2020年江西省宜春市初三数学二模试卷及答案

2020年江西省宜春市初三数学二模试卷及答案

一 、单选题（本大题共6小题，共18分）

1.（3分）的相反数是

A. B. C. D.

2.（3分）年月日，中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．纳米米，将用科学记数法表示为

A. B.

C. D.

3.（3分）下列计算正确的是

A. B.

C. D.

4.（3分）图所示的是一个上下两个面都为正方形的长方体，现将图的一个角切掉，得到图所示的几何体，则图的俯视图是

A.     B.     C.     D.

5.（3分）如图，为内一点，经过平移得到，平移后点与其对应点关于轴对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为

A. B.

C. D.

6.（3分）已知抛物线与轴的正半轴相交，直线轴，且与该抛物线相交于两点，当时，函数值为；当时，函数值为则的值为

A. B. C. D.

二 、填空题（本大题共6小题，共18分）

7.（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是 ______ .

8.（3分）数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程______．

9.（3分）若方程的两个根为，，则的值为 ______.

10.（3分）如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，且的面积为，反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为 ______.

11.（3分）如图，小明将矩形纸片绕点逆时针旋转得到矩形，点恰好落在上，交于点若，，则的长为 ______ .

12.（3分）如图，已知边长为的等边三角形中，分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接若的长为，则的值为 ______.

三 、解答题（本大题共11小题，共88分）

13.（8分）计算：； 

如图，点，分别在菱形的边，上，且 

求证：

14.（8分）先化简，再求值：，其中

15.（8分）如图，在的正方形网格中，的顶点都是格点小正方形的顶点，且点是边的中点请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图不写作法，保留作图痕迹 

如图，在边上找点，使与相似； 

如图，在边上找点，使与相似．

16.（8分）为加深对“创建为民、创建惠民”省级文明城市宗旨的了解，某中学组织学生玩抽卡片的游戏游戏规则如下：

四张卡片形状、大小和质地都相同，正面分别写有“创建”“为民”“创建”“惠民”；

将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张不放回，接着再随机抽取一张；

若抽取的两张卡片能组成“创建为民”或“创建惠民”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会.

第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为______.

求欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率.

17.（8分）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点，．

求出直线的表达式；

在轴上有一点使得的面积为，求出点的坐标．

18.（8分）为推进“不忘初心，牢记使命”的主题教育活动，我校对全校教师全校共有名教师在“学习强国”上的学习时间进行了抽样的调查，过程如下：

收集数据：从全校教师中随机抽取名，调查平均每天在“学习强国”上的学习时间单位：，数据如下：

，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，

整理数据：按如下分段整理样本数据．

分析数据：得到下列表格中的统计量．

应用数据：

填空：______，______，______；

估计该校在“学习强国”上的学习时间处于等级及以上的教师人数；

假设在“学习强国”上的学习时间的三分之一是用来阅读文章的，平均阅读一篇文章耗时，请你选择样本中的一种合适的统计量估计该校教师每人一年按天计算平均阅读文章的数量．结果保留整数

19.（8分）如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围在，图是它的示意图已知，点，在上滑动，点，在上滑动，，相交于点，

如图，当时，求这款电脑桌当前的高度.

当电脑桌从图位置升到最大高度如图时，求的大小及点滑动的距离.

结果精确到；参考数据：，，，，

20.（8分）如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接

求证：与相切；

若，，求阴影部分的面积．

21.（8分）在中，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与，的延长线相交，交点分别为点，，与交于点，与交于点

如图，若，求证：；

在绕点旋转的过程中，试求证：

22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，异于顶点的点在该函数图象上．

当时，求的值．

当时，若点在第一象限内，结合图象，求当时，自变量的取值范围．

作直线与轴相交于点当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围．

23.（8分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合如图，其中，，，并进行如下研究活动．

活动一：将图中的纸片沿方向平移，连结，如图，当点与点重合时停止平移．

【思考】图中的四边形是平行四边形吗？请说明理由．

【发现】当纸片平移到某一位置时，小兵发现四边形为矩形如图求的长．

活动二：在图中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度，连结，如图．

【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：的相反数是，

故选：．

根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．

此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．

2.【答案】B;

【解析】解：将用科学记数法表示为．

故选：．

绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

该题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

3.【答案】C;

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、，原计算正确，故此选项符合题意；

D、，原计算错误，故此选项不符合题意．

故选：．

根据题意，逐项进行计算即可．

此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，属于基础题．

4.【答案】C;

【解析】解：从上面看该几何体，看到的是一个有一条对角线的正方形，选项中的图形比较符合题意，

故选：

根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形即可．

此题主要考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．

5.【答案】A;

