辽宁省清原中学2022年中考一模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（  ）

A． B． C． D．4

2．已知：如图四边形OACB是菱形，OB在X轴的正半轴上，sin∠AOB=．反比例函数y=在第一象限图象经过点A，与BC交于点F．S△AOF=，则k=（　　）

A．15 B．13 C．12 D．5

3．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（　　）

A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C． D．

4．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P＝20°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．1+ B．1+

C．2sin20°+ D．

5．计算(x－l)(x－2)的结果为（    ）

A．x2＋2 B．x2－3x＋2 C．x2－3x－3 D．x2－2x＋2

6．下列几何体中，三视图有两个相同而另一个不同的是（　　）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）

7．若，则（     ）

A． B． C． D．

8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90º，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE的最小值是（   ）

A．4 B．6 C．8 D．10

9．甲乙两同学均从同一本书的第一页开始，按照顺序逐页依次在每页上写一个数，甲同学在第1页写1，第2页写3，第3页写1，……，每一页写的数均比前一页写的数多2；乙同学在第1页写1，第2页写6，第3页写11，……，每一页写的数均比前一页写的数多1．若甲同学在某一页写的数为49，则乙同学在这一页写的数为（　　）

A．116 B．120 C．121 D．126

10．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（   ）

A．（2，-3） B．（-3,3） C．（2,3） D．（-4,6）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．

12．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第根图形需要____________根火柴.

13．分解因式：8x²-8xy+2y²= _________________________ .

14．当a＝3时，代数式的值是______．

15．已知关于 x 的函数 y=（m﹣1）x2+2x+m 图象与坐标轴只有 2 个交点，则m=_______．

16．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为_____．

17．如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=_____________ .

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与轴、轴分别相交于点A、B，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．

（1）求k和b的值；

（2）点G是轴上一点，且以点、C、为顶点的三角形与△相似，求点G的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上．如果存在，直接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由．

19．（5分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若∠ABC＝60°，CE＝2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+m与双曲线y＝﹣相交于点A（m，2）．

（1）求直线y＝kx+m的表达式；

（2）直线y＝kx+m与双曲线y＝﹣的另一个交点为B，点P为x轴上一点，若AB＝BP，直接写出P点坐标．

21．（10分）2017年10月31日，在广州举行的世界城市日全球主场活动开幕式上，住建部公布许昌成为“国家生态园林城市”在2018年植树节到来之际，许昌某中学购买了甲、乙两种树木用于绿化校园．若购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元．

（1）求甲种树和乙种树的单价；

（2）按学校规划，准备购买甲、乙两种树共200棵，且甲种树的数量不少于乙种树的数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

22．（10分）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

23．（12分）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）数轴上点B对应的数是______．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？

24．（14分）为营造“安全出行”的良好交通氛围,实时监控道路交迸,某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示,立杆MA与地面AB垂直,斜拉杆CD与AM交于点C,横杆DE∥AB,摄像头EF⊥DE于点E,AC=55米,CD=3米,EF=0.4米,∠CDE=162°．

求∠MCD的度数；求摄像头下端点F到地面AB的距离．(精确到百分位)

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、B

【解析】

分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解．

详解：∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高CD后，

∴等边三角形的高CD=，∴侧（左）视图的面积为2×,

故选B．

点睛：本题主要考查的是由三视图判断几何体．解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面积的宽度．

2、A

【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出a的值，进而依据点A的坐标得到k的值．

【详解】

过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．

设OA=a=OB，则，

在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，

∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM=a，

∴点A的坐标为（a，a）．

∵四边形OACB是菱形，S△AOF=，

∴OB×AM=，

即×a×a=39，

解得a=±，而a＞0，

∴a=，即A（，6），

∵点A在反比例函数y=的图象上，

∴k=×6=1．

故选A．

【解答】

解：

【点评】

本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用S△AOF=S菱形OBCA．

3、D

【解析】

A、、∵y＝x2，∴对称轴x=0，当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，故此选项错误

B、k＞0，y随x增大而增大，故此选项错误

C、B、k＞0，y随x增大而增大，故此选项错误

D、y=（x＞0），反比例函数，k＞0，故在第一象限内y随x的增大而减小，故此选项正确

4、A

【解析】
连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论．

【详解】

连接OT、OC，

∵PT切⊙O于点T，

∴∠OTP=90°，

∵∠P=20°，

∴∠POT=70°，

∵M是OP的中点，

∴TM=OM=PM，

∴∠MTO=∠POT=70°，

∵OT=OC，

∴∠MTO=∠OCT=70°，

∴∠OCT=180°-2×70°=40°，

∴∠COM=30°，

作CH⊥AP，垂足为H，则CH=OC=1，

S阴影=S△AOC+S扇形OCB=OA•CH+=1+，

故选A.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．

5、B

【解析】
根据多项式的乘法法则计算即可.

【详解】

(x－l)(x－2)

= x2－2x－x＋2

= x2－3x＋2.

