2022年广州中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年广州中考数学模拟试卷2（含答案解析），共34页。
2022年广州中考数学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•同心县校级期末）在实数，0，30%，3.1415926，﹣3.33，4.21，3π中，有理数的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（3分）（2019秋•和平区校级月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　）
A． B．和 C．和 D．和
3．（3分）（2018秋•吕梁期末）分式方程的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
4．（3分）（2016•松北区模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．（x+y）2＝x2+y2
C．（﹣3x）3＝﹣9x3 D．﹣（x﹣6）＝6﹣x
5．（3分）（2020•无锡）下列命题正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等
B．平行四边形的对角互补
C．有三个角为直角的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．（3分）（2021•昌平区二模）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2016•昆明）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（　　）

A．EF∥CD B．△COB是等边三角形
C．CG＝DG D．的长为π
8．（3分）（2022•三水区一模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
9．（3分）（2022•天河区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）（2021•长春一模）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是（　　）

A．0≤t≤4 B．1≤t≤4 C．1≤t≤5 D．2≤t≤5
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•如皋市期末）如果式子有意义，则x的取值范围为 　 　．
12．（3分）（2021•镇江）一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 　 　．
13．（3分）（2021秋•秦州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于点E，连接AD．则∠CAD的度数为 　 　．

14．（3分）（2022•天河区校级一模）一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
15．（3分）（2021秋•济源期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，∠BAD＝θ，当θ的值等于 　 　时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．

16．（3分）（2021秋•赣州期中）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝4，则OF的长为 　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2021•婺城区校级模拟）解方程组：．
18．（4分）（2021秋•宁波期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE．
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．

19．（6分）（2021秋•张店区期末）先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
20．（6分）（2021•郑州二模）习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：

40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
10
2
分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
请回答下列问题：
（1）在上面两个表格中：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）估计该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由．
21．（8分）（2021•长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
22．（10分）（2020春•南海区期末）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°．
（1）作∠A的角平分线与边BC交于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：△ABE是等边三角形．

23．（10分）（2022•乐清市一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点E为弧AC的中点，AC，BE交于点D，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点F，AF＝6．
（1）求证：AD＝AF．
（2）求tan∠ODA的值．
（3）若点P为⊙O上一点，连接CP，DP，当CP与△OBD三边中的一条边平行时，求所有满足条件的AP的长．

24．（12分）（2022•南岗区模拟）已知：抛物线y＝﹣（x+k）（x﹣7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB＝OC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标．

25．（12分）（2021秋•和平区校级月考）如图，菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且∠BCD＝∠BGF＝120°，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图1，当点F与点O重合时，直接写出的值为 　 　；
（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，试探究CG与DF的数量关系，说明理由；并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数；
（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF＝2时，请直接写出BP的长．


2022年广州中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•同心县校级期末）在实数，0，30%，3.1415926，﹣3.33，4.21，3π中，有理数的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】实数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据整数和分数统称有理数，判断即可．
【解答】解：在实数，0，30%，3.1415926，﹣3.33，4.21，3π中，
是有理数的有：，0，30%，3.1415926，﹣3.33，4.21，
所以，共有6个有理数，
故选：D．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握整数和分数统称有理数是解题的关键．
2．（3分）（2019秋•和平区校级月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　）
A． B．和 C．和 D．和
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力；推理能力．
【分析】比较：当P在点A、B之间时的距离、当点P到点A和点B的距离之和为7的点P的位置，借助含绝对值的式子分析求解即可．
【解答】解：由题意得：当P到点A、B的距离之和为7时，有
|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝7
∵当点P位于点A、B之间时，|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝4
∴将x从﹣1向左1.5个单位或从3向右1.5个单位，则有
|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝7
此时x＝﹣1﹣1.5＝﹣，或x＝3+1.5＝
\故选：C．
【点评】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及数轴的应用，明确如何借助用数轴上的点表示距离，是解题的关键．
3．（3分）（2018秋•吕梁期末）分式方程的解是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3﹣x+3＝x﹣2，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（3分）（2016•松北区模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．（x+y）2＝x2+y2
C．（﹣3x）3＝﹣9x3 D．﹣（x﹣6）＝6﹣x
【考点】完全平方公式；实数的运算；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据完全平方公式以及积的乘方公式即可判断．
【解答】解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，选项错误；
C、（﹣3x）3＝﹣27x3，选项错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
5．（3分）（2020•无锡）下列命题正确的是（　　）
A．菱形的对角线相等
B．平行四边形的对角互补
C．有三个角为直角的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】利用菱形、平行四边形的性质及正方形、矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；
B、平行四边形的对角互补，故原命题 错误，不符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、平行四边形的性质及正方形、矩形的判定方法等知识，属于基础知识，比较简单．
6．（3分）（2021•昌平区二模）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有4个等可能的结果，小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的结果有2个，
∴小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为＝，
故选：C．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）（2016•昆明）如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD、OC、BC，下列结论不正确的是（　　）

