江西省抚州市临川区重点中学2021-2022学年中考联考数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）

A．k＞－1 B．k≥－1 C．k＜－1 D．k≤－1

2．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为(      )

A．30° B．36° C．54° D．72°

3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（    ）

A． B． C． D．

4．下列实数中是无理数的是（　　）

A． B．π C． D．

5．点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3

6．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为(    )

A． B． C．1 D．

7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（　　）

A． B． C．4 D．2+

8．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（    ）

A． B． C． D．

9．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ）

A．20 B．24 C．28 D．30

10．如图，O为直线 AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE 于点 O，若∠BOC=80°，则∠AOD的度数是（       ）

A．70° B．50° C．40° D．35°

11．如下图所示，该几何体的俯视图是 （    ）

A． B． C． D．

12．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）

A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．如图，边长一定的正方形ABCD，Q是CD上一动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于N点，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；

②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值。其中一定成立的是_______.

14．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．

15．分解因式：8a3﹣8a2+2a=_____．

16．分解因式：2x3﹣4x2+2x＝_____．

17．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．

18．小红沿坡比为1：的斜坡上走了100米，则她实际上升了_____米．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．

（1）求证：DF＝PG；

（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．

20．（6分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．

（1）填空：∠AHC　   　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）

（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；

（3）设AE＝m，

①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．

②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．

21．（6分）2017年10月31日，在广州举行的世界城市日全球主场活动开幕式上，住建部公布许昌成为“国家生态园林城市”在2018年植树节到来之际，许昌某中学购买了甲、乙两种树木用于绿化校园．若购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元．

（1）求甲种树和乙种树的单价；

（2）按学校规划，准备购买甲、乙两种树共200棵，且甲种树的数量不少于乙种树的数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

22．（8分）已知P是的直径BA延长线上的一个动点，∠P的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，＝6，OP=m，，如图所示．另一个半径为6的经过点C、D，圆心距．

（1）当m=6时，求线段CD的长；

（2）设圆心O1在直线上方，试用n的代数式表示m；

（3）△POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由．

23．（8分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．求证：AB=AF；若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

24．（10分）矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．

①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．

（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

25．（10分）先化简，再求值：，其中a是方程a（a+1）＝0的解．

26．（12分）在一个不透明的口袋里装有四个球，这四个球上分别标记数字﹣3、﹣1、0、2，除数字不同外，这四个球没有任何区别．从中任取一球，求该球上标记的数字为正数的概率；从中任取两球，将两球上标记的数字分别记为x、y，求点（x，y）位于第二象限的概率．

27．（12分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是     事件；（可能，必然，不可能）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、C

【解析】

试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.

由题意得，解得

故选C.

考点：一元二次方程的根的判别式

点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

2、B

【解析】
在等腰三角形△ABE中，求出∠A的度数即可解决问题．

【详解】

解：在正五边形ABCDE中，∠A=×（5-2）×180=108°
 

又知△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=（180°-108°）=36°．
故选B．

【点睛】

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．

3、D

【解析】

A选项：

∠1+∠2=360°－90°×2=180°；

B选项：

∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

∵∠1+∠4=180°，

∴∠1+∠2=180°；

C选项：

∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，

∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；

D选项：∠1和∠2不一定互补.

故选D.

点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.

4、B

【解析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】

A、是分数，属于有理数；

B、π是无理数；

C、=3，是整数，属于有理数；

D、-是分数，属于有理数；

故选B．

【点睛】

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

5、A

【解析】
作出反比例函数的图象（如图），即可作出判断：

∵－3＜1，

∴反比例函数的图象在二、四象限，y随x的增大而增大，且当x＜1时，y＞1；当x＞1时，y＜1．

∴当x1＜x2＜1＜x3时，y3＜y1＜y2．故选A．

6、C

【解析】
作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=AM=，再根据角平分线性质得BM=MH=，则AB=2+，于是利用正方形的性质得到AC=AB=2+2，OC=AC=+1，所以CH=AC-AH=2+，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．

【详解】

试题分析：作MH⊥AC于H，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠MAH=45°，

∴△AMH为等腰直角三角形，

∴AH=MH=AM=×2=，

∵CM平分∠ACB，

∴BM=MH=，

∴AB=2+，

∴AC=AB=（2+）=2+2，

∴OC=AC=+1，CH=AC﹣AH=2+2﹣=2+，

∵BD⊥AC，

∴ON∥MH，

∴△CON∽△CHM，

∴，即，

∴ON=1．

故选C．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

7、B

【解析】
根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．

【详解】

如图：

BC=AB=AC=1，

∠BCB′=120°，

∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×.故选B．

8、B

【解析】
将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：

【详解】

A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；

B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；

C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；

D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误.

故选B.

