2022届江西省鹰潭市高三第二次模拟考试数学（文）试题及答案

鹰潭市2022届高三第二次模拟考试

数 学 试 题(文科)

命题人： 陈树华  贵溪一中    审题人： 熊冬辉  鹰潭一中

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

第Ⅰ卷 （选择题共60分）

一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在直线上，则（       ）

A． B． C． D．

3．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验，若45号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（       ）

A．135号学生      B．205号学生      C．615号学生      D．855号学生

4．已知数列满足，，，则（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

5. 已知命题；命题若正实数x，y满足，则，则下列命题中为真命题的是（       ）

A．          B．       C．        D． 

6．在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（       ）

A．          B．          C．           D．   

7．已知，且，则（       ）

A． B． C． D．或

8．设函数的相邻两条对称轴间的距离为，下列说法错误的是（   ）

A．函数的最小值为

B．函数在上单调递减

C．函数的图像关于点对称

D．函数的图像是由函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到的

9．已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（    ）

A． B． C． D．6

10．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（       ）

A． B．8                C． D．9

11．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（       ）

A． B．        C．       D．

12．设，，，则的大小关系是（    ）

A.      B.     C.    D.

第Ⅱ卷    （非选择题共90分）  

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，则在方向上的投影为_________

14．已知M是抛物线图像上的一点，F是抛物线的焦点，若，则_______

15．在中，若，的面积为，角B的平分线交AC于点D，且，则

16．在三棱锥P-ABC中，，，，，，则该四面体外接球表面积为          

三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17. （本小题满分12分）

第24届冬季奥运会在北京已圆满落幕，中国体育代表团以9金4银2铜、金牌榜第三的成绩完美收官，创造冬奥最佳成绩，中国为世界奉献了一场“简约、安全、精彩”的奥运盛会。北京冬奥会的成功举办对年轻人尤其是青少年产生了深远影响，全国范围的“冰雪运动热”，必将带动青少年更加广泛地参与到冰雪运动中来。近日，某小学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：

（1）根据上表说明，能否有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？

（2）现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取8人，若从这8人中随机选取2人作为种子选手参加市运会，求：

①求选取的8人中男生、女生各多少人？

②求选取的2人种子选手中至少有一名女生的概率。

18.（本小题满分12分）

已知数列{}的前项和为，在①，②这两个条件中任选一个，并作答。

(1)求数列{}的通项公式；

(2)设，为数列的前项和。证明：

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。)

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面分别为的中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）求点A到平面MQB的距离。

20.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，讨论函数f(x)的单调区间；

（2）当时，证明： (其中e为自然对数的底数)

21.（本小题满分12分）

已知点D为圆O：上一动点，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、B，连接BA并延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C 。

（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于不同于右顶点Q的M，N两点，且，求的最大值。

（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知

（1）解不等式；

（2）若存在实数，，使得，求实数a的取值范围。

鹰潭市2022届高三第二次模拟考试

数学答案(文科)参考答案

一、选择题

12. 答案:A

①     先比较 :      设函数 

则，得函数在单调递减，得函数在单调递增 所以 即

②再比较：由①知

而  设，

  当，，单调递增   当，， 单调递减

所以   而  所以

二、填空题

13．             14． 2            15．            16. 

三、解答题

17． 【解析】

 (1)因为，               ……………………………… 3分

所以有的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性分别有关.        ……………………… 5分

(2)①根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生有5人，女生有3人.     ………………… 6分

②     男生5人分别记为女生有3人分别记为，

从8人中选取2人的情况共有：，ce，cA，cB，cC，de，dA，dB，dC，eA，eB，eC，AB，AC，BC，共28种，                     ……………………… 9分

其中至少有一名女生的结果有：

，共18种，………………………11分

所求概率为.……………………… 12分

18．【解析】

(1)  若选择①＝，

当时，，则，

又当时，，解得，

故是首项为，公比为的等比数列，则；……………………… 4分

若选择②＝，

当时，，则，

又当时，，满足，

则.                    ……………………… ……………………… 4分

(2)  因为，       ………………………   5分

则，    ………………………   6分

故. ………………………   9分

因为所以即                   ………………………  10分

又因为是单调递增数列，所以

所以                        ……………………… 12分

19．【解析】

 (1)证明：因为为的中点，，所以，

又，所以四边形为平行四边形，

因为，所以平行四边形是矩形，所以，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面面，

所以平面，因为面，所以，

又因为，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面；    ………………………   6分

(2)连接，得AD=2,PQ=AQ=1,QC=2,则

由（1）知,又因为平面,得,因为M为PC中点，所以,

设点A到平面MQB的距离距离为h, 根据等体积法，

      即    ………………………   8分

                     ………………………   10分

解得所以点A到平面MQB的距离为                 ………………………  12分

20．【解】

（1）的定义域为，，       ………   1分

①当，即时，在递增. 在递减

②当时，，在上递增.

③当，即时，在上，递增. 在上，递减.

综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为  ……    2分

当时，的单调递增区间为.                                    ………………3分

当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为   ……………… 4分

(2)当时，由化简得，

构造函数，

，在上递增，

，           ……………… ……………… ……………… 6分

故存在，使得，即.        ………………7分

当时，递减；

当时，递增.

所以时取得极小值，也即是最小值.             ……… ………………9分

，………………11分

所以，故.              ………………12分

(第20题利用放缩法证明也可以同等给分) 

21．【解】

 (1)设点P（x，y）,D,则A 、B，由题意的，因为，

所以  而，，

所以代入圆O：得曲线C的方程为     ……………… 4分

(2)由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为．

联立得消去x得，

，化简整理，得．

设，，则，．       ……………… 6分

因为，所以．

因为，所以，，得，

将，代入上式，得，

得，            

解得或（舍去），                               ……………… 8分

所以直线l的方程为，则直线l恒过点，

所以．

设，则，，         ……………… 10分

易知在上单调递增，所以当时，取得最大值为．

又，所以．     ……………… 12分

22．【解】 (1)由 (为参数)，得．

由，得，即．     ……………… 5分

(2)将直线的参数方程改写成（t为参数）代入曲线的直角坐标方程得．

设，两点对应的参数分别为，，则，，………………7分

故                ………………9分

                     ………………10分

23. 【解】：(1)依题意，，不等式化为以下3个不等式组：

①即，无解，

②  即，无解，

③     ，即，解得，

所以不等式的解集为．     ………………5分

（2）因为

所以当时，取得最小值5     ………………7分

，

若存在实数，，使得，则     ………………9 分

即，所以 即实数a的取值范围是．             ……………… 10分