故选B.

【点睛】

本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

6、B

【解析】
根据三视图的定义即可解答．

【详解】

正方体的三视图都是正方形，故（1）不符合题意；

圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是圆，故（2）符合题意；

圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆形，故（3）符合题意；

三棱锥主视图是、左视图是，俯视图是三角形，故（4）不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解决问题的关键.

7、D

【解析】
等式左边为非负数，说明右边，由此可得b的取值范围．

【详解】

解：，
，解得

故选D．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质：，．

8、B

【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．

【详解】

平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小。

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

∴OD∥AB，

又∵OC=OA，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD=AB=3，

∴DE=2OD=6.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用三角形中位线定理进行求解.

9、C

【解析】
根据题意确定出甲乙两同学所写的数字，设甲所写的第n个数为49，根据规律确定出n的值，即可确定出乙在该页写的数．

【详解】

甲所写的数为 1，3，1，7，…，49，…；乙所写的数为 1，6，11，16，…，

设甲所写的第n个数为49，

根据题意得：49＝1+（n﹣1）×2，

整理得：2（n﹣1）＝48，即n﹣1＝24，

解得：n＝21，

则乙所写的第21个数为1+（21﹣1）×1＝1+24×1＝121，

故选：C．

【点睛】

考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．

10、A

【解析】
设反比例函数y=（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．

【详解】

设反比例函数y=（k为常数，k≠0），

∵反比例函数的图象经过点（-2，3），

∴k=-2×3=-6，

而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，

∴点（2，-3）在反比例函数y=- 的图象上．

故选A．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、

【解析】
先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．

【详解】

如图，过点A作AF⊥BC于F，

在Rt△ABC中，∠B=45°，

∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，

∵两个同样大小的含45°角的三角尺，

∴AD=BC=2，

在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==

∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，

故答案为-1．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．

12、

【解析】
根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.

【详解】

第一个图中有8根火柴棒组成，

第二个图中有8+6个火柴棒组成，

第三个图中有8+2×6个火柴组成，

……

∴组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.

故答案为6n+2

【点睛】

本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键.

13、1

【解析】
提取公因式1，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．完全平方公式：a1±1ab+b1=（a±b）1．

【详解】

8x1-8xy+1y²=1（4x1-4xy+y²）=1（1x-y）1．

故答案为：1（1x-y）1

【点睛】

此题考查的是提取公因式法和公式法分解因式，本题关键在于提取公因式可以利用完全平方公式进行二次因式分解．

14、1．

【解析】
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．

【详解】

原式＝÷

＝•

＝，

当a＝3时，原式＝＝1，

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

15、1 或 0 或

【解析】
分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；
当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m的值．

【详解】

解：（1）当 m﹣1=0 时，m=1，函数为一次函数，解析式为 y=2x+1，与 x 轴

交点坐标为（﹣ ，0）；与 y 轴交点坐标（0，1）．符合题意．

（2）当 m﹣1≠0 时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与 x 轴有两个不同的交点，

于是△=4﹣4（m﹣1）m＞0，

解得，（m﹣）2＜，

解得 m＜ 或 m＞ ．

将（0，0）代入解析式得，m=0，符合题意．

（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与 x 轴只有一个交点，与 Y 轴交于交于另一点，

这时：△=4﹣4（m﹣1）m=0，

解得：m= ．

故答案为1 或 0 或．

【点睛】

此题考查一次函数和二次函数的性质，解题关键是必须分两种情况讨论，不可盲目求解．

16、1

【解析】

根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，

所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=1．

故答案为1．

17、°

【解析】
通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APB．

【详解】

把△PAB绕B点顺时针旋转90°，得△P′BC，

则△PAB≌△P′BC，

设PA=x，PB=2x，PC=3x，连PP′，

得等腰直角△PBP′，PP′2=（2x）2+（2x）2=8x2，

∠PP′B=45°．

又PC2=PP′2+P′C2，

得∠PP′C=90°．

故∠APB=∠CP′B=45°+90°=135°．

故答案为135°．

【点睛】

本题考查的是正方形四边相等的性质，考查直角三角形中勾股定理的运用，把△PAB顺时针旋转90°使得A′与C点重合是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、 (1)k=-,b=1;(1) (0,1)和

【解析】

分析：（1） 由直线经过点，可得．由抛物线的对称轴是直线，可得，进而得到A、B、D的坐标，然后分两种情况讨论即可；

（3）设E（a，），E关于直线AB的对称点E′为（0，b），EE′与AB的交点为P．则EE′⊥AB，P为EE′的中点，列方程组，求解即可得到a的值，进而得到答案．

