2022年南京中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年南京中考数学模拟试卷2（含答案解析），共32页。试卷主要包含了的相反数是 　 　，计算等内容，欢迎下载使用。
2022年南京中考数学模拟试卷2
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2018秋•荔城区期末）“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为（　　）
A．4.5×107 B．45×108 C．4.5×109 D．0.45×1010
2．（2分）（2021春•肃州区校级期中）下列运算中正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．（ab2）3＝a2b5 D．2﹣3＝﹣6
3．（2分）（2018春•海口期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝13，CD＝3，AD＝8，则BD的值可能是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2分）（2021秋•大连期末）一小袋味精的质量标准为“50±0.25克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（　　）
A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克
5．（2分）（2021秋•清镇市期中）将，，用不等号连接起来为（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）（2022秋•甘州区校级月考）晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（　　）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021春•金山区期末）的相反数是 　 　．
8．（2分）（2021•拱墅区二模）若二次根式有意义，实数则x的取值范围是　 　．
9．（2分）（2018秋•杨浦区期中）计算：＝　 　．
10．（2分）（2021•无锡模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝　 　．
11．（2分）（2021秋•西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为 　 　．
12．（2分）（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为 　 　．

13．（2分）（2019•巴中模拟）如图，反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，S△ACO+S△BDO＝2，则k＝　 　．

14．（2分）（2022•扬州模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠P的度数是　 　．

15．（2分）（2022•长安区一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP＝4，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为 　 　．

16．（2分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD＝8，AB＝10，∠ABD＝45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为　 　．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2019春•凌河区校级月考）解不等式，并将不等式的解集表示在数轴上
（1）2（x+3）﹣1≥3x+2
（2）≥3（x﹣1）﹣4
18．（7分）（2020•通辽）解方程：＝．
19．（7分）（2021•泸州）化简：（a+）÷．
20．（8分）（2022•邵阳模拟）如图所示，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE．
（2）连接AF，BD．试判断四边形ABDF的形状，并说明理由．

21．（8分）（2021秋•南岸区校级期中）为了庆祝新中国成立72周年，某校学生处在七年级和八年级开展了“迎国庆•弘扬中华传统文化”知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了40名同学的知识竞赛成绩数据，并将数据进行整理分析（竞赛成绩用x表示，共分为四个等级：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100）．
下面给出了部分信息：
七年级C等中全部学生的成绩为：86，87，83，89，84，89，86，89，89，85．
八年级D等中全部学生的成绩为：92，95，98，98，98，98，100，100，100，100．
七、八年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表

平均数
中位数
众数
满分率
七年级
91
b
c
25%
八年级
91
87
87
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，c，m的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的知识竞赛，哪个年级的成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级的1800名学生和八年级的2500名学生参加了此次知识竞赛，若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请你估计两个年级此次知识竞赛中优秀的人数．

22．（8分）（2021秋•定海区校级月考）有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．
（1）求两次摸出的球的标号相同的概率；
（2）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．
23．（8分）（2022春•渝中区校级月考）材料一：证明：sin2a+cos2a＝1．
证明：如图，作∠BAC＝∠a，在射线AC上任意取一点D（异于点A），过点D作DE⊥AB，垂足为E．

∵DE⊥AB于点E∴
∴
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2
∴
∵∠BAC＝∠a
∴sin2a+cos2a＝1．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来．

应用以上材料，完成下列问题：
（1）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C＝60°，求AB的长；
（2）在（1）题图中，如果AC＝b，BC＝a，∠C＝a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．


24．（8分）（2021秋•靖江市期末）一辆快车和一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发匀速相向而行，快车到达乙地后，原路原速返回甲地．图1表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．

（1）直接写出快慢两车的速度；
（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇？
（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．
25．（8分）（2020•碑林区校级模拟）如图，已知∠AOB的边OA上有一点P，请用尺规作图法，求作⊙O′，使其过点P并且与∠AOB的两边相切．（保留作图痕迹，不写作法）

26．（10分）（2021•宁波模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求与此二次函数图象关于y轴对称的图象的二次函数表达式；
（3）已知点A（﹣1，1），点B（3，1）．若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

27．（9分）（2018秋•满城区期末）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AD＝1，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．