【解析】解：为内一点，平移后点与其对应点关于轴对称，

，

点的坐标为，

点的对应点的坐标为

故选：

根据关于轴对称的点的坐标特征可得，可得对应点向下平移个单位长度，再根据平移的性质即可求解．

此题主要考查了坐标与图形变化平移，关于轴、轴对称的点的坐标，关键是得到对应点向下平移个单位长度．

6.【答案】A;

【解析】解：，

对称轴为直线，

直线轴，且与该抛物线相交于两点，

，

，

，，

，

故选：

根据题意得到，，即可求得，，从而求得

此题主要考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，求得，是解答该题的关键．

7.【答案】x≤2021;

【解析】解：二次根式有意义，

则，

解得：

故答案为：

直接利用二次根式的定义分析得出答案．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．

8.【答案】=;

【解析】解：根据题意得，，

故答案为：．

根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．

9.【答案】7;

【解析】解：方程的两个根为，，

，，

则原式

故答案为：

利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．

此题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

10.【答案】y=;

【解析】解：在中，时，，

，，

又的面积为，

，

，

，

，

设反比例函数解析式为，

代入得，

，

反比例函数解析式为

故答案为：

由一次函数解析式可以得到点坐标和的长度，由的面积为可以得到点的坐标，由、两点坐标可以得到的坐标，根据待定系数法可以得到反比例函数的解析式．

此题主要考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的前提，会用待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．

11.【答案】;

【解析】解：，，

，

将矩形纸片绕点逆时针旋转得到矩形，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：

先求出，由旋转的性质可求，，由锐角三角函数可求的长，即可求解．

此题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

12.【答案】或4;

【解析】解：根据作图可知，两弧的交点一定在线段的垂直平分线上，如下图所示，

是等边三角形，

，，共线，

，

，

根据勾股定理，得，

①在的左边，

，

，

在中，根据勾股定理，

得，

即，

解得，

②当在的右边，

，

，

在中，根据勾股定理，

得，

即，

解得，

故答案为：或

根据作图可知，点落在的垂直平分线上，且点在的垂直平分线上，所以在直角三角形中根据勾股定理即可求得的长，也即半径

此题主要考查了等边三角形和垂直平分线，点的位置分两种情况以及勾股定理的运用是解决本题的关键．

13.【答案】（1）解：原式=1+4+-

=5；

（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠B=∠D，

在△ADF和△ABE中，

，

∴△ADF≌△ABE（SAS），

∴∠BAE=∠DAF．;

【解析】

本题涉及绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式化简个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；

由菱形的性质得，，再证，即可得出结论．

此题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及实数的运算；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解答该题的关键．

14.【答案】解：原式=÷=-a-1，

∵a=-1，

∴-a-1=-+1-1=-；

∴原式得值为-．;

【解析】

先将原式化简，再代入的值，即可求出原式得值．

此题主要考查分式的化简求值，将原式化简是解答该题的关键．

15.【答案】解：（1）如图1中，点E即为所求；

（2）如图2中，点F即为所求．

;

【解析】

取的中点，连接即可；

取格点，，连接交于点，连接即可．

此题主要考查作图应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．

16.【答案】;

【解析】解：第一次抽取的卡片上写的是“创建”的概率为，

故答案为：；

把“创建”、“为民”、“惠民”分别记为、、，画树状图如图：

共有个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有个，

欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率为

直接由概率公式求解即可；

画树状图，共有个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的结果有个，再由概率公式求解即可．

此题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

17.【答案】解：将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：，

故反比例函数表达式为：，

将点的坐标代入上式并解得：，故点，

将点、的坐标代入一次函数表达式得，解得，

故直线的表达式为：；

设直线与轴的交点为，当时，，故点，

分别过点、作轴的垂线、，垂足分别为、，

则，解得：，

故点的坐标为或．;

【解析】

用待定系数法即可求解；

，即可求解．

该题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．

18.【答案】117578;

