2022年中考数学解答题专题13——反比例综合练习（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份）

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专题13 反比例综合练习（基础）

1．如图1，直线l交x轴于点D，与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于两点A、E、AG⊥x轴，垂足为点G，S△AOG＝3
（1）k＝　6　；
（2）求证：AD＝CE；
（3）如图2，若当E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积．

【分析】（1）设A（m，n），由题意 12•OG•AG＝3，推出mn＝6，由点A在y=kx上，推出k＝mn＝6．
（2）如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y＝k′x+b，A（x1，y1），E（x2，y2）．首先证明EM＝﹣k′AN，EM＝﹣k′MC，推出AN＝CM，再证明△DAN≌△ECM，即可解决问题．
（3）如图2中，连接GD，GE．由EA＝EC，AD＝EC，推出AD＝AE＝EC，推出S△ADG＝S△AGE＝S△GEC＝3，求出△AOC的面积即可解决问题．
【解答】（1）解：设A（m，n），
∵12•OG•AG＝3，
∴12•m•n＝3，
∴mn＝6，
∵点A在y=kx上，
∴k＝mn＝6．
故答案为6．

（2）证明：如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y＝k′x+b，A（x1，y1），E（x2，y2）．

则有y1＝k′x1+b，y2＝k′x2+b，
∴y2﹣y1＝k′（x2﹣x1），
∴6x2−6x1=k′（x2﹣x1），
∴﹣k′x1x2＝6，
∴﹣k′x1=6x2，
∴y2＝﹣k′x1，
∴EM＝﹣k′AN，
∵D（0，b），C（−bk'，0），
∴tan∠DCO=ODOC=−k′=EMMC，
∴EM＝﹣k′MC，
∴AN＝CM，
∵AN∥CM，
∴∠DAN＝∠ECM，
在△DAN和△ECM中，
∠DAN=∠ECMAN=CM∠DNA=∠EMC=90°，
∴△DAN≌△ECM，
∴AD＝EC．

（3）解：如图2中，连接GD，GE．

∵EA＝EC，AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∴S△ADG＝S△AGE＝S△GEC＝3，
∵S△AOG＝S△ADG＝3，
∴S△AOC＝3+3+3＝9，
∴平行四边形ABCD的面积＝2•S△AOC＝18．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，本题的突破点是证明AN＝CM，题目比较难，属于中考压轴题．
2．如图，直线a经过点A（0，1）且垂直于y轴，直线b经过点B（2，0）且垂直于x轴，反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内的图象与直线a，b分别交于点E、D．
（1）用k表示：点E的坐标是　（k，1）　，点D的坐标是　（2，k2）　．
（2）用k表示：OE2，OD2和DE2．
（3）按下列条件求k的值：
①以O，D，E为顶点不能构成三角形；
②以O，D，E为顶点能构成直角三角形．

【分析】（1）根据点D，E的特点确定出坐标；
（2）根据两点间的距离公式直接得出结论；
（3）①判断出只有双曲线过点C时，点O，D，E不能构成三角形，②分两种情况，利用勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线a经过点A（0，1）且垂直于y轴，
∴直线a的解析式为y＝1，
∵点E既在直线a上，又在反比例函数y=kx的图象上，
∴E（k，1），
∵直线b经过点B（2，0）且垂直于x轴，
∴直线b的解析式为x＝2，
∵点D既在直线b上，又在反比例函数y=kx的图象上，
∴D（2，k2），
故答案为：（k，1），（2，k2），
（2）由（1）知，E（k，1），D（2，k2），
∴OD2＝22+（k2）2=14k2+4，OE2＝k2+12＝k2+1，DE2＝（k﹣2）2+（1−k2）2=54k2﹣5k+5
（3）①∵以O，D，E为顶点不能构成三角形；
∴点D，E重合．
∴反比例函数y=kx的图形过点C（即：点C，D，E重合），
∵C既在直线a上，也在直线b上，
∴C（2，1），
∴k＝2
②由（2）知，OD2＝22+（k2）2=14k2+4，OE2＝k2+12＝k2+1，DE2＝（k﹣2）2+（1−k2）2=54k2﹣5k+5，
∵点D，E是第一象限的点，
∴∠DOE≠90°，
∴以O，D，E为顶点能构成直角三角形的只有两种情况，
Ⅰ、当∠OED＝90°时，
∴OE2+DE2＝OD2，
∴k2+1+54k2﹣5k+5=14k2+4．
∴2k2﹣5k+2＝0，
∴k＝2（舍）或k=12；
Ⅱ、当∠ODE＝90°时，
∴OD2+DE2＝OE2，
∴14k2+4+54k2﹣5k+5＝k2+1，
∴12k2﹣5k+8＝0，
∴k2﹣10k+16＝0，
∴k＝2（舍）或k＝8；
即：满足条件的k的值为12或8．
【点评】此题反比例函数综合题，主要考查了点的坐标特征，平面坐标系中两点间的距离公式，直角三角形的判定，勾股定理逆定理，和构成三角形的条件，解本题的关键是用平面坐标系中两点间的距离公式，是一道比较简单的中考题目．
3．如图所示，已知函数y=kx的图象与直线OA交于点A（1，3），函数图象上一点B，x正半轴上的任意一点C，OB平分∠AOC．
（1）直接写出k的值和∠AOC的度数；
（2）求点B的坐标；
（3）若点P是直线OB上一动点，当点P运动到何处时，△ABP与△AOB相似，说明理由，并求出此时OP的长．