2022年南京中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2018秋•荔城区期末）“一带一路”的“朋友圈”究竟有多大？“一带一路”涉及沿线65个国家，总涉及人口约4500000000，将4500000000用科学记数法表示为（　　）
A．4.5×107 B．45×108 C．4.5×109 D．0.45×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4500000000＝4.5×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）（2021春•肃州区校级期中）下列运算中正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣a2）3＝﹣a6
C．（ab2）3＝a2b5 D．2﹣3＝﹣6
【考点】幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3•a4＝a7，故本选项错误，不合题意；
B．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项正确，符合题意；
C．（ab2）3＝a3b6，故本选项错误，不合题意；
D．2﹣3＝，故本选项错误，不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（2分）（2018春•海口期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝13，CD＝3，AD＝8，则BD的值可能是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】分别在两个三角形中利用三角形的三边关系得：2＜BD＜14、10＜BD＜16，从而得到10＜BD＜14，找到适合的值即可．
【解答】解：在△ABD中，AB＝6，AD＝8，
所以根据三角形的三边关系得：8﹣6＜BD＜8+6，
即：2＜BD＜14①，
在△BCD中，BC＝13，CD＝3，
所以根据三角形的三边关系得：13﹣3＜BD＜13+3，
即：10＜BD＜16②，
由①②得：10＜BD＜14，
∴只有11适合，
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是分别利用三边关系确定BD的取值范围，难度不大．
4．（2分）（2021秋•大连期末）一小袋味精的质量标准为“50±0.25克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是（　　）
A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克
【考点】正数和负数．
【专题】实数；运算能力；应用意识．
【分析】先根据味精的质量标识，计算出合格味精的质量的取值范围，然后再进行判断．
【解答】解：由题意，知：合格味精的质量应该在（50﹣0.25）克到（50+0.25）克之间；即49.75克至50.25克之间，符合要求的是B选项．
故选：B．
【点评】本题考查了正数与负数：用正数与负数可表示两相反意义的量．解题的关键是弄清合格味精的质量范围．
5．（2分）（2021秋•清镇市期中）将，，用不等号连接起来为（　　）
A． B． C． D．
【考点】分数指数幂；算术平方根；立方根；实数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【分析】先利用计算器估算出三个无理数的值，再根据正数大于0，负数小于0进行比较即可解决问题．
【解答】解：∵≈1.414，≈1.442，，
1.414＜1.442＜1.495，
∴＜＜，
故选：B．
【点评】本题考查的是同学们对无理数大小的估算能力及实数的大小的比较，比较简单．
6．（2分）（2022秋•甘州区校级月考）晚上小亮在路灯下散步，在小亮从远处走到灯下，再远离路灯这一过程中，他在地上的影子（　　）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
【考点】中心投影．
【专题】常规题型．
【分析】根据中心投影的定义当小亮从远处走到灯下，他在地上的影子逐渐变短，当他再远离路灯的时，他在地上的影子逐渐变长．
【解答】解：晚上小亮在路灯下散步，当小亮从远处走到灯下的时候，他在地上的影子由长变短，当他再远离路灯的时候，他在地上的影子由短变长．
故选：B．
【点评】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021春•金山区期末）的相反数是 　﹣　．
【考点】绝对值；相反数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】利用绝对值和相反数的意义解答即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，的相反数为﹣，
∴的相反数是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了绝对值，相反数的意义．利用绝对值，相反数的意义先求出绝对值，再求相反数是解题的关键．
8．（2分）（2021•拱墅区二模）若二次根式有意义，实数则x的取值范围是　x≥0　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：若二次根式有意义，则x≥0．
故答案为x≥0．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
9．（2分）（2018秋•杨浦区期中）计算：＝　﹣2　．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据实数的大小比较法则得到2＜，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵＜，
∴2＜，
∴2﹣＜0，
∴﹣＝﹣2﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．（2分）（2021•无锡模拟）已知m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则m+n＝　﹣2　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和等于﹣，即可求出m+n的值．
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
11．（2分）（2021秋•西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），点C（5，3），点E在x轴上．当CE＝AB时，点E的坐标为 　（4，0）或（6，0）　．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点A（4，3），点C（5，3），
∴AC∥x轴，AC＝1，
连接AC，过C作CE∥AB交x轴于E，
∴AB＝CE，BE＝AC＝1，
∵点B（3，0），
∴E（4，0），
以C为圆心，CE为半径画弧交x轴于E′，
则CE＝CE′＝AB，
过C作CD⊥x轴于D，
∴DE＝DE′＝1，
∴E′（6，0），
∴当CE＝AB时，点E的坐标为（4，0）或（6，0），
故答案为：（4，0）或（6，0）．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
12．（2分）（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为 　60°　．

