式分解：x2+2x+1＝　（x+1）2　．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，
故答案为：（x+1）2．
【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．
一十一．提公因式法与公式法的综合运用（共4小题）
12．（2021•兰州）因式分解：x3﹣4x2+4x＝（　　）
A．x（x﹣2）2 B．x（x2﹣4x+4） C．2x（x﹣2）2 D．x（x2﹣2x+4）
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2．
故选：A．
【点评】此题考查的是提公因式法与公式法因式分解，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
13．（2021•内江）分解因式：3a3﹣27ab2＝　3a（a+3b）（a﹣3b）　．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（a2﹣9b2）
＝3a（a+3b）（a﹣3b），
故答案为：3a（a+3b）（a﹣3b）．
【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
14．（2021•淄博）分解因式：3a2+12a+12＝　3（a+2）2　．
【分析】直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝3（a2+4a+4）
＝3（a+2）2．
故答案为：3（a+2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
15．（2021•哈尔滨）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 　b（a+5）（a﹣5）　．
【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣25b
＝b（a2﹣25）
＝b（a+5）（a﹣5）．
故答案为：b（a+5）（a﹣5）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
一十二．因式分解-分组分解法（共1小题）
16．（2019•大庆）分解因式：a2b+ab2﹣a﹣b＝　（ab﹣1）（a+b）　．
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）
故答案为：（ab﹣1）（a+b）
【点评】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键．
一十三．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
17．（2021•荆门）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 　x（x+3）（x﹣1）　．
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），
故答案为：x（x+3）（x﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法、十字相乘法分解因式，掌握提公因式法和十字相乘法分解因式的特征是得出正确答案的前提．
一十四．实数范围内分解因式（共1小题）
18．（2021•绥化）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝　a（b+）（b﹣）　．
【分析】解决此题，要先找到公因式a，提取公因式之后变为a（b2﹣2），运用平方差公式．将2看成是（）2．
【解答】解：ab2﹣2a，
＝a（b2﹣2）﹣﹣（提取公因式）
＝a（b+）（b﹣）．﹣﹣（平方差公式）
【点评】本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
一十五．因式分解的应用（共1小题）
19．（2021•内江）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则x3﹣2x2+2021＝　2020　．
【分析】解法一：由等式性质可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，再将代数式转化为x•x2﹣2x2+2021，把x2＝x+1代入进行降次后化简，再将x2﹣x＝1整体代入计算可求解；
解法二：由等式性质可得x2＝x+1，x2﹣x＝1，将代数式化为x2（x﹣2）+2021，把x2＝x+1代入进行降次后化简，再将x2﹣x＝1整体代入计算可求解．
【解答】解法一：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，
x3﹣2x2+2021
＝x•x2﹣2x2+2021
＝x（x+1）﹣2x2+2021
＝x2+x﹣2x2+2021
＝﹣x2+x+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
解法二：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，x2﹣x＝1，
∴原式＝x2（x﹣2）+2021
＝（x+1）（x﹣2）+2021
＝x²﹣x﹣2+2021
＝1﹣2+2021
＝2020，
故答案为2020．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，将等式转化为x2＝x+1，x2﹣x＝1是解题的关键．
一十六．分式的定义（共1小题）
20．（2017•贺州）下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义求解即可．
【解答】解：、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式．
一十七．分式有意义的条件（共1小题）
21．（2021•贵港）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5
【分析】根据分式成立的条件列不等式求解．
【解答】解：根据分式成立的条件，可得：x+5≠0，
∴x≠﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式成立的条件是分母不能为零是解题关键．
一十八．分式的值为零的条件（共1小题）
22．（2021•桂林）若分式的值等于0，则x的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：∵分式的值等于0，
∴，
解得x＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
一十九．分式的值（共1小题）
23．（2021•百色）当x＝﹣2时，分式的值是（　　）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【分析】根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝
＝
＝﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式以及分式的基本性质，本题属于基础题型．
二十．分式的基本性质（共1小题）
24．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵a≠b，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
二十一．约分（共1小题）
25．（2020•湖州）化简：＝　　．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
二十二．最简分式（共1小题）
26．（2016•滨州）下列分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝＝，不合题意；
C、原式＝＝，不合题意；
D、原式＝＝，不合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．
二十三．最简公分母（共1小题）
27．（2020•呼和浩特）分式与的最简公分母是　x（x﹣2）　，方程﹣＝1的解是　x＝﹣4　．
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴分式与的最简公分母是x（x﹣2），
方程，
去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），
去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，
移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或﹣4，
∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，
∴方程的解为：x＝﹣4．
故答案为：x（x﹣2），x＝﹣4．
【点评】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
二十四．分式的乘除法（共1小题）
28．（2021•铜仁市）下列等式正确的是（　　）
A．|﹣3|+tan45°＝﹣2 B．（xy）5÷（）5＝x10
