2022年南京中考数学模拟试卷3（含答案解析）

这是一份2022年南京中考数学模拟试卷3（含答案解析），共31页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
2022年南京中考数学模拟试卷3
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•龙泉市期末）龙庆高速公路，主线长约54300米，极大便利周边群众的对外沟通和联系，拉动沿线乡镇的经济．54300这个数据可以用科学记数法表示为（　　）
A．5.43×105 B．5.43×104 C．54.3×103 D．0.543×105
2．（2分）（2021春•姜堰区期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．a2⋅a3＝a6 B．﹣2a﹣2＝﹣
C．（﹣a2）3＝a5 D．﹣a2﹣2a2＝﹣3a2
3．（2分）（2021秋•岳西县期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3cm，5cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．2cm，2cm，5cm D．1cm，2cm，4cm
4．（2分）（2021秋•高邮市期末）当前手机移动支付已经成为新型的支付方式，图中是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细，则妈妈元旦当天的微信零钱收支情况是（　　）
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A．收入128元 B．收入32元 C．支出128元 D．支出32元
5．（2分）设m＝（），n＝3，p＝（），则m，n，p的大小关系为（　　）
A．n＜m＜p B．m＜p＜n C．n＜p＜m D．p＜n＜m
6．（2分）（2020秋•开江县期末）下列各种现象属于中心投影的是（　　）
A．晚上人走在路灯下的影子
B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子
D．早上升旗时地面上旗杆的影子
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021秋•会宁县校级期末）在﹣8、+3、﹣（﹣3）、0、﹣4.2、0.01、﹣|﹣2|中，
属于整数集合的有{　 　……}；
属于分数集合的有{　 　　……}；
属于正数集合的有{　 　……}；
属于负数集合的有{　 　……}．
8．（2分）（2022•锡山区一模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
9．（2分）（2021秋•浦东新区校级期中）计算：＝　 　．
10．（2分）（2022•南通模拟）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是　 　．
11．（2分）（2021秋•河口区期末）在平面直角坐标系中，线段AB平行于x轴，且AB＝4．若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（a，b），则a+b＝　 　．
12．（2分）（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　．

13．（2分）（2022•荷塘区校级模拟）如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，则点P的坐标是 　 　．

14．（2分）（2022•怀化模拟）如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，已知∠P＝50°，则∠ACB＝　 　度．

15．（2分）（2021秋•蔡甸区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为 　 　．

16．（2分）（2020春•昌图县期末）如图，在面积是8的平行四边形ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝3BE，则图中阴影部分的面积是　 　．

三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2022春•青羊区校级月考）（1）（）﹣2﹣2（+）2+（）0；
（2）解不等式2（x﹣1）≥x﹣5，并把解集表示在数轴．
18．（7分）（2021•广西）解分式方程：＝+1．
19．（7分）（2021•重庆）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（1﹣）÷．
20．（8分）（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．

21．（8分）为了了解我校学生的环保意识，学生会设计出了一张如下问卷
我校学生保护环境意识的调查问卷
年 月 日
调查目的，了解同学们保护环境的意识 调查对象的姓名：性别：
调查的内容：对环境保护的认识（　　）
A．经常做保护环境的事情
B．从不做破坏环境的事情
C．有时做破坏环境的事情
说明：请放心答卷，一切个人资料绝对保密，谢谢合作
学生会从各年级各班中按比例抽取56名同学作调查，整理得到如下统计表：
选项
划记
人数
A
正正正一
16
B
正正正正正正正
39
C
一
1
在调查的过程中选项C的同学紧占，但学生会最后一致认为与平时同学们的表现有较大的出入，请你分析这个统计数据失真的原因，如何修改调查内容中的选项比较合理？
22．（8分）（2021秋•临江市期末）共享经济已经进入人们的生活，小明收集了共享出行、共享服务、共享物品、共享知识4个共享经济领域的图标，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外其余完全相同）现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 　 　；
（2）若随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（卡片用编号表示）．
23．（8分）（2022春•龙湖区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝∠APD＝90°，且PA＝PD．
（1）求证：△ABP≌△PCD；
（2）若AB＝6，CD＝2，求tan∠DAC的值．

24．（8分）（2021秋•南岸区期末）已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OC与EF相交于点P．
（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点P与A地的路程；
（2）求线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）求经过多少h，甲、乙两人相距的路程为6km．