【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的知识解决问题即可．
【解答】解：连接OB、OC，
∵∠A＝30°，
又∵∠BOC＝2∠A，
∴∠BOC＝60°，
∴弧BC的度数为60°，
故答案为：60°．

【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是求得圆心角的度数．
13．（2分）（2019•巴中模拟）如图，反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，S△ACO+S△BDO＝2，则k＝　﹣2　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得S△ACO＝S△BDO＝1，最后根据k的几何意义可得答案．
【解答】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点，
∴点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∵S△ACO+S△BDO＝2，
∴S△ACO＝1，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，根据题意得到点A和点B关于原点对称是解题关键．
14．（2分）（2022•扬州模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠P的度数是　40°　．

【考点】切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理．
【专题】计算题．
【分析】连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：连接OA，OB，如图所示：

∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
则∠P＝360°﹣（90°+90°+140°）＝40°．
故答案为：40°
【点评】此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
15．（2分）（2022•长安区一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP＝4，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为 　32　．

【考点】点与圆的位置关系；二次函数的最值；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；推理能力．
【分析】如图，当点P与A重合时，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，此时面积最大，
【解答】解：如图，当点P与A重合时，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，

当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，此时面积最大，
∴四边形ABCD 面积的最大值＝•AC•BD＝×8×8＝32，
故答案为：32．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，解题关键是发现点A与P重合时，四边形ABCD的面积存在最大值．
16．（2分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，点P是平行四边形ABCD对角线BD上的动点，点M为AD的中点，已知AD＝8，AB＝10，∠ABD＝45°，把平行四边形ABCD绕着点A按逆时针方向旋转，点P的对应点是点Q，则线段MQ的长度的最大值与最小值的差为　18﹣5　．

【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．
【分析】如作AP1⊥BD垂足为P1，当AP1旋转到与射线AD的重合时（点P1与点E重合），ME就是MQ最小值，当点P2与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P2与点F重合），此时MF就是MQ最大值，分别求出MQ的最大值与最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，作AP1⊥BD垂足为P1，
∵∠DBA＝45°，AB＝10，
∴∠P1AB＝∠DBA＝45°，AP1＝P1B＝5，
∵AM＝MD＝AD＝4，
当AP1旋转到与射线AD的重合时（点P1与点E重合），ME就是MQ最小值＝5﹣4，
当点P2与B重合时，旋转到与DA的延长线重合时（点P2与点F重合），此时MF就是MQ最大值＝AM+AF＝14，
∴MQ的最大值与最小值的差＝14﹣（5﹣4）＝18﹣5．
故答案为18﹣5．

【点评】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质等知识，根据题意找到MQ最大值与最小值的位置是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2019春•凌河区校级月考）解不等式，并将不等式的解集表示在数轴上
（1）2（x+3）﹣1≥3x+2
（2）≥3（x﹣1）﹣4
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
（2）先去分母、去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出此解集即可．
【解答】解：（1）2（x+3）﹣1≥3x+2，
2x+6﹣1≥3x+2，
2x﹣3x≥2﹣6+1，
﹣x≥﹣3，
x≤3，
将不等式解集表示在数轴上如下：


（2）≥3（x﹣1）﹣4，
x+1≥6x﹣6﹣8，
x﹣6x≥﹣6﹣8﹣1，
﹣5x≥﹣15，
x≤3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示一元一次不等式的解集，解答此题时要熟知解一元一次不等式的步骤，即：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
18．（7分）（2020•通辽）解方程：＝．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）把分式方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣2）得，
2x＝3x﹣6，
解得x＝6，
检验：当x＝6时，x（x﹣2）＝6×4＝24≠0，
所以x＝6是分式方程的解．
因此，原分式方程的解是x＝6．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（7分）（2021•泸州）化简：（a+）÷．
【考点】分式的混合运算．
【专题】分式；运算能力．
【分析】先计算括号内分式的加法，然后将分子因式分解，继而将除法转化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：原式＝（+）÷
＝•
＝•
＝a﹣1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序及其运算法则．
20．（8分）（2022•邵阳模拟）如图所示，已知点B，E，C，F在同一条直线上，且AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE．
（2）连接AF，BD．试判断四边形ABDF的形状，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；推理能力．
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC＝∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：四边形ABDF是平行四边形．
理由如下：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB＝DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（8分）（2021秋•南岸区校级期中）为了庆祝新中国成立72周年，某校学生处在七年级和八年级开展了“迎国庆•弘扬中华传统文化”知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了40名同学的知识竞赛成绩数据，并将数据进行整理分析（竞赛成绩用x表示，共分为四个等级：A．x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100）．
下面给出了部分信息：
七年级C等中全部学生的成绩为：86，87，83，89，84，89，86，89，89，85．
八年级D等中全部学生的成绩为：92，95，98，98，98，98，100，100，100，100．
七、八年级抽取的学生知识竞赛成绩统计表

