2022年重庆中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年重庆中考数学模拟试卷2（含答案解析），共38页。
2022年重庆中考数学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）（2022•锡山区一模）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3
2．（4分）（2021秋•海门市期末）计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（　　）
A．3x﹣2xy B．3xy﹣2y C．3x﹣2y D．3x2﹣2y2
3．（4分）（2021春•黔南州期末）若，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）（2022•温州模拟）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　）

A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4
5．（4分）（2019春•隆昌市月考）圆内接四边形ABCD的各角度数之比即：∠A：∠B：∠C：∠D＝5：m：4：n，则m、n满足的条件是（　　）
A．5+m＝4+n B．5m＝4n C．m+n＝9 D．m+n＝180°
6．（4分）（2022•拱墅区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝4
7．（4分）（2021秋•靖江市校级期中）如图，点E、F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，下列所添条件不恰当的是（　　）

A．AF＝EC B．AE＝CF C．∠A＝∠C D．∠D＝∠B
8．（4分）（2021秋•黔江区期末）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（　　）

A．甲的速度是60km/h
B．乙的速度是30km/h
C．甲乙同时到达B地
D．甲出发两小时后两人第一次相遇
9．（4分）（2021春•广安期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
10．（4分）（2021•南通模拟）如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）（　　）

A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米
11．（4分）（2022•开州区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣15 B．﹣13 C．﹣7 D．﹣5
12．（4分）（2018春•九龙坡区校级期末）如图所示，四边形OABC是矩形，△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．△ADE的面积为，且AB＝DE，则k值为（　　）

A．18 B． C． D．16
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）（2022•淮北模拟）计算：﹣（﹣1）0＝　 　．
14．（4分）（2021秋•沙坪坝区期末）在一个不透明的盒子里有四个分别写有﹣2，﹣1，1，2数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字记为m，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字记为n，则m+n的值为负数的概率是 　 　．
15．（4分）（2021秋•江油市期末）若关于x的方程mx＝3﹣x的解为整数，则非负整数m的值为 　 　．
16．（4分）（2021•章丘区模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE＝60°，则图中阴影部分的面积为　 　．

17．（4分）（2021•北碚区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，D是BC上一点，连接AD，将△ADC沿AD翻折，点C的对应点C′落在平面内，连接BC′．若BC′∥AC，则△ABC′的面积为 　 　．

18．（4分）（2021春•涪城区校级月考）把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管（要求两种规格至少有一根）．在不造成浪费的情况下，不同的截法有　 　种．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）（2022•开州区模拟）计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）÷（1﹣）．
20．（10分）（2021秋•沙坪坝区期末）为了落实立德树人根本任务，积极响应“双减”政策要求，某校开设了丰富的劳动教育课程．某日，学生处对学校菜圃耕作情况进行了一次评分．从七、八年级各随机抽取20块菜圃，对这部分菜圃的评分进行整理和分析（菜圃评分均为整数，满分为10分，9分以上为“五星菜圃”）．相关数据统计、整理如下：
抽取八年级菜圃的评分（单位：分）：
7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取的菜圃评分统计
年级
七年级
八年级
平均数
8.25
8.25
中位数
9
a
众数
b
9
方差
2.5875
0.7875
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）该校七年级共19个班，每班有4块菜圃，估计该校七年级“五星菜圃”的数量；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级的菜圃耕种情况谁更好．

21．（10分）（2021秋•南岸区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图：按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
①作出∠BCD的角平分线，交AD边于点E，交BA的延长线于点F；
②连接BE；
（2）若点E是AD的中点，求证：BC＝2AF．

22．（10分）（2022•大渡口区模拟）探究函数的性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象的特征，概括函数的性质的过程．以下是我们究函数y＝﹣+x+m性质的部分过程．请按要求完成下列各小题．
（1）下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请依次写出m，a，b的值；
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣2.6
a
﹣
1
3
不存在
1
b

5.5
…
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝的图象，如图所示，请结合所画的函数图象，直接写出不等式﹣的解集（误差不超过0.1）．

