2022年天津中考数学模拟试卷2（含答案解析）

这是一份2022年天津中考数学模拟试卷2（含答案解析），共35页。
2022年天津中考数学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•香坊区期末）数3的是（　　）
A． B．5 C． D．
2．（3分）（2021秋•盐湖区期末）tan30°的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
3．（3分）（2022•南通模拟）习总书记指出，善于学习，就是善于进步，“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×109 B．1.2×108 C．12×109 D．12×108
4．（3分）（2021秋•黄埔区期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2020•岐山县二模）如图所示的是由5个小立方块搭建而成的几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）（2021秋•上蔡县期末）估计的值（　　）
A．在3和4之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间
7．（3分）（2022春•青田县校级月考）将方程组中的x消去后得到的方程是（　　）
A．2y＝7 B．﹣2y＝7 C．8y＝9 D．2y＝9
8．（3分）（2021秋•长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．13
9．（3分）（2021秋•宽城县期末）计算的结果是（　　）
A．1 B． C．x+1 D．
10．（3分）（2021秋•青岛期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上．若x1＜0＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
11．（3分）（2019秋•邗江区校级月考）如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）（2021秋•千山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1．有以下五个结论：①反比例函数y＝的图象经过第二，四象限；②a＜﹣；③b＝2k；④am2+bm＜a+b（m为实数）；⑤当x≤1时，ax+b≥k．其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•冷水滩区期末）若多项式2x3﹣3x2+2x+1与多项式3x3+mx2﹣6x相加后不含二次项，则m的值为 　 　．
14．（3分）（2022•苏尼特右旗校级一模）计算：＝　 　．
15．（3分）（2021秋•鸡冠区校级期末）在一个不透明的盒子中装有6个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝　 　．
16．（3分）（2021秋•淮安期末）将直线y＝3x﹣2沿y轴向上平移2个单位长度后的直线所对应的函数表达式是 　 　．
17．（3分）（2020春•岳麓区校级期中）如图，平面直角坐标系中，正方形OBAC的顶点A的坐标为（8，8），点D，E分别为边AB，AC上的动点，且不与端点重合，连接OD，OE，分别交对角线BC于点M，N，连接DE，若∠DOE＝45°，以下说法正确的是　 　（填序号）．
①点O到线段DE的距离为8；②△ADE的周长为16；③当DE∥BC时，直线OE的解析式为y＝x； ④以三条线段BM，MN，NC为边组成的三角形是直角三角形．

18．（3分）（2021•湖里区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 　 　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021春•东港区校级期末）计算：
（1）解不等式：并把解集在数轴上表示出来．
（2）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝﹣3，求a的值．
（3）在等式y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝16．求a，b，c的值．
（4）已知a是﹣2的整数部分，b是﹣3的小数部分．
①求a，b的值；
②求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
20．（8分）（2022•睢阳区模拟）某校为鼓励学生参加社会实践活动，暑假期间，要求学生每周至少参加一天的“志愿者活动”开学后，为了检验学生的完成情况，随机抽查了该校部分学生暑假期间参加志愿者活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图．

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为 　 　度；
（2）补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为 　 　，中位数为 　 　；
（3）如果该校共有学生4500人，请你估计该校“活动时间不少于7天“的学生人数大约有多少人？
21．（10分）（2021秋•无锡期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．

22．（10分）（2022•沙坪坝区校级开学）某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力超过6级，则称受台风影响．
（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最大风力为几级？
（2）求该城市O到A处的距离．
（注：结果四舍五入保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）

23．（10分）（2021秋•福田区期末）张明和爸爸一起出去跑步，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，张明继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．张明和爸爸在整个过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示．
（1）n的值为 　 　；
（2）张明开始返回时与爸爸相距 　 　米；
（3）第 　 　分钟时，两人相距900米．

24．（10分）（2022•寻乌县模拟）【概念感知】
我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”．例如：y＝3x2+6x﹣3的“友好对称二次函数”为y＝﹣2x2﹣4x﹣3．
【特例求解】
（1）y＝﹣x2的“友好对称二次函数”为 　 　；y＝x2+x﹣5的“友好对称二次函数”为 　 　；
【性质探究】
（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是 　 　．（请填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数；
②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③y＝ax2﹣2ax+3的“友好对称二次函数”为y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+3．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓展应用】
（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点A，点B，C分别在L1，L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C，CB．
①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；
②若m＝1，且四边形BB′C′C邻边之比为1：2，直接写出a的值．

25．（10分）（2022•建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．
（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；
（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；
（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．


