2022年杭州中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年杭州中考数学模拟试卷2（含答案解析），共27页。
2022年杭州中考数学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•西华县一模）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）（2022•西城区校级一模）2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数超过78400000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将“78400000”用科学记数法可表示为（　　）
A．7.84×105 B．7.84×106 C．7.84×107 D．78.4×106
3．（3分）（2021春•奉化区校级期末）下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+2a+1 C．a2+4 D．9a2﹣6a+1
4．（3分）（2021春•上思县月考）如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　）

A．线段AP1的长 B．线段BP1的长
C．线段CP2的长 D．线段CP3的长
5．（3分）（2021秋•井研县期末）当1＜x＜4时，化简结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5
6．（3分）（2021秋•长垣市期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
7．（3分）（2022•拱墅区模拟）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022春•北碚区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（3分）（2021秋•公安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝6，CD＝2，AB＝7，当DE最小时，△BDE的面积是（　　）

A．2 B．1 C．6 D．7
10．（3分）（2022•江北区开学）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．当满足（　　）时，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在4个不同的点M，使△AOM为直角三角形．
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2021秋•运城期末）若α是锐角且sinα＝，则α的度数是 　 　．
12．（4分）（2020秋•沿河县期末）当k＝　 　时，与的和是单项式．
13．（4分）（2021秋•沭阳县校级月考）如图，PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A、B，直线CD分别交PA、PB于点C、D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为 　 　．

14．（4分）（2020•南宁二模）某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为　 　分．
15．（4分）（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　 　°（点A，B，P是网格线交点）．

16．（4分）（2020•中宁县三模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋•邵阳县期末）解不等式组：．
18．（8分）（2020•淮阴区模拟）青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学生的心理健康状况，随机抽取部分学生进行了一次“心理健康”知识测试（满分为100分，测试成绩取整数），从测试结果看，所有参加测试学生的成绩均超过了50分，现将测试结果绘制了如图尚不完整的频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
a
c
70.5～80.5
16
0.32
80.5～90.5
b

90.5～100.5
16
0.32
合计

1.00
请解答下列问题：
（1）a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；
（2）补全频率分布直方图；
（3若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的“心理健康整体状况”正常，不需要整体干预．请根据上述数据分析该校学生的“心理健康整体状况”是否正常，并说明理由．

19．（8分）（2022•雁塔区校级三模）如图，A、C、D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AC＝CE，∠B＝∠BCE＝∠CDE．求证：AB＝CD．

20．（10分）（2021秋•桐城市校级期末）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出另一个交点B的坐标，并直接写出当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集；
（3）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

21．（10分）（2021春•灵石县期中）大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的其中一支．激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护方面，其光源是激光，运用了反射成像原理，屏幕不通电，无辐射，观看时不会感到刺眼．根据THX、isf观影标准，水平视角33﹣40°时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位．
（1）如图，小佳家决定要换一个激光电视，他家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，请你计算一下小佳家要选择电视屏幕宽（BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，cos16.5°≈0.96，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（2）由于技术革新，激光电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视去年销售总额为50万元，今年每台销售价比去年降低4000元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？

22．（12分）（2018•定远县一模）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．
（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”；
（2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．
（3）求抛物线y＝x2﹣2x+2在抛物线y＝x2+c的上方，且两条抛物线的“和谐值”为2，求c的值．
23．（12分）（2021•泸县模拟）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，弦AD交BC于点E，连接DC．
（1）求∠D的度数；
（2）若AE＝8cm，DE＝2cm，求AB的长．


2022年杭州中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•西华县一模）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【考点】相反数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的相反数为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2022•西城区校级一模）2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数超过78400000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将“78400000”用科学记数法可表示为（　　）
A．7.84×105 B．7.84×106 C．7.84×107 D．78.4×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数数．
【解答】解：78400000＝7.84×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2021春•奉化区校级期末）下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣1 B．a2+2a+1 C．a2+4 D．9a2﹣6a+1
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用公式法分别分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），可以运用公式法分解因式，不合题意；
B、a2+2a+1＝（a+1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；
C、a2+4，无法利用公式法分解因式，符合题意；
D、9a2﹣6a+1＝（3a﹣1）2，可以运用公式法分解因式，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法，正确运用乘法公式是解题关键．
4．（3分）（2021春•上思县月考）如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　）

