2022年江西中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年江西中考数学模拟试卷2（含答案解析），共32页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
2022年江西中考数学模拟试卷2
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•肥城市期末）如果a与﹣2022互为倒数，那么a的值是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
2．（3分）（2021秋•原阳县期末）如图是由5个小立方块搭成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）（2021秋•迁安市期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2021•南昌模拟）2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有（　　）

A．600人 B．270人 C．280人 D．260人
5．（3分）（2022•宣州区校级一模）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2021春•无棣县期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家都曾经进行过深入研究，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2020•张家界）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为　 　元．
8．（3分）（2021秋•老河口市期末）计算：7.792﹣2.212＝　 　．
9．（3分）（2021秋•仁寿县期末）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则＝　 　．
10．（3分）（2022•碑林区校级三模）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，求a+2b﹣c的值为 　 　．

11．（3分）（2019春•义安区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为　 　．

12．（3分）（2013•金华模拟）如图，在正三角形GHT上截得一个每一个内角都相等、周长为20的六边形ABCDEF，又AF＝4，EF＝3，
（1）填空：连接AE，则AE的长为　 　；
（2）已知设AB＝x，六边形ABCDEF的面积为y，则y的最大值为　 　．

三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2021•江西模拟）（1）计算：（﹣1）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+；
（2）求不等式组的解集．
14．（6分）（2021秋•张店区期末）先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
15．（6分）（2020•文成县二模）受疫情影响，小王准备从意大利坐飞机到上海，然后坐班车回文成，意大利．到上海仅有A、B两个班次飞机，从上海到文成仅有C、D、E三个班次汽车．
（1）请用列表或树状图的方法，表示小王从意大利到文成的所有可能选择的交通情况；
（2）若同一天有一名新型肺炎感染者乘A班次飞机和D班次汽车从意大利回文成，请你求出小王与这名新型肺炎感染者乘坐班次完全相同的概率．
16．（6分）（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　 　；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．

17．（6分）（2022•高安市一模）政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
18．（8分）（2020秋•碑林区校级期中）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连接OA使OA⊥AB于A，连接OC，并延长交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若A（1，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．

19．（8分）（2020秋•三明期末）为响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图：

复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
3
3
m
15
14
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝　 　；
（2）请在图中作出两次测试的数学成绩折线图；
（3）请估计复学一个月后该校600名七年级学生数学成绩合格（60分及以上）的人数．
20．（8分）（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

21．（9分）（2021•梁园区一模）如图，以AB为直径的⊙O交Rt△ABC斜边AC于点E，过O作OD∥AC交BC于点D，连接DE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，连接BE，OE．
①当∠CAB的度数为 　 　时，△AEB≌△OED；
②当OD＝　 　时，四边形OBDE为正方形．

22．（9分）（2021秋•东城区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
23．（12分）（2022•深圳二模）【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．


2022年江西中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•肥城市期末）如果a与﹣2022互为倒数，那么a的值是（　　）
A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣
【考点】倒数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）（2021秋•原阳县期末）如图是由5个小立方块搭成的几何体，则该几何体从左面看到的形状图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】根据简单组合体的左视图的意义和画法画出相应的图形即可．
【解答】解：这个组合体的左视图为：

故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
3．（3分）（2021秋•迁安市期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】直接将分式通分运算，进而利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣＝﹣＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式的加减，正确将分式通分运算是解题关键．
4．（3分）（2021•南昌模拟）2021年某校对学生到校方式进行调查，如图，若该校骑车到校的学生有150人，则步行到校的学生有（　　）

A．600人 B．270人 C．280人 D．260人
【考点】扇形统计图．
【专题】统计的应用；应用意识．
【分析】根据骑车到校的学生有150人，可以求得总人数，求出步行到校的学生所占的百分比，即可求得步行到校的学生人数．
【解答】解：总人数为：150÷25%＝600（人），
步行到校的学生所占的百分比为：1﹣25%﹣20%﹣10%＝45%，
步行到校的学生人数是：600×45%＝270（人），
故选：B．
【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（3分）（2022•宣州区校级一模）一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【分析】根据两个函数图象交于y轴上的同一点可排除A；当a＞0时，根据二次函数图象的开口方向、一次函数的性质可排除D选项；当a＜0时，根据二次函数图象的开口方向、一次函数的性质可排除C选项．此题得解．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意；
当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，故D不符合题意；
当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小，故C不符合题意．
故选：B．
【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
6．（3分）（2021春•无棣县期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家都曾经进行过深入研究，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S＝，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的应用；数学常识．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为2，3，4的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S＝，
∴若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是：S＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
7．（3分）（2020•张家界）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为　2.11×108　元．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感；运算能力；应用意识．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，
所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，
故答案为：2.11×108．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（3分）（2021秋•老河口市期末）计算：7.792﹣2.212＝　55.8　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】应用平方差公式进行因式分解计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（7.79+2.21）×（7.79﹣2.21）＝10×5.58＝55.8．
故答案为：55.8．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣应用公式法，熟练掌握因式分解﹣应用平方差公式进行求解是解决本题的关键．
9．（3分）（2021秋•仁寿县期末）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则＝　2　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝＝，
∵x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝2，
∴原式＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：x1，x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝是解本题的关键．
10．（3分）（2022•碑林区校级三模）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，求a+2b﹣c的值为 　16　．