2022年天津中考数学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•香坊区期末）数3的是（　　）
A． B．5 C． D．
【考点】有理数的乘法．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据有理数的乘法列式计算即可．
【解答】解：3×＝，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘，都得0是解题的关键．
2．（3分）（2021秋•盐湖区期末）tan30°的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】利用特殊角的三角函数值得到tan30°＝，然后根据相反数的定义求解．
【解答】解：∵tan30°＝，
∴tan30°的相反数为﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：熟练记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
3．（3分）（2022•南通模拟）习总书记指出，善于学习，就是善于进步，“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习．1.2亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．1.2×109 B．1.2×108 C．12×109 D．12×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；应用意识．
【分析】根据科学记数法的方法，可以将题目中的数据用科学记数法表示出来，本题得以解决．
【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的方法．
4．（3分）（2021秋•黄埔区期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
5．（3分）（2020•岐山县二模）如图所示的是由5个小立方块搭建而成的几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边是一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
6．（3分）（2021秋•上蔡县期末）估计的值（　　）
A．在3和4之间 B．在4和5之间 C．在5和6之间 D．在6和7之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围．
【解答】解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴5＜+1＜6．
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
7．（3分）（2022春•青田县校级月考）将方程组中的x消去后得到的方程是（　　）
A．2y＝7 B．﹣2y＝7 C．8y＝9 D．2y＝9
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】应用加减消元法，将方程组的两个方程的两边分别相减，判断出消去x后得到的方程即可．
【解答】解：∵（4x+5y）﹣（4x+3y）＝8﹣1＝7，
∴将方程组中的x消去后得到的方程是：2y＝7．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
8．（3分）（2021秋•长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．13
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质得到AC＝2AO＝6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝6，
∵AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，
∴AC•BC＝48，
∴BC＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．（3分）（2021秋•宽城县期末）计算的结果是（　　）
A．1 B． C．x+1 D．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
10．（3分）（2021秋•青岛期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上．若x1＜0＜x2，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】由k＞0，双曲线在第一，三象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第三象限，B在第一象限，从而判定y1＜0＜y2．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴双曲线在第一，三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第三象限，B在第一象限，
∴y1＜0＜y2；
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数y＝图象和性质是解题的关键，即当k＞0时图象在第一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时图象在第二四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大．
11．（3分）（2019秋•邗江区校级月考）如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】根与系数的关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】先由根的判别式求出um的取值范围，再求出m的值，再解这个方程x2﹣15x+7m＝0，就可以求出x的值从而得出BC、CD的值，进而可以得出结论．，
【解答】解：由题意，得
225﹣28m≥0，
解得：m≤．
∵m为符合题意的最大整数，
∴m＝8．
∴x2﹣15x+56＝0，
∴x1＝7，x2＝8．
当BC＝7时，CD＝8，
∴点D在BA的延长线上，如图1．
当BC＝8时，CD＝7，
∴点D在线段BA上，有两种情况，如图2，在D和D′的位置．
∴综上所述，不同D点的位置有3个．
故选：C．