详解：（1） 由直线经过点，可得．

由抛物线的对称轴是直线，可得．

 ∵直线与x轴、y轴分别相交于点、，

∴点的坐标是，点的坐标是．

∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是．

∵点是轴上一点，∴设点的坐标是．

∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，

∴△BCG与△相似有两种可能情况：   

①如果，那么，解得，∴点的坐标是．

②如果，那么，解得，∴点的坐标是．

综上所述：符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．

（3）设E（a，），E关于直线AB的对称点E′为（0，b），EE′与AB的交点为P，则EE′⊥AB，P为EE′的中点，∴ ，整理得：，∴(a-1)(a+1)=0，解得：a=－1或a=1．

当a=－1时，=；

当a=1时，=；

∴点的坐标是或．

点睛：本题是二次函数的综合题．考查了二次函数的性质、解析式的求法以及相似三角形的性质．解答（1）问的关键是要分类讨论，解答（3）的关键是利用两直线垂直则k的乘积为－1和P是EE′的中点．

19、见解析

【解析】

试题分析：（1）先证得四边形ABED是平行四边形，又AB=AD， 邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，所以∠DEC=60°，AB=ED，又EC=2BE，EC=2DE，可得△DEC是直角三角形．

试题解析：梯形ABCD中，AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形，

又AB=AD，

∴四边形ABED是菱形；

（2）∵四边形ABED是菱形，∠ABC=60°，

∴∠DEC=60°，AB=ED，

又EC=2BE，

∴EC=2DE，

∴△DEC是直角三角形，

考点：1．菱形的判定；2．直角三角形的性质；3．平行四边形的判定

20、（1）m＝﹣1；y＝﹣3x﹣1；（2）P1（5，0），P2（，0）．

【解析】
（1）将A代入反比例函数中求出m的值,即可求出直线解析式,

（2）联立方程组求出B的坐标,理由过两点之间距离公式求出AB的长,求出P点坐标,表示出BP长即可解题.

【详解】

解：（1）∵点A（m，2）在双曲线上，

∴m＝﹣1，

∴A（﹣1，2），直线y＝kx﹣1，

∵点A（﹣1，2）在直线y＝kx﹣1上，

∴y＝﹣3x﹣1．

（2）  ，解得或，

∴B（，﹣3），

∴AB＝＝，设P（n，0），

则有（n﹣）2+32＝

解得n＝5或，

∴P1（5，0），P2（，0）．

【点睛】

本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,中等难度,联立方程组,会用两点之间距离公式是解题关键.

21、（1）甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵．（2）当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低，理由见解析．

【解析】
（1）设甲种树的单价为x元/棵，乙种树的单价为y元/棵，根据“购买7棵甲种树和4棵乙种树需510元；购买3棵甲种树和5棵乙种树需350元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种树a棵，则购买乙种树（200-a）棵，根据甲种树的数量不少于乙种树的数量的可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再由甲种树的单价比乙种树的单价贵，即可找出最省钱的购买方案．

【详解】

解：（1）设甲种树的单价为x元/棵，乙种树的单价为y元/棵，

根据题意得：
，

解得：

答：甲种树的单价为50元/棵，乙种树的单价为40元/棵．

（2）设购买甲种树a棵，则购买乙种树（200﹣a）棵，

根据题意得： 

解得： 

∵a为整数，

∴a≥1．

∵甲种树的单价比乙种树的单价贵，

∴当购买1棵甲种树、133棵乙种树时，购买费用最低．

【点睛】

一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用,读懂题目，是解题的关键.

22、（1）答案见解析；（2）AB=1BE；（1）1．

【解析】

试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；

（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；

（1）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=1x，半径OD=x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．

试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；

（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=1BE．证明如下：

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴．∵Rt△ABD中，tanA==，∴=，

∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=1BE；

（1）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=1x，半径OD=x．∵OF=1，∴OE=1+2x．

在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣（舍）或x=2，∴圆O的半径为1．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．

23、（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等

【解析】

试题分析：（1）根据OB=3OA，结合点B的位置即可得出点B对应的数；

（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，找出点M、N对应的数，再分点M、点N在点O两侧和点M、点N重合两种情况考虑，根据M、N的关系列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

试题解析：（1）∵OB=3OA=1，
∴B对应的数是1．
（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，
此时点M对应的数为3x-2，点N对应的数为2x．
①点M、点N在点O两侧，则
2-3x=2x，
解得x=2；
②点M、点N重合，则，
3x-2=2x，
解得x=2．
所以经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．

24、（1） （2）6.03米

【解析】
分析：延长ED，AM交于点P，由∠CDE=162°及三角形外角的性质可得出结果;(2)利用解直角三角形求出PC，再利用PC+AC-EF即可得解.

详解：（1）如图，延长ED，AM交于点P，

∵DE∥AB,

∴, 即∠MPD=90°               

∵∠CDE=162° 

∴  

（2）如图，在Rt△PCD中， CD=3米，

∴PC = 米

∵AC=5.5米， EF=0.4米，                          

∴米 

答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解决此类问题要了解角之间的关系，找到已知和未知相关联的的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高线或垂线构造直角三角形.