C．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2 D．x3y﹣xy3＝xy（x+y）（x﹣y）
【分析】利用分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式、特殊角的三角函数求解即可．
【解答】解：A．|﹣3|+tan45°＝3+1＝4，故A不符合题意；
B．（xy）5÷（）5＝x5y5÷＝x5y5•＝y10，故B不符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D．x3y﹣xy3＝xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y），故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟记分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式的综合运用是解题的关键．
二十五．分式的加减法（共2小题）
29．（2021•济南）计算的结果是（　　）
A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2
【分析】同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．
【解答】解：原式＝＝＝＝m﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减运算法则是解题关键．
30．（2021•黔西南州）计算：＝　　．
【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
二十六．分式的混合运算（共2小题）
31．（2021•兴安盟）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．÷3x＝2y2
C．（﹣3a2b）3＝﹣9a6b3 D．（x﹣2）2＝x2﹣4
【分析】A、原式通分并利用同分母分式的减法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用除法法则变形，约分得到结果，即可作出判断；
C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝，符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝﹣27a6b3，不符合题意；
D、原式＝x2﹣4x+4，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
32．（2021•沈阳）化简：（）•（x+4）＝　1　．
【分析】先根据分式的减法法则算减法，再算乘法即可．
【解答】解：（）•（x+4）
＝•（x+4）
＝•（x+4）
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
二十七．分式的化简求值（共5小题）
33．（2021•苏州）已知两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，则+等于（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】方法一：先把所求式子通分，然后将分子变形，再根据两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，可以得到ab≠0，再将a+b＝0代入化简后的式子即可解答本题．
方法二：根据a+b＝0，得到a＝﹣b，然后代入所求式子，即可得到所求式子的值．
【解答】解：方法一：+
＝
＝
＝，
∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴ab≠0，
当a+b＝0时，原式＝＝﹣2，
故选：A．
方法二：∵两个不等于0的实数a、b满足a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴+
＝
＝﹣1+（﹣1）
＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
34．（2021•威海）先化简，然后从﹣1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】小括号内进行通分，对多项式进行因式分解，除法转化为乘法，化简约分即可得到化简的结果，根据分式有意义的条件得到a的取值，代入求值即可．
【解答】解：原式＝[﹣（a+1）]÷
＝•
＝•
＝•
＝2（a﹣3）
＝2a﹣6，
∵a＝﹣1或a＝3时，原式无意义，
∴a只能取1或0，
当a＝1时，原式＝2﹣6＝﹣4．（当a＝0时，原式＝﹣6．）
【点评】本题考查了分式的化简求值，把整式看成分母是1的分数，进行通分是解题的关键．
35．（2021•宁夏）化简求值：（）÷，其中a＝+1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
36．（2021•阿坝州）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝．
【分析】先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷[+]
＝÷
＝•
＝，
当a＝时，原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
37．（2021•兰州）先化简，再求值：，其中m＝2．
【分析】把分式的除法转化为乘法，进行约分，再利用分式的加减进行运算，最后代入相应的值运算即可．
【解答】解：
＝+
＝
＝，
当m＝2时，
原式＝
＝2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对分式的相应的运算法则的掌握与应用．
二十八．零指数幂（共3小题）
38．（2021•泰州）（﹣3）0等于（　　）
A．0 B．1 C．3 D．﹣3
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），化简进而得出答案．
【解答】解：（﹣3）0＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
39．（2021•乐山）（2021﹣π）0＝　1　．
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：（2021﹣π）0＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的性质是解题关键．
40．（2020•重庆）计算：（π﹣1）0+|﹣2|＝　3　．
【分析】根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．
【解答】解：（π﹣1）0+|﹣2|＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查零次幂和绝对值的性质，掌握零次幂和绝对值的性质是正确计算的前提．
二十九．负整数指数幂（共3小题）
41．（2021•巴中）下列各式的值最小的是（　　）
A．20 B．|﹣2| C．2﹣1 D．﹣（﹣2）
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、相反数分别化简得出答案．
【解答】解：20＝1，|﹣2|＝2，2﹣1＝，﹣（﹣2）＝2，
∵＜1＜2，
∴最小的是2﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、相反数，正确化简各数是解题关键．
42．（2021•兴安盟）用四舍五入法把某数取近似值为5.2×10﹣2，精确度正确的是（　　）
A．精确到万分位 B．精确到千分位
C．精确到0.01 D．精确到0.1
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：5.2×10﹣2＝0.052，近似数5.2×10﹣2精确到千分位．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
43．（2021•绥化）定义一种新的运算：如果a≠0，则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（﹣）▲2的值是（　　）
A．﹣3 B．5 C．﹣ D．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：
（﹣）▲2
＝|﹣2|
＝4﹣1+2
＝5．
故选：B．
【点评】此题考查了负整数指数幂以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三十．列代数式（分式）（共1小题）
44．（2021•台州）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（　　）
A．20% B．×100%
C．×100% D．×100%
【分析】根据x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，可知含糖的质量为10%x+30%y，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以100%即可．
【解答】解：由题意可得，
混合后的糖水含糖：×100%＝×100%，
故选：D．