【点评】本题考查了根的判别式的运用，一元一次不等式的解法解运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出m的值是解答一元二次方程的关键．
12．（3分）（2021秋•千山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，对称轴为直线x＝1．有以下五个结论：①反比例函数y＝的图象经过第二，四象限；②a＜﹣；③b＝2k；④am2+bm＜a+b（m为实数）；⑤当x≤1时，ax+b≥k．其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】反比例函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】根据一次函数的图象和性质、二次函数的图象与性质，反比例函数的性质凤二次函数与直线的交点即可求出答案．
【解答】解：①∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∴反比例函数y＝的图象经过第二，四象限，故①正确；
②∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+1，
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴3a+1＜0，即a＜﹣，故②正确；
③∵对称轴为直线x＝1，
∴抛物线的顶点为（1，a+b+1），
∵抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在直线y＝kx+1上，
∴a+b+1＝k+1，
∴a+b＝k，
∵﹣＝1，
∴a＝﹣b，
∴＝k，
∴b＝2k，故③正确；
④∵抛物线的顶点为（1，a+b+1），
∴函数的最大值为a+b+1，
∴am2+bm+1≤a+b+1，即am2+bm≤a+b（m为实数），故④错误；
⑤当0≤x≤1时，抛物线y＝ax2+bx+1不在直线y＝kx+1下方，
∴ax2+bx+1≥kx+1，即ax+b≥k，故⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象和性质的关系，直线与抛物线的交点，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）（2021秋•冷水滩区期末）若多项式2x3﹣3x2+2x+1与多项式3x3+mx2﹣6x相加后不含二次项，则m的值为 　3　．
【考点】合并同类项；多项式．
【专题】方程思想；整式；运算能力．
【分析】将两式相加合并同类项后，x2系数为0，列出方程即可得答案．
【解答】解：2x3﹣3x2+2x+1+3x3+mx2﹣6x
＝5x3+（m﹣3）x2﹣4x+1，
∵多项式2x3﹣3x2+2x+1与多项式3x3+mx2﹣6x相加后不含二次项，
∴m﹣3＝0，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查整式加减，解题的关键是掌握不含二次项，即是二次项系数为0．
14．（3分）（2022•苏尼特右旗校级一模）计算：＝　+2　．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）2020×（+2）2020×（+2）
＝[（﹣2）（+2）]2020×（+2）
＝1×（+2）
＝+2．
故答案为：+2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
15．（3分）（2021秋•鸡冠区校级期末）在一个不透明的盒子中装有6个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则n＝　3　．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【分析】由概率公式得出分式方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：＝，
解得：n＝3，
经检验，n＝3是原方程的解，且符合题意，
故答案为：3．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）（2021秋•淮安期末）将直线y＝3x﹣2沿y轴向上平移2个单位长度后的直线所对应的函数表达式是 　y＝3x　．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】根据一次函数平移规律“上加下减”得出即可．
【解答】解：将直线y＝3x﹣2沿y轴向上平移2个单位长度后的直线所对应的函数表达式是：y＝3x﹣2+2＝3x．
故答案是：y＝3x．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
17．（3分）（2020春•岳麓区校级期中）如图，平面直角坐标系中，正方形OBAC的顶点A的坐标为（8，8），点D，E分别为边AB，AC上的动点，且不与端点重合，连接OD，OE，分别交对角线BC于点M，N，连接DE，若∠DOE＝45°，以下说法正确的是　①②④　（填序号）．
①点O到线段DE的距离为8；②△ADE的周长为16；③当DE∥BC时，直线OE的解析式为y＝x； ④以三条线段BM，MN，NC为边组成的三角形是直角三角形．

【考点】正比例函数的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】如图，过点O作OG⊥DE于点G，OF⊥OD，交AC延长线于点F，①先根据正方形的性质可得OB＝OC，∠BOC＝90°，从而可得∠BOD+∠COE＝45°，再根据角的和差可得∠COF+∠COE＝45°，从而可得∠BOD＝∠COF，然后根据全等三角形的判定定理与性质可得OD＝OF，∠ODB＝∠F，最后根据全等三角形的判定定理与性质可得；②在①的基础上可证△BOD≌△GOD，△COE≌△GOE，再根据三角形全等的性质可得BD＝GD，CE＝GE，然后根据三角形的周长公式、等量代换即可得；③先根据平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC＝45°，从而可得Rt△ADE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BD＝x，从而可得DE＝2x，然后在Rt△ADE中利用勾股定理可求出x的值，从而可得点E的坐标，最后利用待定系数法求出直线OE的解析式即可；④设BM＝a，MN＝b，NC＝c，先根据正方形的性质可得BC＝8，从而可得a+b+c＝8，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后代入化简，利用勾股定理逆定理即可得．
【解答】解：（1）如图，过点O作OG⊥DE于点G，OF⊥OD，交AC延长线于点F，