【考点】规律型：数字的变化类；数学常识．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据题目中的数据可知，a、b、c分别为上一行中左上角和右上角的数字之和，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：由图可得，
a＝1+5＝6，b＝5+10＝15，c＝10+10＝20，
∴a+2b﹣c＝6+2×15﹣20＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a、b、c的值．
11．（3分）（2019春•义安区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处．若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为　7　．

【考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质可得EF＝AE、BF＝BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为22，求出FC的长，即可解决问题．
【解答】解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB，
∴▱ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝8+22＝30，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB+BC＝15，
∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝22，
即FC+15＝22，
∴FC＝7，
故答案为7．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FCB的周长进行转化是解决问题的关键．
12．（3分）（2013•金华模拟）如图，在正三角形GHT上截得一个每一个内角都相等、周长为20的六边形ABCDEF，又AF＝4，EF＝3，
（1）填空：连接AE，则AE的长为　　；
（2）已知设AB＝x，六边形ABCDEF的面积为y，则y的最大值为　　．

【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）先利用多边形内角和定理求出六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，则与其相邻的外角都等于60°，得出△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形，再过点E作EM⊥FG于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出FM＝FG＝，则EM＝FM＝，然后在Rt△AEM中，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）先由等边三角形的三边相等得出3+4+x＝x+a+b＝b+c+3，由六边形ABCDEF的周长为20，得出a+b+c+x＝13，再将式子变形得出b＝2x﹣2，然后由y＝S△GHT﹣S△ABH﹣S△CDT﹣S△GFE，得出y＝﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF的每一个内角都相等，
∴∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠EFA＝120°，
∴∠BAH＝∠ABH＝∠DCT＝∠CDT＝∠FEG＝∠EFG＝60°，
∴△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形．
过点E作EM⊥FG于M，则FM＝FG＝EF＝，
∴EM＝FM＝．
△AEM中，∵∠AME＝90°，AM＝AF+FM＝4+＝，EM＝，
∴AE＝＝＝；

（2）∵三角形GHT为等边三角形，
∴GH＝HT＝TG，
∵△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形，
∴3+4+x＝x+a+b＝b+c+3，
∴a+b＝7，4+x＝b+c，
∵六边形ABCDEF的周长为20，
∴a+b+c+x＝13，7+c+x＝13，
∴c+x＝6，c＝6﹣x，
∴b+6﹣x＝4+x，b＝2x﹣2．
∴y＝S△GHT﹣S△ABH﹣S△CDT﹣S△GFE
＝（x+7）2﹣x2﹣（2x﹣2）2﹣×32
＝﹣x2+x+9
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，y有最大值．
故答案为；．

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，多边形的面积，有一定难度，本题对式子的变形能力要求也较高，解题关键是证明△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形．
三．解答题（共11小题，满分84分）
13．（6分）（2021•江西模拟）（1）计算：（﹣1）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+；
（2）求不等式组的解集．
【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据整式负指数幂、零指数幂、绝对值的性质以及立方根计算即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+2﹣+3
＝5﹣；

（2），
由①得：x＜3；
由②得：x≥﹣1；
所以不等式组的解集是：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查了实数的计算和解一元一次不等式组的应用，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（6分）（2021秋•张店区期末）先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（）•
＝•
＝，
由题意得：x≠±1，
当x＝2时，原式＝＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、二次根式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
15．（6分）（2020•文成县二模）受疫情影响，小王准备从意大利坐飞机到上海，然后坐班车回文成，意大利．到上海仅有A、B两个班次飞机，从上海到文成仅有C、D、E三个班次汽车．
（1）请用列表或树状图的方法，表示小王从意大利到文成的所有可能选择的交通情况；
（2）若同一天有一名新型肺炎感染者乘A班次飞机和D班次汽车从意大利回文成，请你求出小王与这名新型肺炎感染者乘坐班次完全相同的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；模型思想；应用意识；创新意识．
【分析】（1）根据乘坐飞机和汽车的班次，列举出所有可能出现的结果情况；
（2）根据概率的意义和计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）用列表法，表示小王从意大利到文成的所有可能选择的交通情况如下：

