江苏省南京市秦淮区一中学2022年中考数学猜题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）

A．16 B．12 C．24 D．18

3．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ）

A．19° B．38° C．42° D．52°

4．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

5．抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（  　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．下列计算中，正确的是（　　）

A．a•3a=4a2 B．2a+3a=5a2

C．（ab）3=a3b3 D．7a3÷14a2=2a

7．若函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣2 B．m＜﹣2

C．m＞2 D．m＜2

8．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（   ）

A． B． C． D．

9．函数的图像位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）

A． B． C． D．x为任意实数

11．计算3a2－a2的结果是(　　)

A．4a2    B．3a2    C．2a2    D．3

12．下列运算正确的是（ ）

A．a2•a4=a8 B．2a2+a2=3a4 C．a6÷a2=a3 D．（ab2）3=a3b6

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．计算：的结果为_____．

14．化简的结果等于__．

15．函数，当x＜0时，y随x的增大而_____．

16．化简；÷（﹣1）=______．

17．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是_______．

18．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于_____．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）（1）计算：sin45°

（2）解不等式组：

20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1．若抛物线与x轴交于原点，求k的值；当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求k的取值范围．

21．（6分）已知是上一点，.如图①，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小及的长；

如图②，为上一点，延长线与交于点，若，求的大小及的长.

22．（8分）已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF.

求证：AF＝CE．

23．（8分）某商场计划从厂家购进甲、乙、丙三种型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍．具体情况如下表：

经预算，商场最多支出132000元用于购买这批电冰箱．

（1）商场至少购进乙种电冰箱多少台？

（2）商场要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数．为获得最大利润，应分别购进甲、乙、丙电冰箱多少台？获得的最大利润是多少？

24．（10分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，且与双曲线的一个交点为，将直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到一个“”形折线的新函数．若点是线段上一动点（不包括端点），过点作轴的平行线，与新函数交于另一点，与双曲线交于点．

（1）若点的横坐标为，求的面积；（用含的式子表示）

（2）探索：在点的运动过程中，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．

25．（10分）如图1，正方形ABCD的边长为8，动点E从点D出发，在线段DC上运动，同时点F从点B出发，以相同的速度沿射线AB方向运动，当点E运动到终点C时，点F也停止运动，连接AE交对角线BD于点N，连接EF交BC于点M，连接AM．

（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=2﹣）

（1）在点E、F运动过程中，判断EF与BD的位置关系，并说明理由；

（2）在点E、F运动过程中，①判断AE与AM的数量关系，并说明理由；②△AEM能为等边三角形吗？若能，求出DE的长度；若不能，请说明理由；

（3）如图2，连接NF，在点E、F运动过程中，△ANF的面积是否变化，若不变，求出它的面积；若变化，请说明理由．

26．（12分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

根据图中信息求出　　，　　；请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？

27．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．求k和b的值；求△OAB的面积．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、C

【解析】
根据题意画出图形，利用数形结合，即可得出答案．

【详解】

根据题意，画出图形，如图：

当时，两条直线无交点；

当时，两条直线的交点在第一象限．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键．

2、A

【解析】
由菱形ABCD，∠B=60°，易证得△ABC是等边三角形，继而可得AC=AB=4，则可求得以AC为边长的正方形ACEF的周长．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．

∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=4，∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为：4AC=1．

故选A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、正方形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

3、D

【解析】

试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．

考点：平行线的性质；余角和补角．

4、D

【解析】

分析：

详解：如图,

∵AB⊥CD,CE⊥AD,

∴∠1=∠2,

又∵∠3=∠4,

∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,

即∠A=∠C.

∵BF⊥AD,

∴∠CED=∠BFD=90°,

∵AB=CD,

∴△ABF≌△CDE,

∴AF=CE=a,ED=BF=b,

又∵EF=c,

∴AD=a+b-c.

故选:D.

点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABF≌△CDE是关键.