【分析】（1）如图1中，把点A（1，3）代入y=kx，即可求出k，作AE⊥OC于E，根据tan∠AOE=AEOE=3，可以求出∠AOC的值．
（2）如图2中，作BF⊥OC于F．因为OB平分∠AOC，所以∠BOF＝30°，设BF＝a，则OF=3a，可得B（3a，a），代入y=3x中，求出a即可解决问题．
（3）如图3中，当∠PAB＝∠AOB＝30°时，△APB∽△AOB，由△APB∽△OAB，得ABOB=PBAB，推出PB=(6−2)22=4﹣23，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作AE⊥OC于E．

∵A（1，3），点A在y=kx上，
∴k=3，OE＝1，AE=3，
∴tan∠AOC=AEOE=3，
∴∠AOC＝60°．

（2）如图2 中，作BF⊥OC于F．

∵OB平分∠AOC，
∴∠BOF＝30°，设BF＝a，则OF=3a，
∴B（3a，a），代入y=3x中，得a＝1或﹣1（舍弃），
∴点B坐标（3，1）．

（3）如图3中，当∠PAB＝∠AOB＝30°时，△APB∽△AOB．

∵OA＝OB＝2，∠AOB＝30°，AB=(3−1)2+(3−1)2=6−2，
∴∠OAB＝∠OBA＝75°，
∴∠ABO＝∠ABP，∵∠BAP＝∠BOA，
∴△APB∽△OAB，
∴ABOB=PBAB，
∴PB=(6−2)22=4﹣23，
∴OP＝2﹣（4﹣23）＝23−2．
∴当点P运动到OP＝23−2时，△APB∽△AOB．
【点评】本题考查反比例函数综合题、角平分线的性质、30度的直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、两点间距离公式，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
4．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kx（x＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜kx的解集．
（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？

【分析】（1）由条件可求得F点坐标为（3，1），代入函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式，再令y＝2代入可求得x的值，可求得E点坐标；
（2）由（1）的条件中E、F的坐标，结合函数图象可求得答案；
（3）可用k分别表示出点E、F的坐标，从而可表示出△AEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：
（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，
∴AB＝2，BC＝3，
∵F为AB的中点，
∴点F坐标为（3，1），
∵点F在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式为y=3x，
∵点E在BC上，
∴E点纵坐标为2，
在y=3x中，令y＝2，可求x=32，
∴E点坐标为（32，2）；
（2）不等式ax+b＜kx的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，
由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为32、3，
∴不等式ax+b＜kx的解集为：0＜x＜32或x＞3；
（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴可设E（k2，2），F（3，k3），
∴AF=k3，CE=k2，
∴BE＝BC﹣CE＝3−k2，
∴S△AEF=12AF•BE=12•k3•（3−k2）=−112k2+k2=−112（k﹣3）2+34，
∵−112＜0，
∴S△AEF是关于k的开口向下的抛物线，
∴当k＝3时，S△AEF有最大值，最大值为34，
即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为34．
【点评】本题为反比例函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、函数与不等式、反比例函数图象上的点的坐标特征、二次函数的最值及数形结合思想等知识点．在（1）中求得F、E点的坐标是解题的关键，在（2）中注意数形结合，在（3）中用k表示出△AEF的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中．
5．如图1，点A，B是双曲线y=kx（k＞0）第一象限的一支上任意两点，它们的横坐标分别为a，b，直线AB交y轴于点P，交x轴于点Q．过点A作y轴的垂线，垂足为C，过点B作x轴的垂线，垂足为点D．直线AC．BD相交于点E．
（1）求证：△EAB∽△ECD；
（2）求证：PA＝BQ；
（3）如图2，点A，B分别是双曲线y=kx（k＜0）两支上任意一点，直线AB交y轴于点P，交x轴于点Q，直接写出图中相等的线段（不必证明）．