9、D

【解析】
试题解析：根据题意得=30%，解得n=30，

所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．

故选D．

考点：利用频率估计概率．

10、B

【解析】

分析：由OE是∠BOC的平分线得∠COE=40°，由OD⊥OE得∠DOC=50°，从而可求出∠AOD的度数.

详解：∵OE是∠BOC的平分线，∠BOC=80°，

∴∠COE=∠BOC=×80°=40°，

∵OD⊥OE

∴∠DOE=90°，

∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°，

∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°.

故选B.

点睛：本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

11、B

【解析】
根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【详解】

从上面看是三个长方形，故B是该几何体的俯视图.

故选B.

【点睛】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

12、C

【解析】
试题分析：此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可

【详解】

.故选C.

解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得
1000（26-x）=2×800x，故C答案正确，考点：一元一次方程.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、①②③④

【解析】

①如图1，作AU⊥NQ于U，交BD于H，连接AN，AC，

∵∠AMN=∠ABC=90°，

∴A，B，N，M四点共圆，

∴∠NAM=∠DBC=45°,∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴AM=MN；

②由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，

∴Rt△AHM≌Rt△MPN，

∴MP=AH=AC=BD；

③∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，

∴在∠NAM作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，

∴△ABN≌△UAN,△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，

∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ；

④如图2，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，

∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，

∴△AMS≌△NMW

∴AS=NW，

∴AB+BN=SB+BW=2BW，

∵BW:BM=1: ，

∴.

故答案为：①②③④

点睛：本题考查了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线并运用有关知识理清图形中西安段间的关系，证明三角形全等是解决问题的关键.

14、15

【解析】

试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π．

故答案为15π．

考点：圆锥的计算．

15、2a（2a﹣1）2

【解析】
提取2a,再将剩下的4a2-4a+1用完全平方和公式配出（2a﹣1）2，即可得出答案.

【详解】

原式=2a（4a2-4a+1）=2a（2a﹣1）2.

【点睛】

本题考查了因式分解，仔细观察题目并提取公因式是解决本题的关键.

16、2x（x-1）2

【解析】

2x3﹣4x2+2x=

17、

【解析】

试题分析：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． ∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0， 解得：m＜1．

考点：根的判别式．

18、50

【解析】
根据题意设铅直距离为x，则水平距离为，根据勾股定理求出x的值，即可得到结果．

【详解】

解：设铅直距离为x，则水平距离为，

根据题意得：，

解得：（负值舍去），

则她实际上升了50米，

故答案为：50

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、（1）证明见解析；（2）1.

【解析】
作PM⊥AD,在四边形ABCD和四边形ABPM证AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；还有两个直角即可证明△ADF≌△MPG，从而得出对应边相等

（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根据旋转，得出∠EPG＝90°，PE＝PG从而得出四边形PEFD为平行四边形；根据勾股定理和等量代换求出边长DF的值；根据相似三角形得出对应边成比例求出GH的值，从而求出高PH 的值；最后根据面积公式得出

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，

∵四边形ABPM为矩形，

∴AB＝PM，

∴AD＝PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG＝90°，

∴∠GDH+∠DGH＝90°，

∵∠MGP+∠MPG＝90°，

∴∠GDH＝∠MPG，

在△ADF和△MPG中，

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG；

（2）作PM⊥DG于M，如图，

∵PD＝PG，

∴MG＝MD，

∵四边形ABCD为矩形，

∴PCDM为矩形，

∴PC＝MD，

∴DG＝2PC＝2；

∵△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG，

而PD＝PG，

∴DF＝PD，

∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，

∴∠EPG＝90°，PE＝PG，

∴PE＝PD＝DF，

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF＝PE，

∴四边形PEFD为平行四边形，

在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，

∴PD＝＝，

∴DF＝PG＝PD＝，

∵四边形CDMP是矩形，

∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，

∵PD＝PG，PM⊥AD，

∴MG＝MD＝1，DG＝2，

∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，

∴△DHG∽△PMG，

∴，

∴GH＝＝，

∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，

∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝1．

【点睛】

本题考查了平行四边形的面积、勾股定理、相似三角形判定、全等三角形性质，本题的关键是求边长和高的值

20、（1）=；（2）结论：AC2＝AG•AH．理由见解析；（3）①△AGH的面积不变．②m的值为或2或8﹣4．.

【解析】
（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=43°，∠ACH+∠ACG=43°，即可推出∠AHC=∠ACG；

（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；

（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；

②分三种情形分别求解即可解决问题.