5、A

【解析】
根据二次函数图象所在的象限大致画出图形，由此即可得出结论．

【详解】

∵二次函数图象只经过第一、三、四象限，∴抛物线的顶点在第一象限．

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，大致画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．

6、C

【解析】
根据同底数幂的运算法则进行判断即可.

【详解】

解：A、a•3a=3a2，故原选项计算错误；

B、2a+3a=5a，故原选项计算错误；

C、（ab）3=a3b3，故原选项计算正确；

D、7a3÷14a2=a，故原选项计算错误；

故选C．

【点睛】

本题考点：同底数幂的混合运算.

7、B

【解析】
根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．

【详解】

∵函数的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，

∴m+1＜0，

解得m＜-1．

故选B．

8、C

【解析】
从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形，

故选C．

9、D

【解析】
根据反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．

【详解】

解：函数的图象位于第四象限．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象分布的象限是解题关键．

10、B

【解析】

分析：利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案．

详解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，

    ∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；

    故选B．

点睛：本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．

11、C

【解析】

【分析】根据合并同类项法则进行计算即可得.

【详解】3a2－a2

=（3-1）a2

=2a2，

故选C.

【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项的法则是解题的关键.合并同类项就是把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变.

12、D

【解析】

根据同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一计算作出判断：

A、a2•a4=a6，故此选项错误；

B、2a2+a2=3a2，故此选项错误；

C、a6÷a2=a4，故此选项错误；

D、（ab2）3=a3b6，故此选项正确．．

故选D．

考点：同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

【解析】

分析：根据二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可.

详解：原式=3-5=﹣2．

点睛：此题主要考查了二次根式的加减，灵活利用二次根式的化简是解题关键，比较简单.

14、．

【解析】
先通分变为同分母分式，然后根据分式的减法法则计算即可．

【详解】

解：原式

．

故答案为：．

【点睛】

此题考查的是分式的减法，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．

15、减小

【解析】
先根据反比例函数的性质判断出函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的性质进行解答即可．

【详解】

解：∵反比例函数中， 

∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小.

故答案为减小.

【点睛】

考查反比例函数的图象与性质，反比例函数

当时，图象在第一、三象限.在每个象限，y随着x的增大而减小，

当时，图象在第二、四象限.在每个象限，y随着x的增大而增大.

16、-

【解析】
直接利用分式的混合运算法则即可得出.

【详解】

原式，

，

，

.

故答案为.

【点睛】

此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键.

17、5或1．

【解析】
先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=5，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．

【详解】

∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=5，

∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，

∴BD=DB′，AB′=AB=5．

如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．

设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x．

在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′5=AF5+FB′5，即（6+x）5+（8-x）5=55．

解得：x1=5，x5=0（舍去）．

∴BD=5．

如图5所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．

∵AB′=5，AC=6，

∴B′E=5．

设BD=DB′=x，则CD=8-x．

在Rt△′BDE中，DB′5=DE5+B′E5，即x5=（8-x）5+55．

解得：x=1．

∴BD=1．

综上所述，BD的长为5或1．

18、210°

【解析】
根据三角形内角和定理得到∠B＝45°，∠E＝60°，根据三角形的外角的性质计算即可．

【详解】

解：如图：

∵∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，

∴∠B＝45°，∠E＝60°，

∴∠2+∠3＝120°，

∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠B＝∠A+∠B+∠2+∠3＝90°+120°＝210°，

故答案为：210°．

【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）；（2）﹣2＜x≤1．

【解析】
（1）根据绝对值、特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．

【详解】

（1）sin45°

=3-+×-5+×

=3-+3-5+1

=7--5；

（2）（2）

由不等式①，得

x＞-2，

由不等式②，得

x≤1，

故原不等式组的解集是-2＜x≤1．

【点睛】

本题考查解一元一次不等式组、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确解它们各自的解答方法．

20、（1）k＝﹣1；（2）当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．

【解析】
（1）由抛物线的对称轴直线可得h，然后再由抛物线交于原点代入求出k即可；

（2）先根据抛物线与x轴有公共点求出k的取值范围，然后再根据抛物线的对称轴及当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，进一步求出k的取值范围即可.