23．（10分）（2022•重庆模拟）为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元．
（1）求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？
（2）该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早己购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值．
24．（10分）（2021春•铜梁区校级期末）对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“攀登数”．用“攀登数”n的个位数字的平方减去十位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为P（n）．例如：n＝123，满足1＜2，且1+2＝3，所以123是“攀登数”，P（123）＝32﹣22﹣12＝4；例如：n＝236，满足2＜3；但是2+3≠6，所以236不是“攀登数”；再如：n＝314，满足3+1＝4，但是3＞1，所以314不是“攀登数”．
（1）判断369和147是不是“攀登数”，并说明理由；
（2）若t是“攀登数”，且t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，求满足条件的“攀登数”t以及P（t）的最大值．
25．（10分）（2021•罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．

26．（8分）（2019秋•义乌市期末）已知，如图1，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，AC＝10，若D为AC的中点，DG⊥AC交BC与点G．
（1）求CG的长；
（2）如图2，E点为射线BA上一动点，连接DE，线段DE绕点D顺时针旋转90°交直线BC与点F；
①若AE＝时，求CF的长；
②如图3，连接EF交直线DG与点M，当△EDM为等腰三角形时，求GF的长．


2022年重庆中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）（2022•锡山区一模）﹣3的相反数是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（4分）（2021秋•海门市期末）计算（15x2y﹣10xy2）÷5xy的结果为（　　）
A．3x﹣2xy B．3xy﹣2y C．3x﹣2y D．3x2﹣2y2
【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据整式的除法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y，
故选：C．
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算以及平方差公式，本题属于基础题型．
3．（4分）（2021春•黔南州期末）若，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；几何直观．
【分析】根据不等式组的解集的确定方法得到不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组的解集为0＜a＜1，
表示在数轴上，如图所示：

故选：B．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式解集，掌握确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解是解题的关键．
4．（4分）（2022•温州模拟）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（　　）

A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】延长CA、DB交于点P1，根据位似中心的概念得到答案．
【解答】解：延长CA、DB交于点P1，
则点P1为位似中心，
故选：A．

【点评】本题考查的是位似变换的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
5．（4分）（2019春•隆昌市月考）圆内接四边形ABCD的各角度数之比即：∠A：∠B：∠C：∠D＝5：m：4：n，则m、n满足的条件是（　　）
A．5+m＝4+n B．5m＝4n C．m+n＝9 D．m+n＝180°
【考点】圆内接四边形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D，
∵∠A：∠B：∠C：∠D＝5：m：4：n，
∴m+n＝5+4＝9，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
6．（4分）（2022•拱墅区模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝4
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】利用二次根式的加减法法则计算A、B，利用二次根式的乘、除法法则计算C、D，根据计算结果判断即可．
【解答】解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
3﹣＝2≠3，故选项B错误；
×＝，故选项C错误；
÷＝＝2≠4，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
7．（4分）（2021秋•靖江市校级期中）如图，点E、F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，下列所添条件不恰当的是（　　）

A．AF＝EC B．AE＝CF C．∠A＝∠C D．∠D＝∠B
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【分析】根据全等三角形的判定方法，对各个选项中的条件逐一判断即可．
【解答】解：∵AD＝BC，DF＝BE，
∴添加条件AF＝EC时，则△ADF≌△CBE（SSS），故选项A不符合题意；
添加条件AE＝CF时，则AE+EF＝CF+EF，故AF＝CE，则△ADF≌△CBE（SSS），故选项B不符合题意；
添加条件∠A＝∠C时，无法判断△ADF≌△CBE，故选项C符合题意；
添加条件∠D＝∠B时，则△ADF≌△CBE（SAS），故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
8．（4分）（2021秋•黔江区期末）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（　　）

A．甲的速度是60km/h
B．乙的速度是30km/h
C．甲乙同时到达B地
D．甲出发两小时后两人第一次相遇
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；应用意识．
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度是（100﹣40）÷（3﹣2）＝60（km/h），故选项A符合题意；
乙的速度为：60÷3＝20（km/h），故选项B不符合题意；
甲先到达B地，故选项C不符合题意；
甲出发40÷60＝小时后两人第一次相遇，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9．（4分）（2021春•广安期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【分析】延长FP交AB于点G，证明△AGP≌△FPE，即可判断①②正确；在△PDF中，由勾股定理即可判断③正确；△APD为等腰三角形时，有AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA三种情况，即可判断④错误
【解答】解：延长PF交AB于点G，
∵PF⊥CD，AB∥CD，
∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形GBEP为矩形，
又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴BE＝PE，
∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．
∴GB＝BE＝EP＝GP，
∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，
又∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS）．
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确；
在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，
故③正确；
∵P在BD上，
∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，
∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．
∴正确答案有①②③，
故选：B．