【详解】

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝43°，

∴AC＝，

∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝43°，∠ACH+∠ACG＝43°，

∴∠AHC＝∠ACG．

故答案为＝．

（2）结论：AC2＝AG•AH．

理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝133°，

∴△AHC∽△ACG，

∴，

∴AC2＝AG•AH．

（3）①△AGH的面积不变．

理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝1．

∴△AGH的面积为1．

②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，

可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，

∵BC∥AH，

∴,

∴AE＝AB＝．

如图2中，当CH＝HG时，

易证AH＝BC＝4，

∵BC∥AH，

∴＝1，

∴AE＝BE＝2．

如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.3．

在BC上取一点M，使得BM＝BE，

∴∠BME＝∠BEM＝43°，

∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，

∴∠MCE＝∠MEC＝22.3°，

∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EMm，

∴m+m＝4，

∴m＝4（﹣1），

∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，

综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

21、（1）甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵．（2）当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低，理由见解析．

【解析】
（1）设甲种树的单价为x元/棵，乙种树的单价为y元/棵，根据“购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种树a棵，则购买乙种树（200-a）棵，根据甲种树的数量不少于乙种树的数量的可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再由甲种树的单价比乙种树的单价贵，即可找出最省钱的购买方案．

【详解】

解：（1）设甲种树的单价为x元/棵，乙种树的单价为y元/棵，

根据题意得：
，

解得：

答：甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵．

（2）设购买甲种树a棵，则购买乙种树（200﹣a）棵，

根据题意得： 

解得： 

∵a为整数，

∴a≥1．

∵甲种树的单价比乙种树的单价贵，

∴当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低．

【点睛】

一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用,读懂题目，是解题的关键.

22、 (1)CD=;(2)m= ;(3) n的值为或    

【解析】

分析：（1）过点作⊥，垂足为点，连接．解Rt△，得到的长．由勾股定理得的长，再由垂径定理即可得到结论；   

（2）解Rt△，得到和Rt△中，由勾股定理即可得到结论； 

（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心、在弦异侧时，分和．②当圆心、在弦同侧时，同理可得结论．

详解：（1）过点作⊥，垂足为点，连接．

在Rt△，∴．

     ∵＝6，∴．

     由勾股定理得： ．

∵⊥，∴．

（2）在Rt△，∴．

在Rt△中，．

在Rt△中，．

可得： ，解得．

（3）△成为等腰三角形可分以下几种情况：

① 当圆心、在弦异侧时

i），即，由，解得．

即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去．

ii），由 ，

解得：，即 ，解得．

②当圆心、在弦同侧时，同理可得： ．

∵是钝角，∴只能是，即，解得．

综上所述：n的值为或．

点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．

23、（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析.

【解析】
（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；

（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BE∥CD，AB=CD，

∴∠AFC=∠DCG，

∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，

∴△AGF≌△DGC，

∴AF=CD，

∴AB=CF．

（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．

理由：∵AF=CD，AF∥CD，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠FAG=60°，

∵AB=AG=AF，

∴△AFG是等边三角形，

∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG=CG，∵AG=GD，

∴AD=CF，

∴四边形ACDF是矩形．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

24、（1）①证明见解析；②10；（2）线段EF的长度不变，它的长度为2.

 ．

【解析】

试题分析：（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得列方程，求出x，最后根据CD=AB=2OP即可求出边CD的长；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB的长，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．

试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴=，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得 ：，解得：x=5，∴CD=AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；

（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP，∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，∵∠QFM=∠NFB，∠QMF=∠BNF，MQ=BN，∴△MFQ≌△NFB（AAS），∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB==，∴EF=PB=，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为．

考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似形综合题．

25、

【解析】
根据分式运算性质,先化简,再求出方程的根a=0或-1,分式有意义分母不等于0,所以将a=-1代入即可求解.

【详解】

解：原式=

=

∵a(a+1)=0,解得：a=0或-1,

由题可知分式有意义,分母不等于0,

∴a=-1,

将a=-1代入得,

原式=

【点睛】

本题考查了分式的化简求值,中等难度,根据分式有意义的条件代值计算是解题关键.

26、（1）；（2）．

【解析】
（1）直接根据概率公式求解；
（2）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出第二象限内的点的个数，然后根据概率公式计算点（x，y）位于第二象限的概率．

【详解】

（1）正数为2，所以该球上标记的数字为正数的概率为；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，它们是（﹣3，﹣1）、（﹣3，0）、（﹣3，2）、（﹣1，0）、（﹣1，2）、（0，2）、（﹣1，﹣3）、（0，﹣3）、（2，﹣3）、（0，﹣1）、（2，﹣1）、（2，0），其中第二象限的点有2个，所以点（x，y）位于第二象限的概率＝＝．

【点睛】

本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

27、（1）不可能事件；（2）.

【解析】
试题分析：（1）根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（2）根据题意画出树状图，再由概率公式求解即可．

试题解析：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；

（2）树状图法

即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为．

考点：列表法与树状图法．