25．（8分）（2021•越秀区校级二模）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，使∠MAC＝∠ABC，
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作弧AC的中点D，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：FD＝FG．
（3）若BC＝4，AB＝6，求AE．

26．（10分）（2020•太仓市模拟）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）沿直线AD方向平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C'，若点C'在反比例函数y＝﹣的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．

27．（9分）（2021秋•海淀区期末）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为r．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；
②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；
③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；
④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；
⑤以AE为边作正方形AEFG．
正方形AEFG即为所求．

根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 　 　．
（2）由②③可知，AC＝r，AB'＝πr，则MC＝　 　，MA＝　 　（用含r的代数式表示）．
（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2＝EM2，可计算得AE2＝　 　（用含r的代数式表示）．
由此可得S正方形AEFG＝S⊙O．

2022年南京中考数学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•龙泉市期末）龙庆高速公路，主线长约54300米，极大便利周边群众的对外沟通和联系，拉动沿线乡镇的经济．54300这个数据可以用科学记数法表示为（　　）
A．5.43×105 B．5.43×104 C．54.3×103 D．0.543×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：54300＝5.43×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2分）（2021春•姜堰区期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A．a2⋅a3＝a6 B．﹣2a﹣2＝﹣
C．（﹣a2）3＝a5 D．﹣a2﹣2a2＝﹣3a2
【考点】幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；推理能力．
【分析】利用合并同类项的法则，负整数指数幂，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故A不符合题意；
B、﹣2a﹣2＝，故B不符合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故C不符合题意；
D、﹣a2﹣2a2＝﹣3a2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（2分）（2021秋•岳西县期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3cm，5cm，4cm B．1cm，2cm，3cm
C．2cm，2cm，5cm D．1cm，2cm，4cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由于三角形三边满足两短边的和大于最长的边，只要不满足这个关系就不能构成三角形．根据这个关系即可确定选择项．
【解答】解：A、∵3+4＞5，
∴可以构成三角形，符合题意；
B、∵1+2＝3，
∴无法构成三角形，不合题意；
C、∵2+2＜5，
∴无法构成三角形，不合题意；
D、∵1+2＜4，
∴无法构成三角形，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
4．（2分）（2021秋•高邮市期末）当前手机移动支付已经成为新型的支付方式，图中是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细，则妈妈元旦当天的微信零钱收支情况是（　　）
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A．收入128元 B．收入32元 C．支出128元 D．支出32元
【考点】正数和负数；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解答】解：+48﹣30﹣50＝﹣32，
所以妈妈元旦当天的微信零钱收支情况是支出32元．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的加减法，确定相反意义的量是解题关键．
5．（2分）设m＝（），n＝3，p＝（），则m，n，p的大小关系为（　　）
A．n＜m＜p B．m＜p＜n C．n＜p＜m D．p＜n＜m
【考点】分数指数幂；实数大小比较．
【专题】实数．
【分析】将m，n，p分别60次方，得到m60＝，n60＝，p60＝315，再比较大小即可；
【解答】解：n＝3＝，p＝（）＝，
∵m60＝，n60＝，p60＝315，
∴p＞m＞n；
故选：A．
【点评】本题考查分数指数幂的比较大小；将所给数据分别60次方后再比较是解题的关键．
6．（2分）（2020秋•开江县期末）下列各种现象属于中心投影的是（　　）
A．晚上人走在路灯下的影子
B．中午用来乘凉的树影
C．上午人走在路上的影子
D．早上升旗时地面上旗杆的影子
【考点】中心投影．
【专题】投影与视图；应用意识．
【分析】根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可．
【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为中心投影．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
7．（2分）（2021秋•会宁县校级期末）在﹣8、+3、﹣（﹣3）、0、﹣4.2、0.01、﹣|﹣2|中，
属于整数集合的有{　﹣8，﹣（﹣3），0，﹣|﹣2|　……}；
属于分数集合的有{　+3，﹣4.2，0.01　　……}；
属于正数集合的有{　+3，﹣（﹣3），0.01　……}；
属于负数集合的有{　﹣8，﹣4.2，﹣|﹣2|　……}．
【考点】有理数；相反数；绝对值．
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【解答】解：属于整数集合的有{﹣8，﹣（﹣3），0，﹣|﹣2|……}；
属于分数集合的有{+3，﹣4.2，0.01……}；
属于正数集合的有{+3，﹣（﹣3），0.01……}；
属于负数集合的有{﹣8，﹣4.2，﹣|﹣2|……}．
故答案为：﹣8，﹣（﹣3），0，﹣|﹣2|；+3，﹣4.2，0.01；+3，﹣（﹣3），0.01；﹣8，﹣4.2，﹣|﹣2|．
【点评】此题考查有理数问题，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
8．（2分）（2022•锡山区一模）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥2　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
9．（2分）（2021秋•浦东新区校级期中）计算：＝　　．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】首先化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质与化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（2分）（2022•南通模拟）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是　8　．
【考点】根与系数的关系；分式的加减法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
a2+a＝1，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+
＝3﹣3a﹣b+
＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+
＝4﹣2a+
＝4+
＝4+
＝4+4
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用各根与系数的关系，本题属于基础题型．
11．（2分）（2021秋•河口区期末）在平面直角坐标系中，线段AB平行于x轴，且AB＝4．若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（a，b），则a+b＝　5或﹣3　．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵AB∥x轴，A的坐标为（﹣1，2），
∴点B的纵坐标为2．
∵AB＝4，
∴点B的横坐标为﹣1+4＝3或﹣1﹣4＝﹣5．
∴点B的坐标为（3，2）或（﹣5，2）．
则a+b＝3+2＝5或a+b＝﹣5+2＝﹣3．
故答案为：5或﹣3．
【点评】本题主要考查的是坐标与图象的性质，掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键．
12．（2分）（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　　．