（2）由上表可知，共有6种可能出现的情况，其中乘A班次飞机和D班次汽车的只有1种，
∴P（乘坐班次完全相同）＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是解题的关键．
16．（6分）（2021•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）．
（1）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；
（2）连接CC1，△ACC1的面积为 　　；
（3）在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的．

【考点】作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；网格型；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；应用意识．
【分析】（1）将A、B、C三点分别绕点A按顺时针方向旋转90°画出依次连接即可；
（2）勾股定理求出AC，由面积公式即可得到答案；
（3）利用相似构造△CFD∽△C1ED即可．
【解答】解：（1）如图：
图中△AB1C1即为要求所作三角形；

（2）∵AC＝＝，由旋转性质知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，
∴△ACC1的面积为×AC×AC1＝，
故答案为：；

（3）连接EF交CC1于D，即为所求点D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴＝，
∴CD＝CC1，
∴△ACD的面积＝△ACC1面积的．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造△CFD∽△C1ED得到CD＝CC1．
17．（6分）（2022•高安市一模）政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元．
（1）求出商品A、B每个的标价．
（2）若商品A、B的折扣相同，商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，根据“不打折时，6个A商品，5个B商品，总费用114元．3个A商品，7个B商品，总费用111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设商店打m折出售这两种商品，根据“打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品共用了141.6元”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用获得的优惠＝不打折时购买这些商品所需费用﹣打折后购买这些商品所需费用，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每个A商品的标价为x元，每个B商品的标价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个A商品的标价为9元，每个B商品的标价为12元．
（2）设商店打m折出售这两种商品，
依题意得：9×9×+8×12×＝141.6，
解得：m＝8，
9×9+12×8﹣141.6＝35.4（元）．
答：商店打8折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
18．（8分）（2020秋•碑林区校级期中）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连接OA使OA⊥AB于A，连接OC，并延长交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若A（1，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；直角三角形斜边上的中线；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】（1）先证得△AOD∽△BAC，求得AC＝2OD＝2，BC＝2AD＝2n，根据k＝1×n＝（2n+1）（n﹣2），即可求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE，即可求得∠AEO＝45°，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE，即可求得∠OCD＝∠ACE＝67.5°，从而求得∠EOD＝22.5°．
【解答】解：（1）∵OA⊥AB于A，
∴∠OAD+∠BAC＝90°，
∵AC⊥x轴，垂足为D，
∴∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠BAC＝∠AOD，
∵∠ADO＝∠ACB＝90°，
∴△AOD∽△BAC，
∴＝＝，
∵AB＝2OA，A（1，n），
∴＝＝，
∴AC＝2OD＝2，BC＝2AD＝2n，
∴B（2n+1，n﹣2），
∵顶点A、B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×n＝（2n+1）（n﹣2），
解得n＝1+，k＝1+，
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO＝45°，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE，
∴∠ACE＝＝67.5°，
∵∠OCD＝∠ACE＝67.5°，
∴∠EOD＝90°﹣67.5°＝22.5°．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，证得∠AOE＝∠AEO＝45°是解题的关键．
19．（8分）（2020秋•三明期末）为响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图：

复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表
成绩
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数
1
3
3
m
15
14
6
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）m＝　8　；
（2）请在图中作出两次测试的数学成绩折线图；
（3）请估计复学一个月后该校600名七年级学生数学成绩合格（60分及以上）的人数．
【考点】频数（率）分布折线图；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
【专题】统计与概率；数据分析观念．
【分析】（1）根据题意和图1中的数据，可以求得本次抽取的学生人数，然后根据图2中的数据，即可计算出m的值；
（2）根据表格中的数据，可以将两次测试的数学成绩折线图在图2中画出来；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出复学一个月后该校600名七年级学生数学成绩合格（60分及以上）的人数．
【解答】解：（1）由图1可知，随机抽取的学生有2+8+10+15+10+4+1＝50（人），
故m＝50﹣（1+3+3+15+14+6）＝50﹣42＝8，
故答案为：8；
（2）两次测试的数学成绩折线图如下图所示；