平均数
中位数
众数
满分率
七年级
91
b
c
25%
八年级
91
87
87
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，c，m的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的知识竞赛，哪个年级的成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级的1800名学生和八年级的2500名学生参加了此次知识竞赛，若成绩在90分（包含90分）以上为优秀，请你估计两个年级此次知识竞赛中优秀的人数．

【考点】调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）用七年级C等人数除以40即可得出C等所占比例，再用单位“1”分别减去B、C、D所占比例即可得出a的值；根据中位数的定义（将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）可得b的值；根据众数的定义（一组数据中出现次数最多的数据叫做众数）可得c的值；用满分人数除以40即可得出m的值；
（2）答案不唯一，合理均可；
（3）总人数乘以90分（包含90分）以上人数所占比例即可
【解答】解：（1）七年级C等有10人，故C等所占比例为×100%＝25%，所以a＝1﹣20%﹣45%﹣25%＝10%；
七年级A等有：40×10%＝4（人），B等有：40×20%＝8（人），
把七年级所抽取了40名同学的知识竞赛成绩从低到高排列，排在最中间的数是89，89，所以中位数b＝89；
因为七年级满分人数为：40×25%＝10（人），所以众数c＝100；
八年级满分率为：×100%＝10%，故m＝10；

（2）因为两个年级的平均数相同，而七年级的中位数、众数和满分率都过于八年级，
所以七年级的成绩更好；

（3）1800×45%+2500××100%＝1435（人），
估计两个年级此次知识竞赛中优秀的人数为1435人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
22．（8分）（2021秋•定海区校级月考）有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．
（1）求两次摸出的球的标号相同的概率；
（2）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号的和等于4的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号相同的结果有4种，
∴两次摸出的球的标号相同的概率为＝；
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号的和等于4的结果有3种，
∴两次摸出的球的标号的和等于4的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（8分）（2022春•渝中区校级月考）材料一：证明：sin2a+cos2a＝1．
证明：如图，作∠BAC＝∠a，在射线AC上任意取一点D（异于点A），过点D作DE⊥AB，垂足为E．

∵DE⊥AB于点E∴
∴
∵在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2
∴
∵∠BAC＝∠a
∴sin2a+cos2a＝1．
材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来．

应用以上材料，完成下列问题：
（1）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C＝60°，求AB的长；
（2）在（1）题图中，如果AC＝b，BC＝a，∠C＝a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．


【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）作AD⊥BC于D．解Rt△ACD，求出CD＝AC•cosC＝2，AD2＝AC2﹣CD2＝42﹣22＝12．再求出BD＝BC﹣CD＝4，然后解Rt△ABD，利用勾股定理即可求出AB＝＝2；
（2）作AD⊥BC于D．解Rt△ACD，求出CD＝AC•cosC＝bcosα，AD2＝AC2﹣CD2＝b2﹣b2cos2α．再求出BD＝BC﹣CD＝a﹣bcosα，然后解Rt△ABD，利用勾股定理即可求出AB＝＝．
【解答】解：（1）如图，作AD⊥BC于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，AC＝4，∠C＝60°，
∴CD＝AC•cosC＝4×＝2，
AD2＝AC2﹣CD2＝42﹣22＝12．
∵BC＝6，CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝4．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝2；

（2）能用a，b和cosa表示AB的长度，．推导过程如下：
如图，作AD⊥BC于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，AC＝b，∠C＝α，
∴CD＝AC•cosC＝bcosα，
AD2＝AC2﹣CD2＝b2﹣b2cos2α．
∵BC＝a，CD＝bcosα，
∴BD＝BC﹣CD＝a﹣bcosα，
∴在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝．

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解直角三角形要用到的关系（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90° ）：
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝，cosA＝，tanA＝．
24．（8分）（2021秋•靖江市期末）一辆快车和一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发匀速相向而行，快车到达乙地后，原路原速返回甲地．图1表示两车行驶过程中离甲地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．