A．EF∥CD B．△COB是等边三角形
C．CG＝DG D．的长为π
【考点】弧长的计算；切线的性质．
【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据垂径定理判断C；利用弧长公式计算出的长判断D．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，
∴AB⊥EF，又AB⊥CD，
∴EF∥CD，A正确；
∵AB⊥弦CD，
∴＝，
∴∠COB＝2∠A＝60°，又OC＝OD，
∴△COB是等边三角形，B正确；
∵AB⊥弦CD，
∴CG＝DG，C正确；
的长为：＝π，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查的是垂径定理、弧长的计算、切线的性质，掌握弧长的计算公式l＝、切线的性质定理以及垂径定理是解题的关键．
8．（3分）（2022•三水区一模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：①∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小；
故①正确；
②∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则
1＝a（0+1）（0﹣m），
得：1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，
故②错误；
③∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，2022离对称轴近些，
∴yl＜y2；
故③正确；
④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∵该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得：1＜m≤，
故④正确；
∴①③④正确，②错误，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．（3分）（2022•天河区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；解直角三角形；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出AB＝A′B＝5，从而求出A′C，然后在Rt△ACA′中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝＝＝3，
由旋转得：
AB＝A′B＝5，
∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，
在Rt△ACA′中，tan∠A′AC＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（3分）（2021•长春一模）如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是（　　）

A．0≤t≤4 B．1≤t≤4 C．1≤t≤5 D．2≤t≤5
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】先求得D的坐标，然后表示出平移后的点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），依据点D′、B′落在函数函数y＝（x＞0）的图象上时t的值，根据图象即可求得符合题意的t的取值．
【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2），
∴D（1，5），
∴平移后，可设点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），
当点D′落在函数y＝（x＞0）的图象上时，则5（1+t）＝10，
解得t＝1，
当点B′落在函数y＝（x＞0）的图象上时，则2t＝10，
解得t＝5，
∴平移后的矩形ABCD与函数y＝（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是1≤t≤5，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质的应用，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2021秋•如皋市期末）如果式子有意义，则x的取值范围为 　x≥﹣7　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+7≥0，
解得：x≥﹣7，
故答案为：x≥﹣7．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）（2021•镇江）一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 　x1＝0，x2＝﹣1　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程x（x+1）＝0，
可得x＝0或x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．（3分）（2021秋•秦州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于点E，连接AD．则∠CAD的度数为 　60°　．

【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由垂直平分线的性质可得∠DAB＝∠B＝15°，结合三角形外角的性质可求得∠ADC＝30°，再利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°．
故答案为60°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求解∠ADC＝30°是解题的关键．
14．（3分）（2022•天河区校级一模）一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　＜　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；根的判别式．
【专题】反比例函数及其应用；模型思想．
【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝0﹣4m＞0，
解得m＜0，
∵m＜0，
∴反比例函数y＝图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．（3分）（2021秋•济源期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，∠BAD＝θ，当θ的值等于 　28°或31°　时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形．

【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分两种情况讨论解答即可，当DF＝GF时，当DF＝DG时，从而求出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°，
∴∠B＝∠C＝28°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°．
①当DF＝GF时，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝56°，
∴∠FDG＝∠FGD＝62°，
∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，
∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°，
∴∠ADB＝28°+θ+62°，
∵∠ADB+∠B+θ＝180°
∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°，
∴θ＝31°．
②当DF＝DG时，
∴∠DFG＝∠DGF＝56°，
∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，
∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°，
∴∠ADB＝28°+θ+68°，
∵∠ADB+∠B+θ＝180°，
∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°，
∴θ＝28°．
∴当θ＝28°或31°时，△DFG为等腰三角形．
故答案为：28°或31°．
故答案为：28°或31°．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
16．（3分）（2021秋•赣州期中）如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝4，则OF的长为 　2　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】根据垂径定理求出AD，证明△ADO≌△OFE，根据全等三角形的性质求出OF．
【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝4，
∴AD＝AC＝2，
∵OE∥AC，
∴∠OAD＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理、全等三角形的判定和性质，证明△ADO≌△OFE是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2021•婺城区校级模拟）解方程组：．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】方程①×3+②，消去未知数y，求出未知数x，再代入方程①求出y即可．
【解答】解：，
①×3+②，得7x＝14，解得x＝2，
把x＝2代入①，得2﹣y＝3，解得y＝﹣1．
故方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是灵活运用加减消元法、代入消元法的方法解方程组，属于中考常考题型．
18．（4分）（2021秋•宁波期末）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF．
（1）求证：△ADE≌△CFE．
（2）若AB＝5.5，CF＝4，求BD的长．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【分析】（1）利用角角边定理判定即可；
（2）利用全等三角形对应边相等可得AD的长，用AB﹣AD即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4．
∴BD＝AB﹣AD＝5.5﹣4＝1.5，
答：BD的长为1.5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选择合适的判定方法是解题的关键．
19．（6分）（2021秋•张店区期末）先化简再求值，选择一个你喜欢的x的值代入其中并求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝（）•
＝•
＝，
由题意得：x≠±1，
当x＝2时，原式＝＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、二次根式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）（2021•郑州二模）习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：