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1，

∴h＝1，

把原点坐标代入y＝（x﹣1）2+k，得，

（2﹣1）2+k＝2，

解得k＝﹣1；

（2）∵抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴有公共点，

∴对于方程（x﹣1）2+k＝2，判别式b2﹣4ac＝﹣4k≥2，

∴k≤2．

当x＝﹣1时，y＝4+k；当x＝2时，y＝1+k，

∵抛物线的对称轴为x＝1，且当﹣1＜x＜2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，

∴4+k＞2且1+k＜2，解得﹣4＜k＜﹣1，

综上，当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点．

【点睛】

抛物线与一元二次方程的综合是本题的考点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

21、（Ⅰ），PA＝4；（Ⅱ），

【解析】
（Ⅰ）易得△OAC是等边三角形即∠AOC=60°，又由PC是○O的切线故PC⊥OC，即∠OCP=90°可得∠P的度数，由OC=4可得PA的长度

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△OAC是等边三角形，易得∠APC=45°；过点C作CD⊥AB于点D，易得AD=AO=CO，在Rt△DOC中易得CD的长，即可求解

【详解】

解：（Ⅰ）∵AB是○O的直径，∴OA是○O的半径.

∵∠OAC=60°，OA=OC，∴△OAC是等边三角形.

∴∠AOC=60°.

∵PC是○O的切线，OC为○O的半径，

∴PC⊥OC，即∠OCP=90°∴∠P=30°.

∴PO=2CO=8.

∴PA=PO-AO=PO-CO=4.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知△OAC是等边三角形，

∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°∴∠AQC=30°.

∵AQ=CQ，∴∠ACQ=∠QAC=75°

∴∠ACQ-∠ACO=∠QAC-∠OAC=15°即∠QCO=∠QAO=15°.

∴∠APC=∠AQC+∠QAO=45°.

如图②，过点C作CD⊥AB于点D.

∵△OAC是等边三角形，CD⊥AB于点D，

∴∠DCO=30°，AD=AO=CO=2.

∵∠APC=45°，∴∠DCQ=∠APC=45°

∴PD=CD

在Rt△DOC中，OC=4，∠DCO=30°，∴OD=2，∴CD=2

∴PD=CD=2

∴AP=AD+DP=2+2

【点睛】

此题主要考查圆的综合应用

22、参见解析．

【解析】

分析：先证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE=AF．

详解：

证明：平行四边形中，，，

．

又，

，

，

点睛：本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质.

23、（1）商场至少购进乙种电冰箱14台；（2）商场购进甲种电冰箱28台，购进乙种电冰箱14（台），购进丙种电冰箱38台．

【解析】
（1）设商场购进乙种电冰箱x台，则购进甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80-3x）台，根据“商场最多支出132000元用于购买这批电冰箱”列出不等式，解之即可得；

（2）根据“总利润=甲种冰箱利润+乙种冰箱利润+丙种冰箱利润”列出W关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用一次函数的性质求解可得．

【详解】

（1）设商场购进乙种电冰箱x台，则购进甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80﹣3x）台．

根据题意得：1200×2x+1600x+2000（80﹣3x）≤132000，

解得：x≥14，

∴商场至少购进乙种电冰箱14台；

（2）由题意得：2x≤80﹣3x且x≥14，

∴14≤x≤16，

∵W=220×2x+260x+280（80﹣3x）=﹣140x+22400，

∴W随x的增大而减小，

∴当x=14时，W取最大值，且W最大=﹣140×14+22400=20440，

此时，商场购进甲种电冰箱28台，购进乙种电冰箱14（台），购进丙种电冰箱38台．

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系和相等关系，并据此列出不等式与函数解析式．

24、（1）；（2）不能成为平行四边形，理由见解析

【解析】
（1）将点B坐标代入一次函数上可得出点B的坐标，由点B的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，根据点的坐标为，可以判断出，再由点P的横坐标可得出点P的坐标是，结合PD∥x轴可得出点D的坐标，再利用三角形的面积公式即可用含的式子表示出△MPD的面积；
（2）当P为BM的中点时，利用中点坐标公式可得出点P的坐标，结合PD∥x轴可得出点D的坐标，由折叠的性质可得出直线MN的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由点P，C，D的坐标可得出PD≠PC，由此即可得出四边形BDMC不能成为平行四边形．