【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．
【解答】解：连接OA，

∵，BC是直径，
∴OA⊥BC，
∵OA＝OB，AB＝2，
∴OA＝OB＝，
∴BC＝2OA＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．
13．（2分）（2022•荷塘区校级模拟）如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，则点P的坐标是 　（﹣1，0）　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】先确定m．n的关系，再求p的坐标．
【解答】解：∵直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点．
∴n＝﹣2m
，
∴k1＝＝＝﹣m，
b＝n+m＝﹣2m+m＝﹣m．
∴直线为：y＝﹣mx﹣m．
当y＝0时，x＝﹣1．
∴p（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
【点评】本题考查一次函数与
14．（2分）（2022•怀化模拟）如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，已知∠P＝50°，则∠ACB＝　115　度．

【考点】切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】根据切线的性质和四边形内角和的定理即可得．
【解答】解：连接OA，OB，
根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得：
∠AOB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠1＝360﹣130＝230°
再根据圆周角定理得∠ACB＝∠1＝115°．

【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理以及圆周角定理．
15．（2分）（2021秋•蔡甸区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为 　　．

【考点】点与圆的位置关系；二次函数的最值；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵过P的直线是⊙D的切线，
∴DP垂直于切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∴OA＝，
∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴＝，
∵AC•DM＝，AD＝4，CD＝3，AC＝5，
∴DM＝，
∴PM＝PD+DM＝1+＝，
∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝××＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．
16．（2分）（2020春•昌图县期末）如图，在面积是8的平行四边形ABCD中，对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交AB、CD于点E、F，若AE＝3BE，则图中阴影部分的面积是　1　．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；旋转的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】连接AC，根据平行四边形的性质求出△AOB的面积，根据三角形的面积公式求出△EOB的面积，同理得到△FOD的面积，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：连接AC，
∵点O是BD的中点，
∴点O在AC上，且点O是AC的中点，
∴△AOB的面积＝×四边形ABCD的面积＝2，
∵AE＝3BE，
∴△EOB的面积＝×△AOB的面积＝，
同理可得，△FOD的面积＝，
∴图中阴影部分的面积＝+＝1，
故答案为：1．