40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
10
2
分析数据：

平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
请回答下列问题：
（1）在上面两个表格中：a＝　11　，b＝　77.5　，c＝　81　．
（2）估计该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由．
【考点】众数；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）求出90分以上的所占得百分比即可；
（3）根据中位数、众数的比较得出结论．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，
将七年级学生成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝77.5，因此中位数是77.5，即b＝77.5，
八年级学生成绩出现次数最多的是81分，共出现3次，因此众数是81，即c＝81，
故答案为：11，77.5，81；
（2）（80+80）×＝12（人），
答：该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有12人；
（3）八年级学生的总体水平较好，
因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级学生的总体水平较好．
【点评】本题考查了中位数、众数、频数分布表，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
21．（8分）（2021•长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，
解得：x＝22．
答：该参赛同学一共答对了22道题．
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，
依题意得：4y﹣（25﹣y）≥90，
解得：y≥23．
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10分）（2020春•南海区期末）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°．
（1）作∠A的角平分线与边BC交于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：△ABE是等边三角形．

【考点】作图—基本作图；等边三角形的判定；平行四边形的性质．
【专题】作图题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【分析】（1）作∠A的角平分线与边BC交于点E即可；
（2）根据平行四边形的性质即可证明△ABE是等边三角形．
【解答】解：（1）如图，线段AE即为所求；

（2）证明：
在▱ABCD中，∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2＝BAD＝60°，
∴∠AEB＝60°
∴△ABE是等边三角形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、等边三角形的判定、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握以上知识．
23．（10分）（2022•乐清市一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点E为弧AC的中点，AC，BE交于点D，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点F，AF＝6．
（1）求证：AD＝AF．
（2）求tan∠ODA的值．
（3）若点P为⊙O上一点，连接CP，DP，当CP与△OBD三边中的一条边平行时，求所有满足条件的AP的长．

【考点】圆的综合题．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】（1）证明出∠ADE＝∠F即可得出AD＝AF，
（2）连接OE与AD交点H，可有△ODH为直角三角形，求出OH和DH的长度即可求出tan∠ODA的值，
（3）当CP∥OB时，当CP∥OD时，当CP∥BD时的三种情况进行分类讨论，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：连接EA，

∵E为弧AC的中点，
∴∠EAC＝∠ABE，
∵AF与⊙O相切于点A，
∴∠FAB＝90°，
∴∠B+∠F＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAC+∠ADE＝90°
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF．
（2）解：连结OE交AD于点H，

∵AB＝8，AF＝6，∠FAB＝90°
∴，
∵∠ADF＝∠F，
∴，
∴，
设HE＝4x，
则DH＝3x，
∵△DEH∽△EAH，
∴，
∴EH2＝AH•HD，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当CP∥BD时，得弧PE＝弧BC，

∴∠PAE＝∠CAB，
∴∠PAB＝∠EAC
∴，
∴．
②当CP∥AB时，得弧AP＝弧BC，

∵AP＝BC，
∴，H，O分别为AC，AB的中点
∴OH为△ABC的中位线，
∴．
③当CP∥OD时，
过点A作AG⊥PC于G，

∴∠ACP＝∠ODA，
∴tan∠ACP＝tan∠ODA，
∴，
设AG＝14x，
则CG＝27x，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
综上所述，AP的长度为或或．
【点评】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，第三问的解题关键是分类讨论，属于中考常考题型．
24．（12分）（2022•南岗区模拟）已知：抛物线y＝﹣（x+k）（x﹣7）交x轴于A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C，且OB＝OC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接AP，AP交y轴于点D，设P的横坐标为m，CD的长为d，求d与m的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PE⊥y轴于点E，延长EP至点G，使得PG＝3CE，连接CG交AP于点F，且∠AFC＝45°，连接AG交抛物线于T，求点T的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；数形结合；函数思想；待定系数法；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力；模型思想；应用意识．
【分析】（1）由图象可得B点坐标，代入函数解析数即可求解；
（2）表示出点P坐标，由正切公式可表示出d与m的关系，即可求出；
（3）作出辅助线，得到▱CGPW，利用正切公式求出m与k的值，得到G点坐标，然后表示出∠GAB的正切值，从而求出T点坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（x+k）（x﹣7）＝0，
解得：x＝﹣k或7，
∴点B的坐标为（7，0），A（﹣k，0），
∵OB＝OC，
∴OC＝OB＝7，
∴点C的坐标为（0，7），
将点C的坐标代入抛物线表达式得：﹣（0+k）（0﹣7）＝7，
解得：k＝2，
∴y＝﹣（x+2）（x﹣7）＝﹣x2+x+7，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+7；
（2）过点P作PK⊥AB与点K，PE⊥y轴于点E，如图1，
∵y＝﹣（x+2）（x﹣7），
∴P（m，﹣（m+2）（m﹣7）），A（﹣2，0），
∴AK＝m+2，
tan∠PAB＝＝＝，
∴DO＝AO•tan∠PAB＝2（）＝7﹣m，
∴CD＝7﹣（7﹣m）＝m，
∴d＝m．