A．线段AP1的长 B．线段BP1的长
C．线段CP2的长 D．线段CP3的长
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】利用垂线段最短求解．
【解答】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值，表示该运动员成绩的是线段BP1的长，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．
5．（3分）（2021秋•井研县期末）当1＜x＜4时，化简结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：当1＜x＜4时，1﹣x＜0，x﹣4＜0，
∴
＝|1﹣x|﹣|x﹣4|
＝x﹣1+x﹣4
＝2x﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的化简，理解最简二次根式的意义和二次根式的化简方法是正确解答的前提．
6．（3分）（2021秋•长垣市期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9
C．+2＝ D．﹣2＝
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据“每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：+2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（3分）（2022•拱墅区模拟）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，
∴两次摸出的数字之和为奇数的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）（2022春•北碚区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】数形结合；待定系数法；二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定①②③的正确；分别过点P，Q作坐标轴的平行线，则△PHQ为等腰直角三角形，设点P，Q的横坐标分别为m，n，则m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a的代数式表示PQ，利用PQ＝，列出方程，解方程即可求得a值，即可判定④的结论不正确．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：

由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），
∴c＞0．
∴①的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，
∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．
∴②的结论正确．
作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，

则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，
即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，
由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，
∴③的结论正确；
如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，

则△PHQ为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ＝HQ．
∴．
∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
设点P，Q的横坐标分别为m，n，
∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝．
∴HQ＝|m﹣n|＝＝．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴．
∴．
∴HQ＝．
∵PQ＝，
∴•＝．
解得：a＝﹣1或．
∴④的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，利用数相结合的思想方法直观的得出结论是解题的关键．
9．（3分）（2021秋•公安县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝6，CD＝2，AB＝7，当DE最小时，△BDE的面积是（　　）

A．2 B．1 C．6 D．7
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【分析】根据“垂线段最短”可得DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据全等三角形的性质得到AE＝AC，求得BE，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵点E为线段AB上的一个动点，DE最短，
∴DE⊥AB，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝2，
∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝1，
∴△BDE的面积＝BE•DE＝×1×2＝1，
故选：B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．（3分）（2022•江北区开学）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．当满足（　　）时，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在4个不同的点M，使△AOM为直角三角形．
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时，可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可．
【解答】解：∵△AOM是直角三角形，
∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形，
当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M，
∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）．

观察图象可知，﹣＝﹣1或4，
∴＝2或﹣8，
∴﹣8＜＜2且≠0，≠3满足题意，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，直角三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是判断出对称轴的位置，属于中考填空题中的压轴题．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2021秋•运城期末）若α是锐角且sinα＝，则α的度数是 　60°　．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】结合各特殊角的三角函数值，进行求解即可．
【解答】解：∵α是锐角且sinα＝，
∴∠α＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．
12．（4分）（2020秋•沿河县期末）当k＝　4　时，与的和是单项式．
【考点】合并同类项．
【专题】计算题．
【分析】两个单项式的和为单项式，可知这两个单项式为同类项，根据同类项的定义求解．
【解答】解：依题意可知与是同类项，
∴2k+1＝9，
解得k＝4．
故本题答案为：4．
【点评】本题考查了合并同类项及同类项的定义．关键是根据题意判断两个单项式为同类项．
13．（4分）（2021秋•沭阳县校级月考）如图，PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A、B，直线CD分别交PA、PB于点C、D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为 　8　．

【考点】切线的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何直观；应用意识．
【分析】连接OA、OB，根据PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A、B，得∠PAO＝∠PBO＝90°，OA＝OB＝3，而PO＝5，即有PA＝PB＝4，由切线长定理得DB＝DE，CE＝CA，故△PCD的周长为PD+CD+PC＝（PD+DB）+（CA+PC）＝PB+PA＝8．
【解答】解：连接OA、OB，如图：