【详解】

解：（1）∵点在直线上，

∴．

∵点在的图像上，

∴，∴．

设，

则．

∵∴．

记的面积为，

∴

．

（2）当点为中点时，其坐标为，

∴．

∵直线在轴下方的部分沿轴翻折得表示的函数表达式是：，

∴，

∴，

∴与不能互相平分，

∴四边形不能成为平行四边形．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、折叠的性质以及平行四边形的判定，解题的关键是：（1）利用一次（反比例）函数图象上点的坐标特征，找出点P，M，D的坐标；（2）利用平行四边形的对角线互相平分，找出四边形BDMC不能成为平行四边形．

25、（1）EF∥BD，见解析；（2）①AE=AM，理由见解析；②△AEM能为等边三角形，理由见解析；（3）△ANF的面积不变，理由见解析

【解析】
（1）依据DE=BF，DE∥BF，可得到四边形DBFE是平行四边形，进而得出EF∥DB；

（2）依据已知条件判定△ADE≌△ABM，即可得到AE=AM；②若△AEM是等边三角形，则∠EAM=60°，依据△ADE≌△ABM，可得∠DAE=∠BAM=15°，即可得到DE=16-8，即当DE=16−8时，△AEM是等边三角形；

（3）设DE=x，过点N作NP⊥AB，反向延长PN交CD于点Q，则NQ⊥CD，依据△DEN∽△BNA，即可得出PN=，根据S△ANF=AF×PN=×（x+8）×=32，可得△ANF的面积不变．

【详解】

解:（1）EF∥BD．

证明：∵动点E从点D出发，在线段DC上运动，同时点F从点B出发，以相同的速度沿射线AB方向运动，

∴DE=BF，

又∵DE∥BF，

∴四边形DBFE是平行四边形，

∴EF∥DB；

（2）①AE=AM．

∵EF∥BD，

∴∠F=∠ABD=45°，

∴MB=BF=DE，

∵正方形ABCD，

∴∠ADC=∠ABC=90°，AB=AD，

∴△ADE≌△ABM，

∴AE=AM；

②△AEM能为等边三角形．

若△AEM是等边三角形，则∠EAM=60°，

∵△ADE≌△ABM，

∴∠DAE=∠BAM=15°，

∵tan∠DAE=，AD=8，

∴2﹣=，

∴DE=16﹣8，

即当DE=16﹣8时，△AEM是等边三角形；

（3）△ANF的面积不变．

设DE=x，过点N作NP⊥AB，反向延长PN交CD于点Q，则NQ⊥CD，

∵CD∥AB，

∴△DEN∽△BNA，

∴=，

∴，

∴PN=，

∴S△ANF=AF×PN=×（x+8）×=32，

即△ANF的面积不变．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及相似三角形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用全等三角形的 对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出结论．

26、（1）100，35；（2）补全图形，如图；（3）800人

【解析】
（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占的百分比可得答案.

【详解】

解：（1）∵被调查总人数为m=10÷10%=100人，

∴用支付宝人数所占百分比n%= ，

∴m=100，n=35.

（2）网购人数为100×15%=15人，

微信人数所占百分比为，

补全图形如图：

（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人.

【点睛】

本题考查条形统计图和扇形统计图的信息关联问题，样本估计总体问题，从不同的统计图得到必要的信息是解决问题的关键.

27、（1）k=10，b=3；（2）.

【解析】

试题分析：(1)、将A点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k和b的值；(2)、首先根据一次函数求出点B的坐标，然后计算面积.

试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=，得k==2×5=10

把x=2，y=5代入y=x+b，得b=3

(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=×3×5=7.5

考点：一次函数与反比例函数的综合问题.