2022年长沙中考数学模拟试卷1（含答案解析）

这是一份2022年长沙中考数学模拟试卷1（含答案解析），共31页。
2022年长沙中考数学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•黔东南州模拟）下列数中最大的数是（　　）
A．π B．﹣2 C．0 D．3.14
2．（3分）（2021秋•农安县期末）根据世界卫生组织的统计，截止10月28日，全球新冠确诊病例累计超过4430万，用科学记数法表示这一数据是（　　）
A．4.43×107 B．0.443×108 C．44.3×106 D．4.43×108
3．（3分）（2021秋•武昌区校级期末）下列图形中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022•沈河区校级模拟）下列计算正确的是（　　）
A．b3•b3＝2b3 B．x16÷x4＝x4
C．2a2+3a2＝6a4 D．（a5）2＝a10
5．（3分）（2021秋•庐江县期末）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝24°，则∠2的度数是（　　）

A．54° B．48° C．46° D．76°
6．（3分）（2021秋•进贤县校级期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°
7．（3分）（2021秋•莱阳市期末）一次函数y＝2021x﹣2022的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）（2022•宁波模拟）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（　　）

A．220，220 B．210，215 C．210，210 D．220，215
9．（3分）（2021•龙口市模拟）有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙．若从这4把钥匙中任取2把钥匙，则打开甲、乙两把锁的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）（2019秋•鲤城区校级月考）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把﹣15到﹣20这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（　　）

A．﹣53 B．﹣54 C．﹣56 D．﹣57
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022•安徽一模）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝　 　．
12．（3分）（2021•江西模拟）如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB．已知OB＝2cm，∠OBC＝30°．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线O→D→O→A→O以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为ts．当∠OBE＝30°时，t的值为 　 　．

13．（3分）（2020秋•大东区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为　 　．

14．（3分）（2021秋•思明区校级期中）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为 　 　．
15．（3分）（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　 　．

16．（3分）（2019秋•舞钢市期末）小刚家2017年和2018年的家庭支出情况如图所示，则小刚家2018年教育方面支出的金额比2017年增加了　 　万元．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2021秋•桐柏县期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）（2021秋•沈丘县期末）先化简，再求值：
[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
19．（6分）（2021秋•襄城县期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC，求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，作法：如图．
（1）画∠DA'E＝∠A；
（2）以点A'为圆心，在射线A'D上截取A'B'＝AB，在射线A'E上截取A'C'＝AC；
（3）连接线段B'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C和△ABC中，
，
∴△A'B'C'≌　 　．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　 　（填序号）．
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS

20．（8分）（2021春•江宁区月考）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近　 　（精确到0.1）；
（2）估算一下袋中黑球的个数有多少个；
（3）若小明又将x个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在　 　左右（用含x的式子表示）．

21．（8分）（2022•中宁县模拟）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

22．（9分）（2022•长兴县开学）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
23．（9分）（2022•徐汇区校级模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC所在平面上一点，PA＝PB，且S△PBC＝S△ABC，求PA的长．

24．（10分）（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣mx+2m+3（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当2≤x≤3，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点B（﹣3，2）、C（2，7），当﹣3＜m≤2时，设△ABC的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（3，3﹣m）、N（3，3+m）、P（5+m，3+m）、Q（5+m，3﹣m），当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
25．（10分）（2020•裕华区校级一模）如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．

（1）判断△AEF的形状为　 　，并判断AD与⊙O的位置关系为　 　；
（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；
（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为　 　；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）
（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为　 　．
（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）

