2021河北省正定中学高一下学期第一次月考数学试题含答案

河北正定中学高一下学期第一次月考试卷

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数的虚部为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．已知平面向量，，满足，，，若，则x为（    ）

A．-1    B．-2    C．-3    D．-4

3．设θ∈R，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（    ）

A．    B．

C．    D．

5．向量，，若，的夹角为钝角，则t的范围是（    ）

A．    B．    C．且t≠-6    D．t＜-6

6．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

7．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈[3，5]时，f（x）＝1-|x-4|，则下列不等式成立的是（    ）

A．    B．f（sin1）＞f（cos1）

C．    D．f（sin2）＞f（cos2）

8．已知平面向量，则的最大值（    ）

A．    B．    C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9．已知向量，，则（    ）

A．    B．

C．向量在向量上的投影向量是    D．是向量的单位向量

10．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（    ）

A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3    B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3

C．若，则|z1z2|＝|z1z3|    D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2

11．已知在非直角三角形△ABC中，三个内角为A，B，C，下列陈述正确的是

A．sin（A＋B）＝sinC    B．cos（A＋B）＝cosC

C．sin（2A＋2B）＝sin2C    D．tanA·tanB·tanC＝tanA＋tanB＋tanC

12．有以下四个命题，正确命题是（    ）

A．函数的一个增区间是

B．若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）为奇函数，则φ为π的整数倍

C．对于函数，若f（x1）＝f（x2），则x1-x2必是π的整数倍

D．函数的图像关于点对称

三、填空题：本题共4小题．

13．tanα＝2，则cos2α＝________．

14．已知函数，，有f（2）＋f（-1）＝2，且f（x）在定义域上单调递增，则实数a的值是________．

15．设P是△ABC所在平面内的一点，若，且．则点P是△ABC的________．（填“中心”、“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”）

16．如图，设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2＝ac，，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，四边形ABCD面积最大值是________。

四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．设两个非零向量和不共线．

（1）如果，，，求证：A、B、D三点共线；

（2）若、是夹角为的两个单位向量，试确定k的值，使与垂直．

18．已知向量，，．

（1）求函数f（x）的对称中心及单调减区间；

（2）若，求f（x）的值域．

19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB．

（1）求B；

（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．

20．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图象经过点．

（1）函数f（x）＝g（x）＋h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，求h（x），g（x）的解析式；

（2）x∈（0，1]时，2lnh（x）-lng（x）-t＝0有解，求实数t的取值范围．

21．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且∠A与∠BDC互补．

（1）求的值；

（2）求边BC的长．

22．若函数y＝T（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在x2，使T（x1）·T（x2）＝1成立，则称该函数为“圆满函数”．已知函数，g（x）＝2x-2-x；

（1）判断函数y＝f（x）是否为“圆满函数”，并说明理由；

（2）设h（x）＝log2x＋f（x），证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．

河北正定中学高一第二学期第一次月考试卷

数学答案

1-5ACBDC  6-8BCA   9.AD 10.BC 11.AD 12.ABD

13.       14.      15.外心    16.

17.解：（1）证明：，..........2分

，   .........3分

有公共点B

，，三点共线；.............5分

（2），．...........6分

．

．..........8分

即，

，........9分

解得．........10分

18.（1）∵，，∴

.

∴，..........4分

由得，

∴对称中心为，，.........6分

令，则，

即函数单调递减区间是..........8分

（2）∵，∵，
∴，∴，..........10分

∴当，即时，，

∴当，即时，，

∴当时，的值域为...........12分

19.解：(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.①

∵A＝π－(B＋C)，

∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②

由①，②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.    又B∈(0，π)，∴B＝...........4分

(2)△ABC的面积S＝acsinB＝ac............6分

由已知及余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即4＝a2＋c2－2accos，.........9分

又a2＋c2≥2ac，∴ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立..........11分

因此△ABC面积的最大值为＋1...........12分

20.解：（1））由题意可得，函数，其中为奇函数，为偶函数，

可得，

即，解得..........4分

（2）由题意可得，有解

所以令，...........6分

设，.

因为，且在上为单调递增函数，..........7分

所以，

所以，..........8分

因为，..........10分

当且仅当，即时取等号，..........11分

所以，

故实数的取值范围为．..........12分

21.解：（1）由题意可得，；

在中，由，得；

同理，..........4分

所以，；..........6分

（2）在中，由余弦定理得，..........8分

同理，..........10分

由（1）可得，..........11分

解得．..........12分

22.解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得

，即，整理得，但是，矛盾，所以不是“圆满函数”.

（2）易知函数的图象在上连续不断.

①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.因为，，

所以.根据函数零点存在定理，存在，使得，

所以在上有且只有一个零点.

②当时，因为单调递增，所以，因为.所以，所以在上没有零点.

综上：有且只有一个零点.

因为，即，

所以，.

因为在上单调递减，所以，所以.