（3）过点C作WC⊥ED使得WD＝PD，TL⊥AB，连接WD，WP，
设EC＝k，
则PG＝3k，
∵∠WCD＝∠DEP，CD＝EP，WD＝PD，
∴△WCD≌△DEP，
则△PWD为等腰直角三角形，
∴∠WPD＝45°＝∠CFD，
∴WP∥CG，
∴四边形CGPW为平行四边形，
∴CW＝PG＝3k＝ED，
∴CD＝2k＝PE，
∴tan∠APE＝＝，
由（2）可得tan∠PAB＝，
∴＝，
∴m＝4，k＝2，
∴EO＝7+2＝9，EG＝10，
∴G（10，9），A（﹣2，0），
∴tan∠GAB＝＝，
再设T坐标为（t，﹣（t+2）（t﹣7）），
则tan∠TAB＝＝，
∴t＝，
∴T（，）．

【点评】本题主要考查二次函数综合运用能力，涉及二次函数图象与解析式、平行四边形的证明和正切公式，难度较大，属于中考压轴题，第（3）小题的关键是构造平行四边形，运用正切公式求解．
25．（12分）（2021秋•和平区校级月考）如图，菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且∠BCD＝∠BGF＝120°，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图1，当点F与点O重合时，直接写出的值为 　　；
（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，试探究CG与DF的数量关系，说明理由；并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数；
（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF＝2时，请直接写出BP的长．

【考点】四边形综合题．
【专题】综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据菱形的性质可得△AEF为正三角形，从而得出AE＝AF，然后利用30度直角三角形的性质即可得出AF与FD的比；
（2）连结BF，延长GC交DF于点M，证明△BFD∽△BGC即可得出CG与DF的数量关系，由∠GMF＝∠DCM+∠CDM可得∠GMF的度数，从而确定直线CG与DF所夹锐角的度数；
（3）设AP＝x，可以表示出AD＝AB＝AC＝2x，然后再根据△AHP∽△CHB，可以表示出，，然后表示出HF，再过B作BG⊥AD于点G，利用勾股定理表示出PB，最后利用列出关于x的方程，求出x即可．
【解答】（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵四边形BGFE为菱形，
∴∠BEF＝∠BGF＝120°，
∴∠AEF＝60°，
∴△AEF为正三角形，
∴AE＝AF，
∵AC⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∴，
故答案为；
（2）连结BF，延长GC交DF于点M，

∵∠BCD＝120°，
∴∠BCO＝60°，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∠CBD＝∠GBF＝30°，
∴∠GBF+∠FBC＝∠FBC+∠CBD，
∴∠GBC＝∠FBD，
∴△BFD∽△BGC，
∴，∠GCB＝∠BDF，
∵∠DCM＝180°﹣∠GCB﹣∠BCD＝60°﹣∠GCB，∠CDM＝∠BDF﹣∠BDC＝∠BDF﹣30°，
∴∠GMF＝∠DCM+∠CDM＝60°﹣∠GCB+∠BDF﹣30°＝30°，
∴CG与DF的数量关系为：DF＝CG，直线CG与DF所夹锐角的度数为30°；
（3）设AP＝x，则AD＝AB＝AC＝2x，
∵AD∥BC，
∴△AHP∽△CHB，
∴，
∴，
∴，
∵∠BEF＝120°，
∴∠FEH＝60°＝∠HAP，
∵∠EHF＝∠AHP，
∴△AHP∽△EHF，
∴，
过B作BN⊥AD于点N，

∵∠BAN＝60°，
∴，
∴，
∴＝，
∵，
∴，，
∴，
，
∴，
∴HE＝BH﹣BE
＝BH﹣EF
＝
＝，
∵，
∴，
解得：x＝5，
∴BP＝．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，是一道综合题，关键是相似三角形的判定和性质的灵活应用．