【点评】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确混合前后糖的质量等于混合前的质量之和，糖水前后总质量相等．
三十一．二次根式的定义（共1小题）
45．（2013•曲靖）若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是　﹣2或3　（只需填一个）．
【分析】先求出x的取值范围，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵|x|≤3，
∴﹣3≤x≤3，
∴当x＝﹣2时，＝＝3，
x＝3时，＝＝2．
故，使为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）．
故答案为：﹣2或3．
【点评】本题考查了二次根式的定义，熟记常见的平方数是解题的关键．
三十二．二次根式有意义的条件（共1小题）
46．（2021•内江）函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x≤2且x≠﹣1 C．x≥2 D．x≥2且x≠﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0计算即可．
【解答】解：由题意得：2﹣x≥0，x+1≠0，
解得：x≤2且x≠﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
三十三．二次根式的性质与化简（共1小题）
47．（2021•大连）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣）2＝﹣3 B．＝2
C．＝1 D．（+1）（﹣1）＝3
【分析】根据二次根式的性质，立方根的概念，平方差公式进行化简计算，从而作出判断．
【解答】解：A、（﹣）2＝3，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，故此选项不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质，立方根的概念和二次根式的混合运算，理解二次根式的性质和概念是解题基础．
三十四．最简二次根式（共1小题）
48．（2021•桂林）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，分母中不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A.，不是最简二次根式；
B.，不是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，是最简二次根式．
故选：D．
【点评】此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
三十五．二次根式的乘除法（共1小题）
49．（2021•绵阳）计算×的结果是（　　）
A．6 B．6 C．6 D．6
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：×
＝
＝
＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
三十六．分母有理化（共1小题）
50．（2021•潍坊）下列运算正确的是 　AB　．
A．（a﹣）2＝a2﹣a+
B．（﹣a﹣1）2＝
C．＝
D．＝2
【分析】根据完全平方公式判断A，根据负整数指数幂判断B，根据分式的基本性质判断C，根据二次根式的除法判断D．
【解答】解：A选项，原式＝a2﹣a+，故该选项正确；
B选项，原式＝（a﹣1）2＝（）2＝，故该选项正确；
C选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母都加3，故该选项错误；
D选项，原式＝，故该选项错误；
故答案为：AB．
【点评】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，分式的基本性质，二次根式的除法，考核学生的计算能力，注意＝（a≥0，b＞0）．
三十七．同类二次根式（共1小题）
51．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．
【解答】解：A、＝2和不是同类二次根式，本选项不合题意；
B、＝2与不是同类二次根式，本选项不合题意；
C、与不是同类二次根式，本选项不合题意；
D、＝5，＝3是同类二次根式，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
三十八．二次根式的加减法（共1小题）
52．（2021•百色）下列各式计算正确的是（　　）
A．33＝9 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2+3＝5 D．（2a2b）3＝8a8b3
【分析】根据乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．
【解答】解：A.33＝27，因此选项A 不符合题意；
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项B不符合题意；
C.2+3＝（2+3）＝5，因此选项C符合题意；
D．（2a2b）3＝8a6b3，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方，理解同类二次根式的意义，掌握合并同类二次根式的方法是得出正确答案的前提．
三十九．二次根式的混合运算（共3小题）
53．（2021•梧州）下列计算正确的是（　　）
A．＝3 B．+＝ C．＝ D．（）2＝2
【分析】利用二次根式的性质对A、D进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据最简二次根式的定义对C进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项不符合题意；
B、与不能合并，所以B选项不符合题意；
C、为最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D、原式＝2，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
54．（2021•兰州）计算：．
【分析】利用乘法分配律计算即可．
【解答】解：
＝+
＝+
＝
＝3
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法分配律是解题的关键．
55．（2021•兰州）计算：（+）×．
【分析】先根据乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝+
＝2+3
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
四十．二次根式的化简求值（共2小题）
56．（2021•包头）若x＝+1，则代数式x2﹣2x+2的值为（　　）
A．7 B．4 C．3 D．3﹣2
【分析】利用条件得到x﹣1＝，两边平方得x2﹣2x＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝+1，
∴x﹣1＝，
∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：完全平方公式的灵活运用是解决问题的关键．利用整体代入的方法可简化计算．
57．（2021•荆州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝　2　．
【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
【解答】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，
∴
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
四十一．二次根式的应用（共3小题）
58．（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．6 C．18 D．
【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
【解答】解：∵a＝5，b＝6，c＝7．
∴p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6；
故选：A．
【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
59．（2019•淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B．2 C．2 D．6
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
60．（2019•营口）一个长方形的长和宽分别为和2，则这个长方形的面积为　4　．
【分析】长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将和2相乘，按照二次根式乘法的运算法则计算，并化简成最简单二次根式即可．
【解答】解：∵长方形的长和宽分别为和2
∴这个长方形的面积为：×2＝2＝4
故答案为：4
【点评】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．