2022年长沙中考数学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022•黔东南州模拟）下列数中最大的数是（　　）
A．π B．﹣2 C．0 D．3.14
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；数感．
【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
【解答】解：∵﹣2＜0＜3.14＜π，
∴最大的数是π，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．（3分）（2021秋•农安县期末）根据世界卫生组织的统计，截止10月28日，全球新冠确诊病例累计超过4430万，用科学记数法表示这一数据是（　　）
A．4.43×107 B．0.443×108 C．44.3×106 D．4.43×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4430万＝44300000＝4.43×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2021秋•武昌区校级期末）下列图形中，为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）（2022•沈河区校级模拟）下列计算正确的是（　　）
A．b3•b3＝2b3 B．x16÷x4＝x4
C．2a2+3a2＝6a4 D．（a5）2＝a10
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、b3•b3＝b6，故本选项不合题意；
B、x16÷x4＝x12，故本选项不合题意；
C、2a2+3a2＝5a2，故本选项不合题意；
D、（a5）2＝a10，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）（2021秋•庐江县期末）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝24°，则∠2的度数是（　　）

A．54° B．48° C．46° D．76°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝24°，∠F＝30°，
∴∠BEF＝∠1+∠F＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEF＝54°．
故选：A．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．
6．（3分）（2021秋•进贤县校级期末）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】利用圆周角定理即可求解．
【解答】解：如图，∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×32°＝64°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
7．（3分）（2021秋•莱阳市期末）一次函数y＝2021x﹣2022的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：一次函数y＝2021x﹣2022，k＝2021＞0，b＝﹣2022＜0，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确当k＞0，b＜0时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
8．（3分）（2022•宁波模拟）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（　　）

A．220，220 B．210，215 C．210，210 D．220，215
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：数据210出现了4次，最多，
故众数为210，
共10辆车，排序后位于第5和第6位的数分别为210，220，
故中位数为（210+220）÷2＝215．
故选：B．
【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
9．（3分）（2021•龙口市模拟）有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙．若从这4把钥匙中任取2把钥匙，则打开甲、乙两把锁的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把打开甲的钥匙记为A，打开乙的钥匙记为B，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，打开甲、乙两把锁的结果有8个，
∴打开甲、乙两把锁的概率为＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）（2019秋•鲤城区校级月考）如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把﹣15到﹣20这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（　　）

A．﹣53 B．﹣54 C．﹣56 D．﹣57
【考点】有理数的加法．
【专题】规律型；创新意识．
【分析】三个顶角分别是﹣20，﹣19，﹣18，﹣20与﹣19之间是﹣15，﹣20和﹣18之间是﹣16，﹣19和﹣18之间是﹣17，这样每边的和才能相等并且S有最小值．
【解答】解：由图可知S＝﹣20﹣19﹣15＝﹣54．
故选：B．

【点评】考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是﹣15～﹣20这6个数最小的三个数字．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022•安徽一模）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝　（x﹣y）2　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接提取公因式（x﹣y）分解因式，即可得出答案．
【解答】解：x（x﹣y）+y（y﹣x）
＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2．
故答案为：（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（3分）（2021•江西模拟）如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB．已知OB＝2cm，∠OBC＝30°．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线O→D→O→A→O以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为ts．当∠OBE＝30°时，t的值为 　1s或3s或6s　．

【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】分三种情况：①E第一次与H重合时；②点E第二次与H重合时；③E与A重合；分别求出E运动的路程，求解即可．
【解答】解：分三种情况：
①E第一次与H重合时，
∵BC⊥AD，∠OBC＝30°，
∴OH＝OB＝1（cm），
∴t＝1÷1＝1（s）；
②点E第二次与H重合时，
由①得：OH＝1，
∴DH＝OD﹣OH＝2﹣1＝1（cm），
∴点E运动的路程为：OD+DH＝3（cm），
∴t＝3÷1＝3（s）；
③在Rt△OBH中，由勾股定理得：BH＝＝＝（cm），
∵∠OBE＝30°，∠EHB＝90°，
∴EH＝BH＝3（cm），
∴OE＝EH﹣OH＝3﹣1＝2（cm），
即E与A重合，
∴点E运动的路程为OD+AD＝2+4＝6（cm），
∴t＝6÷1＝6（s）；
综上所述，当∠OBE＝30°时，t的值为1s或3s或6s，
故答案为：1s或3s或6s．
【点评】本题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，进行分类讨论是解题的关键．
13．（3分）（2020秋•大东区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为　2.5　．