【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而得出AE，CE，BE，DE，用两边对应成比例，夹角相等得出结论；
（2）先确定出直线PQ解析式，进而得出P，Q的坐标，用两点间的距离公式求解即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A，B是双曲线y=kx（k＞0）第一象限的一支上任意两点，它们的横坐标分别为a，b，
∴A（a，ka），B（b，kb），
∴AC＝a，CE＝b，BD=kb，DE=ka，
∴AE＝CE﹣AC＝b﹣a．BE＝DE﹣BD=ka−kb=kab(b−a)，
∴AECE=b−ab，BEDE=kab(b−a)ka，
∴AECE=BEDE，
∵∠AEB＝∠CED＝90°，
∴△EAB∽△ECD，
（2）设直线PQ解析式为y＝k'x+b'，
∵A（a，ka），B（b，kb），在直线PQ上，
∴ak'+b'=kabk'+b'=kb，
∴k'=−kabb'=kab(a+b)
∴直线PQ解析式为y=−kabx+kab(a+b)，
∴P（0，kab(a+b)，Q（a+b，0），
∵A（a，ka），B（b，kb），
∴AP2＝a2+[kab(a+b)−ka]2＝a2+（kb）2，
BQ2＝（a+b﹣b）2+（0−kb）2＝a2+（kb）2，
∴PA＝BQ，
（3）AP＝BQ，BP＝AQ，
理由：AP＝BQ，BP＝AQ，
设A（a，ka），B（b，kb），
∴直线AB解析式为y=−kabx+kab(a+b)，
∴P（0，kab(a+b)，Q（a+b，0），
∵A（a，ka），B（b，kb），
∴AP2＝a2+[kab(a+b)−ka]2＝a2+（kb）2，
BQ2＝（a+b﹣b）2+（0−kb）2＝a2+（kb）2，
∴AP2＝BQ2，
∴AP＝BQ，
∴BP＝AQ．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定，坐标系中，两点间的距离公式，解本题的关键是判断PA＝BQ，也是解本题的难点，是一道中等难度的中考常考题．
6．在平面直角坐标系中，已知点P是反比例函数y=kx图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）当⊙P运动到与x轴也相切于K点时，如图1，判断四边形OAPK的形状，并说明理由．
（2）当⊙P运动到与x轴相交于B、C两点时，已知B、C两点的坐标分别为B（1，0）、C（3，0），且四边形ABCP为菱形，如图2，求反比例函数的解析式．

【分析】（1）先利用切线的性质得出四边形OAPK是矩形，再判断出PA＝PK即可得出结论；
（2）先求出BC＝2，再用菱形的性质得出AP＝PC＝BC＝2，另为用圆的性质得出PB＝PC，用勾股定理求出PD即可得出点P坐标，最后代入即可．
【解答】解：（1）四边形OAPK是正方形，
理由：∵P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
∴∠OAP＝90°，
∵⊙P运动到与x轴也相切于K点，
∴∠OKP＝90°，
∵∠AOK＝90°，
∴∠OAP＝∠AOK＝∠OKP＝90°，
∴四边形OAPK是矩形，
∵⊙P和x，y轴都相切，
∴AP＝KP，
∴矩形OAPK是正方形．
（2）如图，