【点评】本题考查的是平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握平行四边形的对角线互相平分、三角形的面积公式是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分88分）
17．（7分）（2022春•青羊区校级月考）（1）（）﹣2﹣2（+）2+（）0；
（2）解不等式2（x﹣1）≥x﹣5，并把解集表示在数轴．
【考点】二次根式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及完全平方公式计算即可得到结果；
（2）不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2（5+2）+1
＝4﹣10﹣4+1
＝﹣5﹣4；
（2）去括号得：2x﹣2≥x﹣5，
移项得：2x﹣x≥﹣5+2，
合并得：x≥﹣3，
．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法及运算法则是解本题的关键．
18．（7分）（2021•广西）解分式方程：＝+1．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x＝x+3x+3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（7分）（2021•重庆）计算：
（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；
（2）（1﹣）÷．
【考点】分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．
【专题】整式；分式；运算能力．
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题；
（2）括号内先通分，然后根据分式的减法法则和除法法则计算即可．
【解答】解：（1）（x﹣y）2+x（x+2y）
＝x2﹣2xy+y2+x2+2xy
＝2x2+y2；
（2）（1﹣）÷
＝（）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确完全平方公式和单项式乘多项式计算方法、分式混合运算的计算方法．
20．（8分）（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△CFE；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝EF，BC＝DF，由中垂线的性质可得AB＝AF，可得结论；
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，
∵点E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△FDE和△BEC中，
，
∴△FDE≌△BEC（AAS）；
（2）∵△FDE≌△BEC，
∴BE＝EF，BC＝DF，
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3，
∴AB的长为3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明△DAE≌△CFE是本题的关键．
21．（8分）为了了解我校学生的环保意识，学生会设计出了一张如下问卷
我校学生保护环境意识的调查问卷
年 月 日
调查目的，了解同学们保护环境的意识 调查对象的姓名：性别：
调查的内容：对环境保护的认识（　　）
A．经常做保护环境的事情
B．从不做破坏环境的事情
C．有时做破坏环境的事情
说明：请放心答卷，一切个人资料绝对保密，谢谢合作
学生会从各年级各班中按比例抽取56名同学作调查，整理得到如下统计表：
选项
划记
人数
A
正正正一
16
B
正正正正正正正
39
C
一
1
在调查的过程中选项C的同学紧占，但学生会最后一致认为与平时同学们的表现有较大的出入，请你分析这个统计数据失真的原因，如何修改调查内容中的选项比较合理？
【考点】调查收集数据的过程与方法；统计表．
【专题】数据的收集与整理．
【分析】设计问卷调查的内容，在选项上有重叠的现象，修改时注意各个选项不重叠、不交叉各自独立．
【解答】解：选项：A．经常做保护环境的事情 和选项C．有时做破坏环境的事情，在划分上有重叠或不容易界定的问题，而者的意义差不多，因此在作调查时，容易选A，造成选C的人数较少，与实际不符．
调查内容选项修改为：A．从不破坏环境，B．有时候破坏环境，C．经常破坏环境．
【点评】考查问卷调查的设计，各个选项要相对独立，且所有选项包含总体情况．
22．（8分）（2021秋•临江市期末）共享经济已经进入人们的生活，小明收集了共享出行、共享服务、共享物品、共享知识4个共享经济领域的图标，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外其余完全相同）现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 　　；
（2）若随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（卡片用编号表示）．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比求解．
23．（8分）（2022春•龙湖区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝∠APD＝90°，且PA＝PD．
（1）求证：△ABP≌△PCD；
（2）若AB＝6，CD＝2，求tan∠DAC的值．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由∠APB+∠BAP＝∠APB+∠CPD得∠BAP＝∠CPD，进而由AAS得结论；
（2）过点D作DH∠AC于点H．利用相似三角形的性质求出CH，DH，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠B＝∠DCB＝∠APD＝90°，
∴∠APB+∠BAP＝∠APB+∠CPD，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵PA＝PD，
∴△ABP≌△PCD（AAS）；
（2）解：过点D作DH∠AC于点H．

∵△ABP≌△PCD，
∴AB＝CP＝6，BP＝CD＝2，
∴BC＝2+6＝8，
∴AC＝，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCH，
∵∠B＝∠CHD＝90°，
∴△ABC∽△CHD，
∴，即，
∴CH＝，DH＝，
∴AH＝AC﹣CH＝，
∴tan∠DAC＝．
【点评】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
24．（8分）（2021秋•南岸区期末）已知A，B两地相距的路程为12km，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OCD和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的路程y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OC与EF相交于点P．
（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点P与A地的路程；
（2）求线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）求经过多少h，甲、乙两人相距的路程为6km．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出线段OC对应的y甲与x的函数关系式；
（3）根据（1）和（2）中的结果，可以得到经过多少小时，甲、乙两人相距6km．
【解答】解：（1）设y乙与x的函数关系式是y乙＝kx+b，
∵点E（0，12），F（2，0）在函数y乙＝kx+b的图象上，
∴，解得，
即y乙与x的函数关系式是y乙＝﹣6x+12，
当x＝0.5时，y乙＝﹣6×0.5+12＝9，
即两人相遇地点与A地的距离是9km；
（2）设线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝ax，
∵点（0.5，9）在函数y甲＝ax的图象上，
∴9＝0.5a，
解得a＝18，
即线段OC对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝18x；
（3）①令|18x﹣（﹣6x+12）|＝6，
解得，x1＝（甲h已到B地，故不合题意，舍去），x2＝，
②当甲到达B地时，乙离B地6千米所走时间为：6÷（12÷2）＝1（小时），
综上所述，经过小时或1小时时，甲、乙两人相距6km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．（8分）（2021•越秀区校级二模）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，使∠MAC＝∠ABC，
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）作弧AC的中点D，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：FD＝FG．
（3）若BC＝4，AB＝6，求AE．