【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观．
【分析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵H为BC中点，
∴OH＝BC＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
14．（3分）（2021秋•思明区校级期中）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为 　2021　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把x＝m代入方程计算求出m2﹣m的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣1＝0，
整理得：m2﹣m＝1，
则原式＝1+2020＝2021．
故答案为：2021．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
15．（3分）（2021•福建）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD＝，则点D到AC的距离是 　　．

【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD＝，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD＝，
∴点D到AC的距离为，
故答案为．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．
16．（3分）（2019秋•舞钢市期末）小刚家2017年和2018年的家庭支出情况如图所示，则小刚家2018年教育方面支出的金额比2017年增加了　0.216　万元．

【考点】条形统计图；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；模型思想；应用意识．
【分析】分别计算2018年、2017年小刚家的教育支出，即可求出增加了多少．
【解答】解：2.16×35%﹣1.8×30%＝0.756﹣0.54＝0.216（万元），
故答案为：0.216．
【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）（2021秋•桐柏县期末）计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值；零指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝×+2×﹣1﹣1
＝1+1﹣1﹣1
＝0；

（2）原式＝2﹣3+4
＝6﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（6分）（2021秋•沈丘县期末）先化简，再求值：
[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式中括号里利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣1+2＝1．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（6分）（2021秋•襄城县期中）人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC，求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC，作法：如图．
（1）画∠DA'E＝∠A；
（2）以点A'为圆心，在射线A'D上截取A'B'＝AB，在射线A'E上截取A'C'＝AC；
（3）连接线段B'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C和△ABC中，
，
∴△A'B'C'≌　△ABC（SAS）　．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　③　（填序号）．
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS

【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【分析】（1）根据作图过程即可完成证明；
（2）结合（1）的证明过程即可得结论．
【解答】（1）证明：由作图可知，在△A'B'C和△ABC中，
，
∴△A'B'C'≌△ABC（SAS）；
故答案为：△ABC（SAS）；
（2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是③（填序号）．
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS．
故答案为：③．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
20．（8分）（2021春•江宁区月考）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到黑球的频率会接近　0.5　（精确到0.1）；
（2）估算一下袋中黑球的个数有多少个；
（3）若小明又将x个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在　　左右（用含x的式子表示）．

【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即为本题的答案；
（2）根据（1）的值求得答案即可；
（3）设向袋子中放入了黑个红球，根据摸到黑球最终稳定的频率即为概率的估计值，列出方程求解可得．
【解答】解：（1）观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.5附近，
故摸到黑球的频率会接近0.5，
故答案为：0.5；

（2）∵摸到黑球的频率会接近0.5，
∴黑球数应为球的总数的一半，
∴估计袋中黑球的个数为25只，
故答案为：25；

（3）设放入黑球x个，
当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在左右，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
21．（8分）（2022•中宁县模拟）如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

【考点】矩形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）证△ABE≌△FCE（AAS），得AB＝FC，再由AB∥FC，证四边形ABFC是平行四边形，然后由AF＝BC即可得出结论；
（2）由矩形的性质得∠ACF＝90°，再由等边三角形的性质得AF＝DF＝4，CF＝DF＝2，然后由勾股定理求出AC＝2，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，
∵点E是▱ABCD中BC边的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
又∵AF＝BC，
∴平行四边形ABFC为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形，
∴∠ACF＝90°，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF＝DF＝4，CF＝DF＝2，
∴AC＝＝＝2，
∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝2×2＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（9分）（2022•长兴县开学）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用相同的费用，购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（2x﹣30）元，根据用相同的费用购买的足球数量与购买的篮球数量之比为3：2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出足球的单价，再将其代入（2x﹣30）中即可求出篮球的单价．
（2）设购买篮球m个，则购买足球（200﹣m）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（2x﹣30）元，
依题意得：3x＝2（2x﹣30），
解得：x＝60，
∴2x﹣30＝2×60﹣30＝90．
答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元．
（2）设购买篮球m个，则购买足球（200﹣m）个，
依题意得：90m+60（200﹣m）≤15500，
解得：m≤．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（9分）（2022•徐汇区校级模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为△ABC所在平面上一点，PA＝PB，且S△PBC＝S△ABC，求PA的长．