（1）直接写出快慢两车的速度；
（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇？
（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）观察函数图象可得出甲、乙两地间的距离，根据数量关系速度＝路程÷时间即可得出快、慢两车的速度；
（2）根据图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出线段OA、AB、CD的解析式，令OA＝CD和AB＝CD相等即可求出交点横坐标，由此即可得出结论；
（3）根据两车相遇结合t＝0、10、20、30可找出关键点，依此画出函数图象即可．
【解答】解：（1）观察函数图象可知：甲、乙两地距离之间的距离为2250km，
快车的速度为2250÷10＝225（km/h），
慢车的速度为2250÷30＝75（km/h）．
答：快车的速度是225km/h，慢车的速度是75km/h．
（2）设OA的解析式为y＝kx（k≠0），AB的解析式为y1＝k1x+b1（k1≠0），CD的解析式为y2＝k2x+b2（k2≠0），
根据题意得：2250＝10k，，，
解得：k＝225，，，
∴y＝225x（0≤x≤10），y1＝﹣225x+4500（10≤x≤20），y2＝﹣75x+2250（0≤x≤30）．
当225x＝﹣75x+2250时，解得：x＝7.5；
当﹣225x+4500＝﹣75x+2250时，解得：x＝15．
答：慢车出发7.5小时或15小时时，两车相遇．
（3）根据题意得：
7.5小时时两车相遇；
10时时，两车相距2.5×（225+75）＝750（km）；
15时时，两车相遇，
20时时，两车相距75×（30﹣20）＝750（km），
30时时，两车相距为0．
由这些关键点画出图象即可．

【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及函数图象，解题的关键是：（1）根据数量关系速度＝路程÷时间代入数据求值；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）找出函数图象上的关键点的坐标．
25．（8分）（2020•碑林区校级模拟）如图，已知∠AOB的边OA上有一点P，请用尺规作图法，求作⊙O′，使其过点P并且与∠AOB的两边相切．（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】①作∠AOB的平分线OM．②作PN⊥OA交OM于O′．③以O′为圆心，O′P为半径作⊙O′．⊙O′即为所求．
【解答】解：如图所示：⊙O′即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图、切线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）（2021•宁波模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2），与y轴的交点为C（0，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求与此二次函数图象关于y轴对称的图象的二次函数表达式；
（3）已知点A（﹣1，1），点B（3，1）．若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）根据点C（0，3）和顶点（1，2），利用抛物线的顶点坐标公式即可求解；
（2）依据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等可得到抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式；
（3）结合函数图象根据A、B点的坐标可得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与y轴的交点为C（0，3）．
∴c＝3，
∵顶点为（1，2），
∴x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴a﹣2a+3＝2，解得：a＝1，b＝﹣2，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；
（2）∵关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式为y＝x2+2x+3；
（3）如图：

①若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB只有一个公共点，此时，m＝1；
②若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有2个公共点，且恰好为点A、B，设此时函数解析式为y＝（x﹣1）2+c，
将A（﹣1，1），点B（3，1）代入得：c＝﹣3，即向下平移5个单位，
此时，m＝5；
综上所述，若原二次函数图象向下平移m个单位，与线段AB有公共点，m的取值范围为1≤m≤5．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，关于y轴对称点的坐标特点，分类讨论是解题的关键．
27．（9分）（2018秋•满城区期末）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AD＝1，求BC的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【分析】（1）连接OC，由OB＝OC，利用等边对等角得到∠BCO＝∠B，由∠ACD＝∠B，得到∠ACD+∠OCA＝90°，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；
（2）证明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC＝2，由勾股定理求出BC的长即可；
（3）求出∠B＝30°，证明△OAC为等边三角形，求出∠AOC，在Rt△ACD中，可求出CD，求出梯形ADCO和扇形OAC的面积，相减即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵∠ACD＝∠B，∠ACB＝∠ADC，
∴Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴，
∴AC2＝AD•AB，
AC2＝1×4＝4，
∴AC＝2，
BC2＝AB2﹣AC2＝42﹣4＝12，
∴；
（3）解：在Rt△ABC中
∵AC＝2，AB＝4，
∴∠B＝30°，
∴∠OAC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
在Rt△ADC中
∵∠ACD＝∠B＝30°，AD＝1，
∴CD＝＝＝，
∴S阴影＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC＝．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理以及扇形面积的计算，熟练掌握圆的基础知识是解本题的关键．