∵四边形OBAC是正方形，点A的坐标为（8，8），
∴OB＝OC＝AB＝AC＝8，∠BOC＝∠OBA＝∠A＝∠OCA＝90°，
∵∠DOE＝45°，
∴∠BOD+∠COE＝45°，
∵OF⊥OD，即∠DOF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠DOE＝45°，即∠COF+∠COE＝∠EOF＝45°，
∴∠BOD＝∠COF，
在△BOD和△COF中，
，
∴△BOD≌△COF（ASA），
∴OD＝OF，∠ODB＝∠F，
在△OAE和△OFE中，
，
∴△OAE≌△OFE（SAS），
∴∠ODE＝∠F，∠OED＝∠OEF，
∴∠ODB＝∠ODE，即∠ODB＝∠ODG，
在△BOD和△GOD中，
，
∴△BOD≌△GOD（AAS），
∴OB＝OG＝8，
即点O到线段DE的距离为8，故说法①正确；
由①知△BOD≌△GOD，
∴BD＝GD，
同理可证：△COE≌△GOE，
∴CE＝GE，
则△ADE的周长为：AD+DE+AE
＝AD+GD+GE+AE
＝AD+BD+CE+AE
＝（AD+BD）+（CE+AE）
＝AB+AC
＝8+8
＝16，
即说法②正确；
∵四边形OBAC是正方形，
∴∠A＝90°，∠ABC＝45°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝45°，
∴Rt△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，
设CE＝x，则BD＝x，且0＜x＜8，
∴AD＝AE＝AC﹣CE＝8﹣x，DE＝GD+GE＝BD+CE＝2x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，即（8﹣x）2+（8﹣x）2＝（2x）2，
解得，，（舍去），
∴点E的坐标为（8，），
设直线OE的解析式为y＝kx，
将点（8，）代入得，8k＝，解得，k＝，
则直线OE的解析式为，故说法③错误；
设BM＝a，MN＝b，NC＝c，则CM＝MN+NC＝b+c，BN＝BM+MN＝a+b，
由正方形的性质得BC＝，
∴BM+MN+NC＝BC＝，即a+b+c＝，
∴，
∵四边形OBAC是正方形，
∴∠OBN＝∠MCO＝∠DBM＝45°，AB∥OC，
∵∠DOE＝∠DBM＝45°，∠BMD＝∠OMN，
∴180°﹣∠DOE﹣∠OMN＝180°﹣∠DBM﹣∠BMD，即∠ONM＝∠BDM，
∵AB∥OC，
∴∠BDM＝∠MOC，
∴∠ONM＝∠MOC，即∠ONB＝∠MOC，
在△BON和△CMO中，
，
∴△BON∽△CMO，
∴，即，
∴，
整理得b2＝a2+c2，即MN2＝BM2+NC2，
由勾股定理逆定理可知，以三条线段BM，MN，NC为边组成的三角形是直角三角形，则说法④正确．
综上，说法正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定定理与性质，利用待定系数法求正比例函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识点，这是一道较难的综合题，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
18．（3分）（2021•湖里区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是 　5　．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；垂径定理；圆周角定理；轴对称﹣最短路线问题；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac＝，同理：bd＝，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：如图，
设点M（a，b），N（c，d），
∴ab＝k，cd＝k，
∵点M，N在⊙O上，
∴a2+b2＝c2+d2＝25，
作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），
∴S△OMN＝k+（b+d）（a﹣c）﹣k＝3.5，
∴bc﹣ad＝7，
∴﹣＝7，
∴ac＝，
同理：bd＝，
∴ac﹣bc＝﹣＝[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，
∵M（a，b），N'（c，﹣d），
∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，
∴MN'＝5，
故答案为：5．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，圆的性质，两点间的距离公式，判断出ac﹣bd＝0是解本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）（2021春•东港区校级期末）计算：
（1）解不等式：并把解集在数轴上表示出来．
（2）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝﹣3，求a的值．
（3）在等式y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝16．求a，b，c的值．
（4）已知a是﹣2的整数部分，b是﹣3的小数部分．
①求a，b的值；
②求（﹣a）3+（b+4）2的平方根．
【考点】估算无理数的大小；二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解三元一次方程组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；平方根．
【专题】实数；整式；运算能力．
【分析】（1）先根据不等式的性质求出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来即可；
（2）将两个等式相加得：x+y＝2﹣a，根据已知x+y＝﹣3，可得关于a的方程，解出即可；
（3）分别代入列方程组解出即可；
（4）①估算在4和5之间，可得a和b的值；
②分别代入求值即可．
【解答】解：（1），
解①得：2x+2＞x，
x＞﹣2，
解②得：x≤﹣1，
∴不等式组的解集是﹣2＜x≤﹣1；
在数轴上表示为：

（2），
①+②得：3x+3y＝6﹣3a，
∴x+y＝2﹣a，
∵x+y＝﹣3，即2﹣a＝﹣3，
∴a＝5；
（3）将x＝1，y＝6和x＝2，y＝9和x＝3，y＝16分别代入y＝ax2+bx+c中，
得，
解得：；
（4）①∵4＜＜5，
∴2＜﹣2＜3，1＜﹣3＜2，
∵a是﹣2的整数部分，b是﹣3的小数部分，
∴a＝2，b＝﹣4；
②当a＝2，b＝﹣4时，
（﹣a）3+（b+4）2
＝（﹣2）3+（﹣4+4）2
＝﹣8+17
＝9．
∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，三元一次方程组，二元一次方程组，无理数的估算等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，运用整体的思想是解（2）的关键；解三元一次方程组是解（3）的关键，正确进行无理数的估算是解（4）的关键．
20．（8分）（2022•睢阳区模拟）某校为鼓励学生参加社会实践活动，暑假期间，要求学生每周至少参加一天的“志愿者活动”开学后，为了检验学生的完成情况，随机抽查了该校部分学生暑假期间参加志愿者活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图．