【解析】解：；

出现了次，出现的次数最多，

众数；

把这些数从小到大排列，中位数是第、个数的平均数，

则中位数；

故答案为：，，；

根据题意得：

名，

答：估计该校在“学习强国”上的学习时间处于等级及以上的教师人数有名；

根据题意得：

篇，

答：估计该校教师每人一年按天计算平均阅读文章的数量为篇．

根据抽取的总人数及其它等级的人数即可得到的值，根据众数和中位数的定义可以得到和的值；

用总人数乘以学习时间处于等级及以上的教师人数所占的百分比即可；

根据样本估计总体解答即可．

此题主要考查了众数、中位数的意义及求法，还考查了样本估计整体的统计思想，理解各个统计量的意义、能用样本估计整体的统计思想解决实际问题是解决此题的关键．

19.【答案】解：（1）如图1，过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，

∵EF∥MN，

∴GH⊥EF，

∴∠OHA=90°，

∵∠OAB=30°，OA=30cm，

∴OH=AO=15cm，

∵OA=OC，EF∥MN，

∴OG=OH=15cm，

∴GH=30cm，

即这款电脑桌当前的高度为30cm，

（2）如图2，

过O点作GH⊥MN，交EF于G，交MN于H，

则GH⊥EF，

由题意知，GH=40cm，

∴GO=HO=20cm，

在Rt△AOH中，sin∠OAH=，

∴∠OAH=42.1°，

即∠OAB=42.1°，

在（1）中，AH=（cm），

在图2中，cos42.1°=，

∴AH=30×0.74≈22.2（cm），

∴A点滑动距离为25.95-22.2=3.75≈3.8（cm）．;

【解析】

过点作，交于，交于，利用平行线的性质解答即可；

过点作，交于，交于，利用直角三角形的三角函数解答即可．

此题主要考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】（1）证明：连接AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABC，

∴∠DAE=∠ABC，

∴△AED≌△BAC（SAS），

∴∠DEA=∠CAB，

∵∠CAB=90°，

∴∠DEA=90°，

∴DE⊥AE，

∵AE是⊙A的半径，

∴DE与⊙A相切；

（2）解：∵∠ABC=60°，AB=AE=6，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=BE，∠EAB=60°，

∵∠CAB=90°，

∴∠CAE=90°-∠EAB=90°-60°=30°，∠ACB=90°-∠B=90°-60°=30°，

∴∠CAE=∠ACB，

∴AE=CE，

∴CE=BE，

∴S△ABC=AB•AC=×=18，

∴S△ACE=S△ABC==9，

∵∠CAE=30°，AE=6，

∴S扇形AEF==3π，

∴S阴影=S△ACE-S扇形AEF=9-3π．;

【解析】

连接，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，于是得到结论；

根据已知条件得到是等边三角形，求得，，得到，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

此题主要考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解答该题的关键．

21.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，

∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，

∴∠DCE=∠DCF=135°，

在△DCE与△DCF中，

，

∴△DCE≌△DCF（SAS），

∴DE=DF．

（2）解：∵∠DCF=∠DCE=135°，

∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，

∵∠CDF+∠CDE=45°，

∴∠F=∠CDE，

∴△CDF∽△CED，

∴，

即CD2=CE•CF，

∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，

∴CD=AB，

∴AB2=4CE•CF．;

【解析】

根据等腰直角三角形的性质得到，，于是得到，根据全等三角形的性质即可得结论；

证得∽，根据相似三角形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质得到

此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解答该题的关键．

22.【答案】解：当时，，

当时，．

当时，将代入函数表达式，得，

解得或舍弃，

此时抛物线的对称轴，

根据抛物线的对称性可知，当时，或，

的取值范围为．

点与点不重合，

，

抛物线的顶点的坐标是，

抛物线的顶点在直线上，

当时，，

点的坐标为，

抛物线从图的位置向左平移到图的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，

当点与重合时，，

解得或，

当点与点重合时，如图，顶点也与，重合，点到达最高点，

点，

，解得，

当抛物线从图的位置继续向左平移时，如图点不在线段上，

点在线段上时，的取值范围是：或．

;

【解析】

利用待定系数法求解即可．

求出时，的值即可判断．

由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解答该题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．

23.【答案】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．

证明：如图，∵△ABC≌△DEF，

∴AB=DE，∠BAC=∠EDF，

∴AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形；

【发现】如图1，连接BE交AD于点O，

∵四边形ABDE为矩形，

∴OA=OD=OB=OE，

设AF=x（cm），则OA=OE=（x+4），

∴OF=OA-AF=2-x，

在Rt△OFE中，∵OF2+EF2=OE2，

∴，

解得：x=，

∴AF=cm．

【探究】BD=2OF，

证明：如图2，延长OF交AE于点H，

∵四边形ABDE为矩形，

∴∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，OA=OB=OE=OD，

∴∠OBD=∠ODB，∠OAE=∠OEA，

∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB=360°，

∴∠ABD+∠BAE=180°，

∴AE∥BD，

∴∠OHE=∠ODB，

∵EF平分∠OEH，

∴∠OEF=∠HEF，

∵∠EFO=∠EFH=90°，EF=EF，

∴△EFO≌△EFH（ASA），

∴EO=EH，FO=FH，

∴∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB，

∴△EOH≌△OBD（AAS），

∴BD=OH=2OF．;

【解析】

【思考】

由全等三角形的性质得出，，则，可得出结论；

【发现】

连接交于点，设，则，得出，由勾股定理可得，解方程求出，则可求出；

【探究】

如图，延长交于点，证明≌，得出，，则，可证得≌，得出，则结论得证．

本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答该题的关键．