【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明∠MAB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）作AC的垂直平分线交于点D，利用基本作图作DE⊥AB，利用圆周角定理得到∠DBC＝∠DBA，然后证明∠FDB＝∠FGD得到FD＝FG；
（3）连接OD交AC于M，如图，根据垂径定理，利用点D为的中点得到OD⊥AC，AM＝CM，易得OM＝BC＝2，接着证明△OAM≌△ODE得到OM＝OE＝2，然后计算OA﹣OE即可．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠BAC＝90°，
即∠MAB＝90°，
∴MA⊥AB，
∴MN是半圆的切线，
（2）证明：如图，
∵点D为的中点，
∴∠DBC＝∠DBA，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝∠BGC，
∵∠BGC＝∠FGD，
∴∠FDB＝∠FGD，
∴FD＝FG；
（3）解：连接OD交AC于M，如图，
∵点D为的中点，
∴OD⊥AC，AM＝CM，
∴OM＝BC＝2，
在△OAM和△ODE中，
，
∴△OAM≌△ODE（AAS），
∴OM＝OE＝2，
∴AE＝OA﹣OE＝3﹣2＝1．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．
26．（10分）（2020•太仓市模拟）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．
（1）求线段AD的长；
（2）沿直线AD方向平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C'，若点C'在反比例函数y＝﹣的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力；模型思想．
【分析】（1）解方程求出点A的坐标，根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝（x﹣m）2+n，根据题意求出直线CC′的解析式，代入计算即可．
【解答】解：（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（﹣2，0），
∵直线y＝x+m经过点A，
∴﹣2+m＝0，
解得，m＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD＝＝2；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝（x﹣m）2+n，
∴C'（m，n），
∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，
∵点C'在反比例函数的图象上，
∴n＝﹣，
∴，
解得，或，
∴新抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣1）2﹣3，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣6x+8或y＝x2﹣2x﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质等知识，熟练掌握方程的思想是解题的关键．
27．（9分）（2021秋•海淀区期末）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为r．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；
②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；
③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；
④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；
⑤以AE为边作正方形AEFG．
正方形AEFG即为所求．

根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线　．
（2）由②③可知，AC＝r，AB'＝πr，则MC＝　　，MA＝　　（用含r的代数式表示）．
（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2＝EM2，可计算得AE2＝　πr2　（用含r的代数式表示）．
由此可得S正方形AEFG＝S⊙O．
【考点】圆的综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力．
【分析】（1）利用已知条件结合切线的判定定理解答即可；
（2）利用中点的定义和线段和差的意义解答即可；
（3）利用勾股定理将（2）中的数据代入即可得出结论．
【解答】解：（1）∵l⊥OA于点A，OA为⊙O的半径，
∴直线l为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（2）∵以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C，
∴AC＝r．
∵纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处，
∴AB'＝＝πr，
∴CB′＝CA+AB′＝r+πr＝（π+1）r．
∵M为CB′的中点，
∴MC＝CB′＝．
∴MA＝MC﹣AC＝﹣r＝．
故答案为：；；
（3）连接ME，如图，

则ME＝MC＝．
在Rt△AME中，
∵AM2+AE2＝EM2，
∴AE2＝EM2﹣AM2
＝﹣
＝[][]
＝πr×r
＝πr2．
∴S正方形AEFG＝S⊙O．
故答案为：πr2．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆的周长与面积，正方形的面积，勾股定理，本题是操作型题目，根据题干中的作图步骤转化成几何语言是解题的关键．