∵B（1，0）、C（3，0），
∴BC＝2，
∵四边形ABCP为菱形，
∴AP＝PC＝BC＝2，
连接BP，
∴BP＝PC＝BC＝2，
∴△PBC是等边三角形，
过点P作PD⊥BC，
∴BD＝CD=12BC＝1，
在Rt△BPD中，BP＝2，PD=3，
∴P（2，3），
∵点P是反比例函数y=kx图象上，
∴k＝2×3=23，
∴反比例函数的解析式为y=23x．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了切线的性质，菱形，矩形，正方形的判定，勾股定理，等边三角形的性质．待定系数法，掌握特殊四边形的性质和判定以及等边三角形的性质是解本题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，射线OA交反比例函数y=1x（x＞0）图象于点P，点R为反比例函数y=1x（x＞0）图象上的另一点，且PR＝2OP，分别过点P、R作x轴、y轴的平行线，两线相交于点M（a，b），直线MR交x轴于点B，过点P作y轴的平行线分别交直线OM和x轴于点Q、H，连接RQ．
（1）求出点P、R的坐标和直线OM 的解析式（用含a、b 的式子表示）；
（2）试探究∠MOB和∠AOB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如果将反比例函数y=1x（x＞0）改为y=kx（k＞0，x＞0）时，上述（2）中的结论是否成立　是　（填“是”或“否”）．

【分析】（1）直接利用坐标的特点和反比例函数的解析式即可得出结论；
（2）先判断出PR，MQ是矩形的对角线，进而得出∠PSO＝2∠MOB，再由PR＝2OP即可得出PS＝OP，即：∠PSO＝∠POS，最后代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法．
【解答】解：（1）∵MB⊥x轴，M（a，b），
∴B（a，0），R的横坐标为a，
∵PM⊥y轴，
∴P的纵坐标为b，
∵点P，R在反比例函数y=1x（x＞0）图象上，
∴P（1b，b），Q（a，1a），
∵M（a，b），
∴直线OM解析式为y=bax，
（2）∠AOB＝3∠MOB，
理由：由题意知，四边形PQRM是矩形，PR，MQ是矩形对角线，
∴PS＝RS＝QS，
∴∠MQR＝∠PRQ，
∴∠PSO＝2∠MQR，
∵QR∥OB，
∴∠MQR＝∠MOB，
∴∠PSO＝2∠MOB，
∵PR＝2OP，
∴PO＝PS，
∴∠PSO＝∠POS，
∴∠POS＝2∠MOB，
∴∠AOB＝∠POS+∠MOB＝2∠MOB+∠MOB＝3∠MOB，
即：∠AOB＝3∠MOB，
（3）是成立，
理由：由题意知，四边形PQRM是矩形，PR，MQ是矩形对角线，
∴PS＝RS＝QS，
∴∠MQR＝∠PRQ，
∴∠PSO＝2∠MQR，
∵QR∥OB，
∴∠MQR＝∠MOB，
∴∠PSO＝2∠MOB，
∵PR＝2OP，
∴PO＝PS，
∴∠PSO＝∠POS，
∴∠POS＝2∠MOB，
∴∠AOB＝∠POS+∠MOB＝2∠MOB+∠MOB＝3∠MOB，
即：∠AOB＝3∠MOB．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数解析式，待定系数法，矩形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出，∠POS＝2∠MOB，是一道中等难度的中考常考题．
8．点P为反比例函数y=k1x上一点，向x，y轴上作垂线，交反比例函数y=k2x上于点A，B，交x轴于点D，交y轴于点C，则
（1）S△OAC＝S△OBD；
（2）A为PC中点时，S△OCA＝S△AOP＝S△POB＝S△BOD；
（3）A为PC中点时，B为PD中点；
（4）ACPC=1n时，BDPD=1n；
（5）S四边形AOBP＝|k1﹣k2|为定值．

【分析】（1）根据反比例函数的性质直接得出结论；
（2）利用三角形的面积公式以及等底同高的两三角形面积相等即可；
（3）同（2）的方法即可；
（4）利用同高的两三角形面积的比是底的比即可；
（5）利用图形的面积差即可，
【解答】解：（1）如图，