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为 　72　度；
（2）补全条形统计图：在这次抽样调查中，众数为 　5天　，中位数为 　6天　；
（3）如果该校共有学生4500人，请你估计该校“活动时间不少于7天“的学生人数大约有多少人？
【考点】条形统计图；中位数；众数；用样本估计总体；扇形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据活动5天的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出活动8天的人数，然后即可写出众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该区“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：240÷40%＝600，
在扇形统计图中，“6天”对应的圆心角度数为：360°×＝72°，
故答案为：72；
（2）参加活动8天的人数为：600﹣240﹣120﹣150﹣30＝60（人），
补全的条形统计图如右图所示，

众数为5天，中位数是（6+6）÷2＝6（天），
故答案为：5天，6天；
（3）4500×＝1800（人），
答：估计该区“活动时间不少于7天”的学生人数大约有1800人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
21．（10分）（2021秋•无锡期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r，求这个正三角形的周长和面积．

【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面积＝3S△OBC，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
连接OB、OC，作OD⊥BC于D，

则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，
∴OD＝OB＝r，
∴BD＝＝r，
∴BC＝2BD＝r，
即正三角形ABC边长为r．
∴正三角形ABC周长为．
∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3××BC×OD＝3××r×r＝．
∴正三角形ABC面积为．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．（10分）（2022•沙坪坝区校级开学）某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力超过6级，则称受台风影响．
（1）若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最大风力为几级？
（2）求该城市O到A处的距离．
（注：结果四舍五入保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，由题意得OC＝200千米，CE＝100千米，可得OE＝170千米，根据风力的计算方法可得答案；
（2）由（1）得，OE＝170千米，根据等腰直角三角形的性质可得OA的长．
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，

由题意得，台风中心到点C时，风力达到6级，
即OC＝×（12﹣6）＝200（千米），
∵该城市受此次台风影响共持续了10小时，
∴CD＝20×10＝200（千米），CE＝CD＝100（千米），
∴OE＝＝＝100（千米），
台风中心到达点E时的风力为12﹣100÷＝6.9（级），
答：受到台风影响的最大风力为6.9级；
（2）∵∠A＝45°，OE＝100＝170，
∴OA＝OE＝170×1.4＝238（千米）．
答：该城市O到A处的距离是238千米．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用，根据题意构造直角三角形是解题关键．
23．（10分）（2021秋•福田区期末）张明和爸爸一起出去跑步，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，张明继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．张明和爸爸在整个过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示．
（1）n的值为 　3000　；
（2）张明开始返回时与爸爸相距 　1500　米；
（3）第 　18或30　分钟时，两人相距900米．

【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据题意可得两人前行过程中的速度为4000÷20＝200（米/分），由5分钟后也原路返回可得m＝20﹣5＝15，再根据“路程＝速度×时间”可得n的值；
（2）先求出爸爸返回时的速度，进而得出张明开始返回时与爸爸相距；
（3）根据两人的速度列方程解答即可．
【解答】解：（1）由图可得，两人前行过程中的速度为4000÷20＝200（米/分），m＝20﹣5＝15，
∴n＝200×15＝3000，
故答案为：3000；
（2）爸爸返回时的速度为：3000÷（45﹣15）＝100（米/分），
则张明开始返回时与爸爸相距：4000﹣3000+100×5＝1500（米），
故答案为：1500；
（3）设第x分钟时，两人相距900米，根据题意得：
200×（x﹣15）+100×（x﹣15）＝900或200×（x﹣20）﹣100（x﹣15）＝1500﹣900，
解得：x＝18或x＝30，
即第18分钟或30分钟时，两人相距900米，
故答案为：18或30．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）（2022•寻乌县模拟）【概念感知】
我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”．例如：y＝3x2+6x﹣3的“友好对称二次函数”为y＝﹣2x2﹣4x﹣3．
【特例求解】
（1）y＝﹣x2的“友好对称二次函数”为 　y＝x2　；y＝x2+x﹣5的“友好对称二次函数”为 　y＝x2+2x﹣5　；
【性质探究】
（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是 　①②③　．（请填入正确的序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数；
②二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
③y＝ax2﹣2ax+3的“友好对称二次函数”为y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+3．
④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点．
【拓展应用】
（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其“友好对称二次函数”L2都与y轴交于点A，点B，C分别在L1，L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C，CB．
①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；
②若m＝1，且四边形BB′C′C邻边之比为1：2，直接写出a的值．