∵PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，OA＝OB＝3，
∵PO＝5，
∴PA＝PB＝4，
∵CD切⊙O于E，
∴DB＝DE，CE＝CA，
∴△PCD的周长为PD+CD+PC
＝PD+（DE+CE）+PC
＝（PD+DB）+（CA+PC）
＝PB+PA＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及勾股定理、三角形周长等，解题的关键是掌握圆的切线性质及切线长定理．
14．（4分）（2020•南宁二模）某公司招聘员工一名，某应聘者进行了三项素质测试，其中创新能力为70分，综合知识为80分，语言表达为90分，如果将这三项成绩按5：3：2计入总成绩，则他的总成绩为　77　分．
【考点】加权平均数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；模型思想；应用意识．
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：70×+80×+90×＝77（分），
故答案为：77．
【点评】考查平均数、加权平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确解答的关键．
15．（4分）（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝　45　°（点A，B，P是网格线交点）．

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】网格型；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和逆定理证明∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，

则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（4分）（2020•中宁县三模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是　5cm　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】先由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性质得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由锐角三角函数定义的AB＝8，由勾股定理得AF＝10（cm），则AD＝BC＝10（cm），CF＝BC﹣BF＝4（cm），设EF＝DE＝xcm，则CE＝DC﹣DE＝AB﹣DE＝（8﹣x）cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理得出方程，即可解决问题．
【解答】解：由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵tan∠BAF＝＝，
∴＝，
∴AB＝8，
由勾股定理得：AF＝＝＝10（cm），
∴AD＝BC＝10（cm），
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
设EF＝DE＝xcm，
∴CE＝DC﹣DE＝AB﹣DE＝（8﹣x）cm，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴DE＝5cm，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝5（cm），
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋•邵阳县期末）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣5，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集是﹣5≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
18．（8分）（2020•淮阴区模拟）青少年“心理健康”问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学生的心理健康状况，随机抽取部分学生进行了一次“心理健康”知识测试（满分为100分，测试成绩取整数），从测试结果看，所有参加测试学生的成绩均超过了50分，现将测试结果绘制了如图尚不完整的频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
a
c
70.5～80.5
16
0.32
80.5～90.5
b

90.5～100.5
16
0.32
合计

1.00
请解答下列问题：
（1）a＝　8　；b＝　6　；c＝　0.16　；
（2）补全频率分布直方图；
（3若成绩在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的“心理健康整体状况”正常，不需要整体干预．请根据上述数据分析该校学生的“心理健康整体状况”是否正常，并说明理由．

【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）先结合直方图得出b的值，求出被调查的总人数，从而求得a的值，根据频率＝频数÷总数可得答案；
（2）根据以上所求数据即可补全图形；
（3）先求出心理健康状况良好的人数占总人数的百分比，再与70%进行比较即可．
【解答】解：（1）由频率分布直方图知b＝6，
∵被调查的总人数为4÷0.08＝50，
∴a＝50﹣（4+16+6+16）＝8，
则c＝8÷50＝0.16，
故答案为：8、6、0.16；
（2）补全频率分布直方图如下：