（3）600×
＝600×
＝600×
＝516（人），
答：估计复学一个月后该校600名七年级学生数学成绩合格（60分及以上）的有516人．
【点评】本题考查频数分布折线图、频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【考点】解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；应用意识；创新意识．
【分析】求出∠E的度数，再在Rt△BDE 中，依据三角函数进行计算即可．
【解答】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，
∴∠E＝140°﹣50°＝90°，
在Rt△BDE中，
DE＝BD•cos∠D，
＝560×cos50°，
≈560×0.64，
＝358.4（米）．
答：点E与点D间的距离是358.4米．
【点评】考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．
21．（9分）（2021•梁园区一模）如图，以AB为直径的⊙O交Rt△ABC斜边AC于点E，过O作OD∥AC交BC于点D，连接DE．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，连接BE，OE．
①当∠CAB的度数为 　60°　时，△AEB≌△OED；
②当OD＝　2　时，四边形OBDE为正方形．

【考点】圆的综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力；应用意识．
【分析】（1）连接OE，BE，BE与OD相交于点M，根据圆周角定理和OD∥AC得OD垂直平分线段BE，再证明△DEO≌△DBO （SSS），即可证明∠DEO＝90°，即证DE为⊙O的切线；
（2）①由∠CAB＝60°，OA＝OE可得△AOE是等边三角形，再由OD∥AC即可证明△AEB≌△OED （ASA）；②由OA＝OB，OD∥AC以及BE＝OD即可证明△ABC是等腰直角三角形，即可证明四边形OBDE为正方形．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，BE，BE与OD相交于点M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵OD∥AC，
∴OD⊥BE，
∵OB＝OE，
∴EM＝BM，
∴OD垂直平分线段BE，
∴DE＝DB，
∵OD＝OD，
∴△DEO≌△DBO （SSS），
∴∠DEO＝∠DBO，
∵△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴ABC＝90°，
∴∠DEO＝90°，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：①当∠CAB＝60°时，△AEB≌△OED，理由如下：
∵∠CAB＝60°，OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AEO＝∠EAB＝60°，AE＝OE，
∵OD∥AC，
∴∠DOE＝∠AEO＝60°．
∴∠EAB＝∠EOD＝60°．
∵∠AEB＝∠OED＝90°，
∴△AEB≌△OED （ASA）；
②当OD＝2时，四边形OBDE为正方形，理由如下：
∵OA＝OB，OD∥AC，
∴CD＝BD，
∴OD＝AC，
∵OD＝2，AB＝4，
∴BD＝2，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OB＝DB，
∵DE＝DB，
∴EO＝BO＝DB＝DE，
∴四边形OBDE为菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形OBDE为正方形．
故答案为：①60°；②2．

【点评】本题是圆的综合问题，主要考查了圆周角定理、垂直平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、正方形的判定，解决此题的关键是连接OE，BE，BE与OD相交于点M构造△DEO≌△DBO以及熟悉正方形的判定．
22．（9分）（2021秋•东城区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．
（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围；
（3）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）根据图象可得答案；
（3）先画出直线y＝x﹣3，则可得到直线y＝x﹣3与抛物线的交点坐标为（0，﹣3），（3，0），然后写出抛物线在直线y＝x﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，
∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），
∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象经过（3，0）点，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
如图，

（2）当x＝4时，y＝5；当x＝0时，y＝﹣3，
∴当0＜x＜4时，﹣4≤y＜5；
（3）由图象可得m＜0或m＞3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
23．（12分）（2022•深圳二模）【问题情境】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
【尝试应用】
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出的值．

【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】（1）方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，证四边形BFGH是平行四边形，得出BH＝FG，再由ASA证得△ABE≌△CBH，即可得出结论；
方法2，平移线段BC至FH交AE于点K，则四边形BCHF是矩形，再由ASA证得△ABE≌△FHG，即可得出结论；
（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，由勾股定理和勾股定理的逆定理证∠FCD＝90°，再由tan∠AOC＝tan∠FDC，即可得出结果；
（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，由SAS证△AGD≌△BEG，得DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，再证∠EGD＝90°，得出∠GDE＝∠GED＝45°，即可得出结果；
②证明△ADH∽△ACB，得＝＝即可．
【解答】（1）证明：方法1，平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△BCH中，
，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
方法2：平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：
则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，
∴FH＝BC，∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝90°，
∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，
∵FG⊥AE，
∴∠HFG+∠AKF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠HFG，
在△ABE和△FHG中，
，
∴△ABE≌△FHG（ASA），
∴AE＝FG；
（2）解：将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：
∴∠AOC＝∠FDC，
设正方形网格的边长为单位1，
则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，
由勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，
∵（）2+（2）2＝52，
∴CF2+CD2＝DF2，
∴∠FCD＝90°，
∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；
（3）解：①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，
，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3﹣2所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴＝＝＝．





【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平移的性质等知识；熟练掌握平移的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．