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的面积．
【分析】利用勾股定理列式求出AB的长度，根据等底等高的三角形面积相等可得点P到BC的距离等于点A到BC的距离相等，然后分①点A、P在BC的同侧时，PA∥BC，过点P作PD⊥AB于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点D是AB的中点，然后求出AD的长，再利用∠PAD的余弦值列式求解即可；②点A、P在BC异侧时，过点P作PD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，过点P作PE⊥BC相交于点E，先求出PE的长度，再根据同角的余角相等求出∠PDE＝∠BAC，然后利用∠PDE的余弦值列式求解即可得到PD，在Rt△APD中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴点P到BC的距离等于AC的长度，为6，
①如图1，点A、P在BC的同侧时，∵点A、P到BC的距离相等，
∴PA∥BC，
∴∠PAD＝∠ABC，
过点P作PD⊥AB于点D，
∵PA＝PB，
∴AD＝AB＝×10＝5，
∵cos∠PAD＝＝，cos∠ABC＝＝＝，
∴＝，
解得PA＝；
②如图2，点A、P在BC异侧时，过点P作PD⊥AB于D，
∵PA＝PB，
∴AD＝AB＝×10＝5，
过点D作DE∥BC，过点P作PE⊥BC相交于点E，
∵点D是AB的中点，
∴点E到BC的距离为AC＝×6＝3，
∴PE＝3+6＝9，
∵∠BAC+∠ADE＝90°，∠ADE+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠BAC，
∵cos∠PDE＝＝，cos∠BAC＝＝＝，
∴＝，
解得PD＝，
在Rt△APD中，PA＝＝＝，
综上所述，PA的长为或．

【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积勾股定理，锐角三角函数，根据等底等高的三角形的面积相等得到点A、P到BC的距离相等是解题的关键，要注意分两种情况讨论求解．
24．（10分）（2021秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2﹣mx+2m+3（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当2≤x≤3，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点B（﹣3，2）、C（2，7），当﹣3＜m≤2时，设△ABC的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为M（3，3﹣m）、N（3，3+m）、P（5+m，3+m）、Q（5+m，3﹣m），当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x＝﹣求得结果；
（2）分成三种情形：2≤m≤3，m＜2和m＞3，根据二次函数的性质，找出符合条件的值；
（3）先求出在﹣3＜m＜2时，A点纵坐标的值小于7，从而以BC为底，求出BC 的高即可；
（4）表示出D到y轴距离是3，把x＝5+m代入抛物线解析式，可求得E点到x轴距离，列出方程求得结果．
【解答】解：（1）对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝m；
（2）当2≤m≤3时，
∵y＝x2﹣mx+2m+3＝（x﹣m）2+（﹣，
∴﹣＝6，
方程无解，
当m＜2时，
∵a＝＞0，
∴当x＝3时，y＝6，
∴﹣3m+2m+3＝6，
∴m＝，
当m＞3时，
当x＝2时，y＝6，
﹣2m+2m+3＝5≠6，
∴m＝，
∴y＝﹣x+6；
（3）令n＝﹣+2m+3，
∵其对称轴是：m＝﹣＝2，
∴当﹣3＜m≤2时，﹣＜n≤5，
∵A（m，﹣+2m+3），C（2，7），B（﹣3，2），
∴BC的关系式是y＝x+5，
作AD∥y轴交BC于D，
∴D（m，m+5），
∴AD＝（m+5）﹣（﹣+2m+3）＝﹣m+2，
∴S＝AD•（xc﹣xB）＝﹣m+2）＝（x﹣1）2+
∴当x＝2时，S最小＝；
（4）由题意得，
D到y轴距离是3，
∵当x＝5+m时，y＝（m+5）2﹣m（m+5）+2m+3＝﹣+2m+，
∴E到y轴的距离是：|﹣+2m+|，
当﹣+2m+＝3时，
m1＝2+，m2＝2﹣（舍去），
当﹣+2m+＝﹣3时，
m3＝2+，m4＝2﹣（舍去），
综上所述m＝2+或2+．
【点评】本题是二次函数的综合运用，考查了求二次函数的对称轴，二次函数性质，二次函数的求值等知识，解决问题的关键是数形结合，理解题意．
25．（10分）（2020•裕华区校级一模）如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．