（3）该校学生不需要加强心理辅导，理由为：
70分以上的人数为16+6+16＝38（人），
∵心理健康状况良好的人数占总人数的百分比是×100%＝76%＞70%，
∴该校学生不需要加强心理辅导．
【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19．（8分）（2022•雁塔区校级三模）如图，A、C、D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AC＝CE，∠B＝∠BCE＝∠CDE．求证：AB＝CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由“AAS”可证△ABC≌△CDE，可得结论．
【解答】证明：∵∠BCD＝∠A+∠B＝∠BCE+∠DCE，∠B＝∠BCE，
∴∠A＝∠ECD，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
20．（10分）（2021秋•桐城市校级期末）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出另一个交点B的坐标，并直接写出当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集；
（3）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）先把点A（1，a）代入y＝﹣x+3中求出a得到A（1，2）然后把A点坐标代入y＝（k≠0）中求出k得到反比例函数的表达式；
（2）先求出直线y＝﹣x+3与x轴交点C的坐标，然后解析式联立，解方程组求得B的坐标，利用图象即可求得当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集；
（3）求得C的坐标，设P（m，0），则PC＝|m﹣3|，根据三角形面积公式求得m的值，进而即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝（k≠0），
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）解得或，
∴B（2，1），
由图象可知，当x＞0时，不等式﹣x+3＜的解集0＜x＜1或x＞2；
（3）在直线y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），
设P（m，0），
∴PC＝|m﹣3|，
∵△APC的面积为5，
∴|m﹣3|×2＝5，
∴|m﹣3|＝5，
∴m＝8或m＝﹣2，
∴P（8，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是求得交点坐标．
21．（10分）（2021春•灵石县期中）大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的其中一支．激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护方面，其光源是激光，运用了反射成像原理，屏幕不通电，无辐射，观看时不会感到刺眼．根据THX、isf观影标准，水平视角33﹣40°时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位．
（1）如图，小佳家决定要换一个激光电视，他家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，请你计算一下小佳家要选择电视屏幕宽（BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，cos16.5°≈0.96，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（2）由于技术革新，激光电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视去年销售总额为50万元，今年每台销售价比去年降低4000元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？

【考点】解直角三角形的应用；视点、视角和盲区；分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，

根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，
在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），
∴BC＝2BD＝2.10（m），
当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，
在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），
∴BC＝2BD＝2.52m，
答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；
（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．
由题意可得：，
解得：x＝16000，
经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．
22．（12分）（2018•定远县一模）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．
（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”；
（2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．
（3）求抛物线y＝x2﹣2x+2在抛物线y＝x2+c的上方，且两条抛物线的“和谐值”为2，求c的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】（1）利用顶点式即可解决问题；
（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，设P（t，t2﹣2t+2），则Q（t，t﹣1），可得PQ＝t2﹣2t+2﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+3＝（t﹣）2+，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）M点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作MN∥y轴交抛物线y＝x2+c于N，设P（t，t2﹣2t+2），则N（t，t2+c），可得MN＝t2﹣2t+2﹣（t2+c）＝t2﹣2t+2﹣c＝（t﹣2）2﹣c，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离为1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1；

（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，
设P（t，t2﹣2t+2），则Q（t，t﹣1），
∴PQ＝t2﹣2t+2﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+3＝（t﹣）2+，
当t＝时，PQ有最小值，最小值为，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为 ，

（3）M点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作MN∥y轴交抛物线y＝x2+c于N，
设P（t，t2﹣2t+2），则N（t，t2+c），
∴MN＝t2﹣2t+2﹣（t2+c）＝t2﹣2t+2﹣c＝（t﹣2）2﹣c，
当t＝2时，MN有最小值，最小值为﹣c，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2与抛物线y＝x2+c的“和谐值”为﹣c，
∴﹣c＝2，
∴c＝﹣2．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；正确理解新定义的能力．
23．（12分）（2021•泸县模拟）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，弦AD交BC于点E，连接DC．
（1）求∠D的度数；
（2）若AE＝8cm，DE＝2cm，求AB的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；应用意识．
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
（2）证明△ACE∽△ADC，利用对应边成比例，求出AC，即可求出AB．
【解答】解：（1）∵△ABC是⊙O的内接等边三角形．
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵．
∴∠D＝∠ABC＝60°．
（2）由（1）可知：∠D＝∠ACB．
∵∠EAC＝∠CAD．
∴△ACE∽△ADC，
∴．
∴AC2＝AD•AE＝（8+2）×8＝80．
∴．
∵△ABC是等边三角形．
∴AB＝AC＝4．
【点评】本题考查圆周角的性质、三角形相似判断和性质、等边三角形性质，比较综合，属于拔高训练题．