连接OP，
∵点A在反比例函数y=k2x上，
∴S△AOC=12|k2|
∵点B在反比例函数y=k2x上，
∴S△BOD=12|k2|，
∴S△AOC＝S△BOD，
（2）∵A为PC中点，
∴AC＝PA，
∵PC⊥y轴，
∴S△AOC=12AC×OC，S△AOP=12AP×OC，
∴S△AOC＝S△AOP，
由（1）知，S△AOC＝S△BOD，
∴S△AOC＝S△AOP＝S△BOD，
∵S△POC＝S△POD，
∴S△AOP＝S△POB，
∴S△OCA＝S△AOP＝S△POB＝S△BOD，
（3）由（2）知S△POB＝S△BOD
∵S△POB=12PB×OD，S△DOB=12DB×OD，
∴PD＝DB，
∴点B是PD中点；
（4）由（2）知，S△AOC=12AC×OC，S△AOP=12AP×OC，
∵ACPC=1n，
∴S△AOCS△AOP=1n，
∵S△BOD＝S△AOC，S△POD＝S△POC，
∴S△BOP＝S△AOP
∴S△BODS△BOP=1n，
∵S△POB=12PB×OD，S△DOB=12DB×OD，
∴BDPD=1n；
（5）点P在为反比例函数y=k1x上，且PC⊥y轴，PD⊥x轴，
∴S四边形OCPD＝k1，
∵反比例函数y=k2x上于点A，B，
∴S△AOC+S△BOD＝k2，
∴S四边形AOBP＝S四边形OCPD﹣（|S△AOC+S△BOD）＝|k1﹣k2|．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，同底等高的三角形的面积关系，同高的两三角形的面积比等于底的比，解本题的关键是利用反比例函数的性质．
9．在直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=kx（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F，过E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．
（1）若E是MC的中点，且四边形OECF的面积为2，求反比例函数解析式；
（2）若C（a，b），连接M、N，判断MN与EF的位置关系，并证明你的结论；
（3）若BEBF=1m（m为大于1的常数），记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，求S1S2的值．（用含m的代数式表示）

【分析】（1）设出点E的坐标，由此可得出点C、F的坐标，再利用分割图形法表示出四边形OECF的面积，由此即可得出k的值，此题得解；
（2）由点C的坐标找出点M、N、E、F的坐标，由此即可得出CM、CN、CE、CF的长度，结合CECF=ab=CMCN即可得出EF∥MN；
（3）过点F作FG⊥y轴于点G，根据平行线的性质找出ME：MC的值，设出点C的坐标，表示出点E、F的坐标，结合三角形的面积公式找出S1、S2的值，二者相比即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点E在反比例函数y=kx（k为常数，且k＞0）的图象上，
∴设点E的坐标为（n，kn）（n＞0），则点C（2n，kn），点F（2n，k2n），
∴S四边形OECF＝S矩形ONCM﹣S△OME﹣S△ONF＝2n•kn−12k−12k＝k＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x．
（2）∵C（a，b），CM⊥y轴，CN⊥x轴，
∴M（0，b），N（a，0），E（kb，b），F（a，ka），
∴CM＝a，CN＝b，CE＝a−kb=ab−kb，CF＝b−ka=ab−ka，
∴CECF=ab=CMCN，
∴EF∥MN．
（3）过点F作FG⊥y轴于点G，如图所示．
∵CM⊥y轴，FG⊥y轴，
∴CM∥FG，MC＝FG，
∴MEMC=MEGF=BEBF=1m，
设点C的坐标为（a，b），则E（am，b），F（a，bm），
∴S1=12×（a−am）•（b−bm）=12(m−1)2m2a•b；
S2＝a•b−12•abm−12•abm−12(m−1)2m2a•b=12m2−1m2a•b．
∴S1S2=12(m−1)2m2ab12m2−1m2ab=m−1m+1．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的判定与性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）求出k值；（2）找出CECF=ab=CMCN；（3）用含m的值表示出S1、S2的值．本题属于中档题，难道不大，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出对应线段之间的关系是关键．
10．如图1，已知点A、C在反比例函数y=ax（a＞0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥CD∥x轴，AB、CD在x轴的两侧．
（1）若四边形ABCD为矩形，点A的坐标为（2，3），求a、b的值；
（2）如图2，已知AB＝2，CD＝3，AB与CD的距离为5，若点A的纵坐标为m．
①求m的值；
②若BC、AD分别与x轴相交于点P、Q，求线段PQ的长．