【点评】本题考查了正方形判定与性质，矩形性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，有一定综合性．
10．（4分）（2021•南通模拟）如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）（　　）

A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．
【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．

Rt△ABF中，i＝tan∠BAF＝，AB＝26米，
∴BF＝10（米），AF＝24（米），
∴BG＝AF+AE＝54（米），
Rt△BGC中，∠CBG＝43°，
∴CG＝BG•tan43°≈54×0.93＝50.22（米），
Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝30米，
∴DE＝AE＝30（米），
∴CD＝CG+GE﹣DE＝50.22+10﹣30≈8.3（米）．
故选：A．
【点评】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
11．（4分）（2022•开州区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣15 B．﹣13 C．﹣7 D．﹣5
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组．
【专题】计算题；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】①解不等式组，再根据一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，求出a≥﹣8，②解分式方程得y＝，根据关于y的分式方程的解为负整数列不等式组，求出a＜1且a≠﹣2，根据①②得出a的取值范围为，﹣8≤a＜1且a≠﹣2，再根据解为负整数，求出a的值，从而求出满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：，
解不等式①得x≤，
解不等式②得x＜﹣2，
∵一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，
∴≥﹣2，
解得a≥﹣8，
，
去分母，得2y＝a﹣（y+1）
解得y＝，
∵关于y的分式方程的解为负整数，
∴，
解得a＜1且a≠﹣2，
∴a的取值范围为：﹣8≤a＜1且a≠﹣2，
∵解为负整数
∴当a﹣1＝﹣6．a﹣1＝﹣9，
解得a＝﹣5或﹣8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：（﹣5）+（﹣8）＝﹣13，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组和分式方程，用含有a的代数式表示x和y，列出不等式组，求出a的取值范围是解题关键．
12．（4分）（2018春•九龙坡区校级期末）如图所示，四边形OABC是矩形，△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．△ADE的面积为，且AB＝DE，则k值为（　　）

A．18 B． C． D．16
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用．
【分析】设B（m，5），则E（m+3，3），因为B、E在y＝上，则有5m＝3m+9＝k，由此即可解决问题；
【解答】解：∵△ADE是等腰直角三角形，面积为，
∴AD＝DE＝3，
∵AB＝DE，
∴AB＝5，设B（m，5），则E（m+3，3），
∵B、E在y＝上，
则有5m＝3m+9＝k
∴m＝，
∴k＝5m＝
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）（2022•淮北模拟）计算：﹣（﹣1）0＝　1　．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】先计算8的立方根和（﹣1）0，再算减法．
【解答】解：原式＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂和立方根的意义是解决本题的关键．
14．（4分）（2021秋•沙坪坝区期末）在一个不透明的盒子里有四个分别写有﹣2，﹣1，1，2数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字记为m，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字记为n，则m+n的值为负数的概率是 　　．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中m+n的值为负数的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中m+n的值为负数的结果有4种，
∴m+n的值为负数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）（2021秋•江油市期末）若关于x的方程mx＝3﹣x的解为整数，则非负整数m的值为 　2或0　．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】先方程得x＝，再由方程的解为整数，则有m+1＝±3或m+1＝±1，求得m＝2或m＝﹣4或m＝0或m＝﹣2，根据题意，m是非负整数，即可求m的值为2或0．
【解答】解：mx＝3﹣x，
移项，合并同类项，得（m+1）x＝3，
解得x＝，
∵方程的解为整数，
∴m+1＝±3或m+1＝±1，
∴m＝2或m＝﹣4或m＝0或m＝﹣2，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
∵m是非负整数，
∴m＝2或m＝0，
故答案为：2或0．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，根据m值的限定条件对m的值进行取舍是解题的关键．
16．（4分）（2021•章丘区模拟）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE＝60°，则图中阴影部分的面积为　﹣　．

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】根据S阴＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
∵∠B＝90°，AE＝AD＝1，
∴AB＝AE•sin60°＝，
∴S阴＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE＝﹣＝﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出AB长和∠AEB的度数是解此题的关键．
17．（4分）（2021•北碚区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，D是BC上一点，连接AD，将△ADC沿AD翻折，点C的对应点C′落在平面内，连接BC′．若BC′∥AC，则△ABC′的面积为 　　．