（1）判断△AEF的形状为　等腰三角形　，并判断AD与⊙O的位置关系为　相切　；
（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；
（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为　　；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）
（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为　1＜t≤　．
（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，由勾股定理求出BC＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，证明△EAH∽△BAC，得出＝，求出AH＝4t，则FH＝AF﹣AH＝4t，AH＝FH，得出△AEF是等腰三角形，证明E、H、O三点共线，得出∠OAF+∠AOE＝90°，由AB平分∠DAM，得出∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，由圆周角定理得出∠AOE＝2∠EFA，则∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，即可得出AD与⊙O相切；
（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，易证四边形EHCN为矩形，得出EH＝NC，由勾股定理得出EH＝＝3t，则NC＝3t，BC＝2NC＝6t，由BC＝6，得出t＝1，则AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，由勾股定理得出OA2＝OH2+AH2，解得x＝，得出OH＝，tan∠AOH＝，得出∠AOH＝74°，由∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，得出AE＞OA，则劣弧长度的大于半径；
（3）当点E运动到B点时，t＝2，AF＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，S△AEF＝AF•BC＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•GQ＝×（16+10+10）a＝48，解得a＝，由勾股定理得出AC2+CG2＝AG2，得出AG＝；
（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；
②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，得出OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，由勾股定理得出AH2+OH2＝OA2，解得x＝t，则OH＝CK＝t，由勾股定理得出OK2+KN2＝ON2，解得t＝，即可得出结果．
【解答】解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，
∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，
∴△EAH∽△BAC，
∴＝，即：＝，
∴AH＝4t，
∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，
∴AH＝FH，
∵EH⊥AF，
∴△AEF是等腰三角形，
∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，
∵AH＝FH，
∴OH⊥AC，
∴E、H、O三点共线，
∴∠OAF+∠AOE＝90°，
∵AB平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，
∵∠AOE＝2∠EFA，
∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，
∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
故答案为：等腰三角形，相切；
（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：
由（1）知：EH⊥AC，
∵EN与⊙O相切，
∴∠OEN＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形EHCN为矩形，
∴EH＝NC，
在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，
∴NC＝3t，
∵点N为BC的中点，
∴BC＝2NC＝6t，
∵BC＝6，
∴6t＝6，
∴t＝1，
∴AH＝4，EH＝3，
设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为，
∴OH＝，
∴tan∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝74°，
∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，
∴AE＞OA，
∴劣弧长度的大于半径；
（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，
∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，
此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，
∴△AEF的内心运动的路径长为AG，
作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：
S△AEF＝AF•BC＝×16×6＝48，
设CG＝PG＝NQ＝a，
则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AF•CG+AE•PG+EF•GQ＝×（16+10+10）a＝48，
解得：a＝，
在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+（）2＝AG，
∴AG＝，
故答案为：；
（4）分别讨论两种极限位置，
①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；
②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，
连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：
则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，
∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，
设⊙O的半径为x，
则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即（4t）2+（x﹣3t）2＝x2，
解得：x＝t，
∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，
在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即（8﹣4t）2+（3+t）2＝（t）2，
解得：t＝，
∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1＜t≤，
故答案为：1＜t≤．




【点评】本题是圆综合题，主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、内心的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质与勾股定理是解题的关键．