【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，根据四边形ABCD为矩形，设B（t，3），D（2，n），则C（t，n），由此即可得出关于n、t、b的三元一次方程组，解方程组即可得出b值；
（2）①由点A的纵坐标，以及AB、CD间的距离即可得出点A、B、C、D四点的坐标，再根据AB＝2、CD＝3即可得出关于（a﹣b）和m的二元一次方程组（将a﹣b当成整体），解方程组即可求出m值；②过点A作AF∥BC，交x轴于点E，交CD于点F，由AB∥CD∥x轴，AF∥BC，即可得出四边形ABCF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出AB＝PE＝CF，再由DF∥QE可得出△AEQ∽△AFD，根据相似三角形的性质结合AB、CD的值即可得出EQ的值，从而得出PQ的值．
【解答】解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数y=ax（a＞0）的图象上，
∴a＝2×3＝6．
∵四边形ABCD为矩形，
∴设B（t，3），D（2，n），则C（t，n），
∵点C在反比例函数y=6x的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，
∴nt=63t=2n=b，解得：b＝﹣6．
∴a的值为6，b的值为﹣6．
（2）①∵点A的纵坐标为m，AB与CD的距离为5，
∴A（am，m），B（bm，m），C（am−5，m﹣5），D（bm−5，m﹣5），
∵AB＝2，CD＝3，
∴a−bm=2b−am−5=3，解得：m＝3．
②过点A作AF∥BC，交x轴于点E，交CD于点F，如图所示．
∵AB∥CD∥x轴，AF∥BC，
∴四边形ABCF为平行四边形，
∴AB＝PE＝CF．
∵AB与CD的距离为5，点A的纵坐标为3，
∴点D的纵坐标为﹣2．
∵DF∥QE，
∴△AEQ∽△AFD，
∴EQFD=35，EQ=35FD．
∵AB＝2，CD＝3，
∴FD＝CD﹣AB＝1，EQ=35，
∴PQ＝PE+EQ＝AB+EQ=135．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组、平行四边形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征写出点B、C、D的坐标；（2）①得出关于（a﹣b）和m的二元一次方程组（将a﹣b当成整体）；②根据相似三角形的性质求出EQ的长．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由反比例函数图象上点的坐标特征表示出A、B、C、D各点的坐标是关键．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）写出点A，B的坐标为：A（　﹣2　，　0　），B（　2　，　2　）
（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；
（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．

【分析】（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出B点坐标，进而得出答案；
（2）首先求出反比例函数解析式，进而得出D点坐标，再利用函数图象得出x的取值范围；
（3）利用平行四边形的性质，进而表示出MN的长，再解方程得出a的值，即可得出P点坐标．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣2，
故A（﹣2，0），C（0，1），
∵CO⊥x轴于点O，BE⊥x轴于点E，
∴CO∥BE，
∴△AOC∽△AEB，
∵AC＝BC，
∴AO＝OE＝2，
即B点横坐标为：2，
则y=12×2+1＝2，
故B（2，2）；
故答案为：（﹣2，0），（2，2）；

（2）∵B（2，2），
∴把B点代入y=kx（k≠0），
解得：xy＝4，
即y=4x，
将y=12x+1与y=4x联立可得：
x1＝2，x2＝﹣4，则y1＝2，y2＝﹣1，
故D点坐标为：（﹣4，﹣1），
如图1所示：当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围为：0＜x＜2或x＜﹣4；

（3）如图2，由题意可得：CO∥MN，只有CO＝MN时，O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
当P点在B点右侧或D点右侧时，设P（a，0），则N（a，4a），M（a，12a+1），
故MN=12a+1−4a=CO＝1，
解得：a＝±22，
当P点在B点左侧或D点左侧时，设P（a，0），则N（a，4a），M（a，12a+1），
故MN=4a−（12a+1）＝CO＝1，
解得：a＝﹣2+23或﹣2﹣23，
综上所述：P点坐标为：（22，0），（﹣22，0），（﹣2+23，0），（﹣2﹣23，0）．


【点评】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，正确表示MN的长是解题关键．
12．如图，直线y=12x+2分别交x轴、y轴于点A，C，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点D，过点D作DB⊥x轴于点B，若OB＝2．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）设点E在已知反比例函数的图象上，且点E在直线DB的右侧，作EF⊥x轴于点F，是否存在点E使得△BEF与△AOC相似？若存在．求点E的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）首先得出D点横坐标，进而代入一次函数解析式即可得出D点坐标，即可得出反比例函数解析式；
（2）分别利用当△EBF∽△ACO时，以及当△EBF∽△CAO时，表示出E点坐标，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵OB＝2，