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；三角形的面积；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】连接CC'，过A点作AM⊥BC'交延长线于M，由AC∥BC'，可知∠CBC'＝30°，再由折叠可得AB＝2，AC＝4，由∠ABC'＝120°，求出∠ABM＝60°，则BM＝1，AM＝，求出C'M＝＝，所以BC'＝﹣1，即可求S△AC'B＝×BC'×AM＝．
【解答】解：连接CC'，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AC∥BC'，
∴∠CBC'＝30°，
由折叠可知，△ACD≌△AC'D，
∴CD＝C'D，AC＝AC'，
∵BC＝2，
∴AB＝2，AC＝4，
过A点作AM⊥BC'交延长线于M，
∵∠ABC'＝120°，
∴∠ABM＝60°，
∵AB＝2，
∴BM＝1，AM＝，
∵AC'＝4，
∴C'M＝＝，
∴BC'＝﹣1，
∴S△AC'B＝×BC'×AM＝×（﹣1）×＝，
故答案为．

【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质、折叠的性质，作出适当的辅助线是解题的关键．
18．（4分）（2021春•涪城区校级月考）把一根长7m的钢管截成规格为2m和1m的钢管（要求两种规格至少有一根）．在不造成浪费的情况下，不同的截法有　3　种．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】方程思想；应用意识．
【分析】设可以截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，根据钢管的总长度为7m，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出结论．
【解答】解：设可以截成2m的钢管x段，1m的钢管y段，
依题意得：2x+y＝7，
∴y＝7﹣2x，
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种截法．
故答案为：3
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）（2022•开州区模拟）计算：
（1）（x﹣y）2﹣y（y﹣2x）；
（2）÷（1﹣）．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】计算题；整式；分式；运算能力．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简；
（2）先将括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+y2﹣y2+2xy
＝x2；
（2）原式＝÷
＝
＝．
【点评】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的结构，分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
20．（10分）（2021秋•沙坪坝区期末）为了落实立德树人根本任务，积极响应“双减”政策要求，某校开设了丰富的劳动教育课程．某日，学生处对学校菜圃耕作情况进行了一次评分．从七、八年级各随机抽取20块菜圃，对这部分菜圃的评分进行整理和分析（菜圃评分均为整数，满分为10分，9分以上为“五星菜圃”）．相关数据统计、整理如下：
抽取八年级菜圃的评分（单位：分）：
7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取的菜圃评分统计
年级
七年级
八年级
平均数
8.25
8.25
中位数
9
a
众数
b
9
方差
2.5875
0.7875
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　8　，b＝　10　；
（2）该校七年级共19个班，每班有4块菜圃，估计该校七年级“五星菜圃”的数量；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级的菜圃耕种情况谁更好．

【考点】方差；用样本估计总体；中位数；众数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值．
（2）用七年级总共的菜圃数乘以样本中9分以上的菜圃所占的百分比即可；
（3）根据优秀率进行评价即可．
【解答】解：（1）∵抽取20块八年级菜圃的评分（单位：分）：
7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10，
第10，11个数均为8，故八年级中位数a＝8．
根据扇形统计图可知七、八年级抽取的菜圃，
七、八年级评为6分的共有40×10%＝4（块），评为7分的共有40×25%＝10（块），评为8分的共有40×15%＝6（块），
评为9分的共有40×30%＝12（块），评为10分的共有40×20%＝8（块），
则七年级评为6分的有4﹣0＝4（块），评为7分的有10﹣5＝5（块），评为8分的有6﹣6＝0（块），
评为9分的有12﹣8＝4（块），评为10分的有8﹣1＝7（块），
七年级评为10分的最多，故众数b＝10．
故答案为：8；10；

（2）19×4×＝26.6≈27（块）．
故可估计该校七年级“五星菜圃”的数量约为27块；

（3）七年级的菜圃耕种情况更好．理由如下：
七年级菜圃的中位数高于八年级或七年级菜圃的众数高于八年级．
或八年级的菜圃耕种情况更好．因为八年级菜圃的方差小于七年级．
【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差的定义，以及用样本估算总体．关键在于从统计图表中获取信息．
21．（10分）（2021秋•南岸区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图：按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．
①作出∠BCD的角平分线，交AD边于点E，交BA的延长线于点F；
②连接BE；
（2）若点E是AD的中点，求证：BC＝2AF．

【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】（1）如图，利用基本作图∠BCD的平分线即可；
（2）先利用平行四边形的性质AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，再证明∠DEC＝∠DCE得到DE＝DC，从而得到BC＝2CD，然后证明△AEF≌△DEC得到AF＝CD，所以BC＝2AF．
【解答】（1）解：如图，

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴AD＝2CD＝2AB，
∴BC＝2CD，
∵AF∥CD，
∴∠F＝∠DCE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴BC＝2AF．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
22．（10分）（2022•大渡口区模拟）探究函数的性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象的特征，概括函数的性质的过程．以下是我们究函数y＝﹣+x+m性质的部分过程．请按要求完成下列各小题．
（1）下表是该函数y与自变量x的几组对应值，请依次写出m，a，b的值；
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣2.6
a
﹣
1
3
不存在
1
b

5.5
…
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质；
（3）已知函数y＝的图象，如图所示，请结合所画的函数图象，直接写出不等式﹣的解集（误差不超过0.1）．

【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【分析】（1）把x＝0，y＝0代入y＝﹣2|x﹣3|﹣x+a求得a＝6，然后把和x＝﹣1和x＝3分别代入入y＝﹣2|x﹣3|﹣x+6即可求得；
（2）描点、连线画出图形，观察图象即可求得函数的性质；
（3）观察图象得到即可．
【解答】解：（1）把x＝0，y＝3代入y＝﹣+x+m，得3＝2+m，
∴m＝1，
把x＝﹣3代入y＝﹣+x+1，得y＝﹣，
把x＝3代入y＝﹣+x+1，得y＝3，
∴a＝﹣，b＝3，
故m，a，b的值分别为1，﹣，3；

（2）描点连线绘制如下函数图象：

观察图象，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而增大；

（3）由图象可知，不等式﹣的解集是﹣2.5＜x＜1或x＞3．
【点评】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解此题的关键．
23．（10分）（2022•重庆模拟）为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元．
（1）求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？
（2）该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早己购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】（1）设书店老板购进《朝花夕拾》x本，则购进《乐山乐水》3x本，《艾青诗选》（4500﹣x﹣3x）本，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出购进《朝花夕拾》的数量，再将其代入3x，（4500﹣x﹣3x）中可求出购进《乐山乐水》和《艾青诗选》的数量；
（2）利用总利润＝每本的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设书店老板购进《朝花夕拾》x本，则购进《乐山乐水》3x本，《艾青诗选》（4500﹣x﹣3x）本，
依题意得：12x+10×3x+20（4500﹣x﹣3x）＝52000，
解得：x＝1000，
∴3x＝3×1000＝3000，4500﹣x﹣3x＝4500﹣1000﹣3000＝500．
答：店老板购进《乐山乐水》3000本，《艾青诗选》500本，《朝花夕拾》1000本．
（2）依题意得：（25﹣10）×（120+）+[60（1+）﹣20]（50+）+（30﹣﹣12）×20＝6836，
整理得：a2+211a﹣2676＝0，
解得：a1＝12，a2＝﹣223（不合题意，舍去）．
答：a的值为12．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．（10分）（2021春•铜梁区校级期末）对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“攀登数”．用“攀登数”n的个位数字的平方减去十位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为P（n）．例如：n＝123，满足1＜2，且1+2＝3，所以123是“攀登数”，P（123）＝32﹣22﹣12＝4；例如：n＝236，满足2＜3；但是2+3≠6，所以236不是“攀登数”；再如：n＝314，满足3+1＝4，但是3＞1，所以314不是“攀登数”．
（1）判断369和147是不是“攀登数”，并说明理由；
（2）若t是“攀登数”，且t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，求满足条件的“攀登数”t以及P（t）的最大值．
【考点】因式分解的应用；列代数式．
【专题】新定义；推理能力；应用意识．
【分析】本题首先要根据理解新定义，然后根据新定义列出关系式，最终求解．
【解答】解：（1）∵3＜6＜9，3+6＝9，故369是“攀登数”，
∵1＜4＜7，1+4≠7，故147不是“攀登数”，
（2）设t的百位，十位，个位数分别为x，y，z，由题意可得
，
设M＝3t+z
＝3（100x+10y+z）+z
＝300x+30y+4z
＝300x+30y+4（x+y）
＝304x+34y
＝（301x+28y）+（3x+6y）
＝（301x+28y）+3（x+2y）
∵t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，
要使M能被7整除，则x+2y能被7整除，
又∵x＜y＜z，
∴x+y≤9，
∴（x，y）的可能组合有（1，3），（2，6），（4，5）
则t的取值为134，268，459
P（134）＝42﹣32﹣12＝6，P（268）＝82﹣62﹣22＝24，P（459）＝92﹣52﹣42＝40，
∴P（t）的最大值＝40．
【点评】本题是一道新定义题目，解决的关键是能够根据定义列出关系式，进而求解．
25．（10分）（2021•罗湖区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△ABC沿直线AC翻折得到△AB'C，点B'恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当△AB'G面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得△BPQ为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．

【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题；存在型；分类讨论；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x+c得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．
（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，
在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H＝＝＝2，
∴点B′的坐标为（1，2），
设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx+b，对称轴与AG交于点D，
则：，解得：，
∴直线AG解析式为y＝x+，
∴D（1，），
∴B′D＝2﹣，
∴S△AB′G＝S△AB′D+S△GB′D
＝•B′D•2+•B′D•（t﹣1）
＝•B′D•（t+1）
＝（2﹣）（t+1）
＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2+（2+）t+3+，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣＝时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（，）；
（3）存在．
取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x+b1，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x+．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q＝∠BB′A＝30°，
∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线AP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x．
综上所述，直线AP的函数表达式为y＝x+或y＝x．



【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．
26．（8分）（2019秋•义乌市期末）已知，如图1，在△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，AC＝10，若D为AC的中点，DG⊥AC交BC与点G．
（1）求CG的长；
（2）如图2，E点为射线BA上一动点，连接DE，线段DE绕点D顺时针旋转90°交直线BC与点F；
①若AE＝时，求CF的长；
②如图3，连接EF交直线DG与点M，当△EDM为等腰三角形时，求GF的长．

【考点】几何变换综合题．
【专题】综合题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）先判断出△ACB∽△GCD，得出比例式，再求出CD，BG，即可得出结论；
（2）①Ⅰ、当点E在线段AB上时，利用三角形的中位线即可得出结论；
Ⅱ、先求出DG＝＝，再判断出△FDG∽△EDA，得出，进而求出FG，即可得出结论；
②先判断出∠FED＝∠ACB，进而判断出△MED∽△FDC，得出△FCD是等腰三角形，再分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB⊥AC，DG⊥AC，
∴∠B＝∠CDG＝90°，
∵∠ACB＝∠GCD，
∴△ACB∽△GCD，
∴，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AC＝5，
根据勾股定理得，BC＝4，
∴，
∴CG＝；

（2）①Ⅰ、当点E在线段AB上时，
∵AE＝，AB＝2，
∴点E是AB的中点，
∵点D是AC的中点，
∴DE∥BC，
∵AB⊥BC，DE⊥DF，
∴DF⊥BC，
∴BF∥AB，
∵点D是AC中点，
∴点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝2；

Ⅱ、当点E在BA的延长线上时，如图1，
∵点D是AC的中点，AC＝10，
∴AD＝AC＝5，
由（1）知，△BAC∽△DGC，
∴∠CGD＝∠CAB，，
∴DG＝＝，∠FGD＝∠EAD，
∵GD⊥AC，ED⊥DF，
∴∠FDG＝∠EDA，
∴△FDG∽△EDA，
∴，
∴FG＝＝，
∴CF＝CG+FG＝3；

②由①知，△FDG∽△EDA，
∴＝，
∴tan∠FED＝，
∵tan∠ACB＝＝，
∴∠FED＝∠ACB，
∵DE⊥DF，DG⊥AC，
∴∠ADG＝∠EDF＝90°，
∴∠MDE＝∠FDC，
∴△MED∽△FDC，
∵△EDM是等腰三角形，
∴△FCD是等腰三角形，
Ⅰ、当FD＝FC时，点E在AB的延长线上，不符合题，舍去，
Ⅱ、当CD＝CF时，CF＝CD＝5，
∴GF＝CG﹣CF＝﹣5；
当CD＝DF时，DF＝CD＝5，
∴DF＝AC，
∴点F与点B重合，
∴GF＝BC﹣CG＝；

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，三角形中位线定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．