【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；运算能力；应用意识．
【分析】（1）根据“友好对称二次函数”的定义，找出y＝﹣x2、y＝x2+x﹣5的“友好对称二次函数”即可；
（2）由二次项系数非零可得出二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，由“友好对称二次函数”的定义可知：二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
（3）根据二次函数L1的解析式找出其“友好对称二次函数”L2的函数解析式．
①代入a＝3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B′、C′的坐标，进而可得出BC、BB′的值，由正方形的性质可得出BC＝BB′，即关于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即可得出结论；
②由m＝1，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B′、C′的坐标，进而可得出BC、BB′的值，由两边之比为1：2，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵1﹣（﹣）＝，
∴函数y＝﹣x2的“友好对称二次函数”为y＝x2；
∵1﹣＝，1×（÷）＝2，
∴函数y＝﹣x2+x﹣5的“友好对称二次函数”为y＝x2+2x﹣5，
故答案为：y＝x2，y＝x2+2x﹣5；

（2）∵1﹣1＝0，
∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；
∵1÷2＝，
∴二次项系数为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；
由定义，y＝ax2﹣2ax+3的“友好对称二次函数”为y＝（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+3；
若y＝x2+x+1，则其“友好对称二次函数”为y＝x2+x+1，
此时这两条抛物线与x轴都没有交点，
故答案为：①②③；

（3）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝，其“友好对称二次函数”L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．
①∵a＝3，
∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，
∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），
∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），
∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．
∵四边形BB′C′C为正方形，
∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，
解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），
∴m的值为；
②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），
∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），
∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．
∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，
∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，
解得：a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，
∴a的值为﹣或或或．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、解一元二次方程以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是读懂“友好对称二次函数”的定义，利用二次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，找出关于m的一元二次方程以及找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程．
25．（10分）（2022•建湖县一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．
（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；
（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；
（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．

【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力；应用意识．
【分析】（1）用待定系数法直接求解即可，将点G代入解析式验证即可；
（2）先将DG的解析式求出来，然后将表示出来的点M，N坐标代入解析式求解；
（3）先找出△OBI的外接圆，利用BI是角平分线证得全等，求出外接圆的半径，利用三角形三边关系求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），
∴，
解得，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
∵点D与点G关于坐标原点对称，
∴G（﹣2，6），
把x＝﹣2代入y＝x2﹣3x﹣4，得：
y＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6，
∴G（﹣2，6）在此抛物线上；
（2）设直线DG的解析式为y＝mx+n，
∵D（2，﹣6），G（﹣2，6），
∴，
解得，
∴直线DG的解析式为y＝﹣3x，
假设此抛物线上存在这样的点P（x，x2﹣3x﹣4），
使得它关于x轴，y轴的对称点M，N恰好都在直线DG上，
∵M（x，﹣x2+3x+4），N（﹣x，x2﹣3x﹣4），
∴x2﹣3x﹣4＝3x，
解得，
故所求点P的坐标为或；
（3）如图1，连接BI．OI，EI，作△OBI的外接圆⊙M，连接OM，BM，MI，CM，过点M作MH⊥y轴于点H，

∵EF⊥x轴，
∴∠BFE＝90°，
∴∠FBE+∠FEB＝90°，
∵△BEF的内心为I，
∴BI，EI分别平分∠FBE，∠FEB，
∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，
∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，
∴∠BIE＝135°，
在△BIO和△BIE中，
，
∴△BIO≌△BIE（SAS），
∴∠BIO＝∠BIE＝135°，
∵⊙M是△OBI的外接圆，
∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，
∴OM＝BM＝OB＝2，
∴MI＝OM＝2，
∴∠MOB＝∠MOH＝45°，
∵MH⊥y轴，
∴∠HOM＝∠HMO＝45°，
∴OH＝HM＝OM＝2，
∴CH＝OH+OC＝2+4＝6，
∴CM＝＝2，
∵CI≥CM﹣MI，
∴当且仅当C，M，I三点共线时，CI取得最小值，
∴CI的最小值为．
【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法，几何变换﹣对折，三角形内心，外接圆，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等知识点，充分利用三角形内心、合理作出辅助线是解题的关键．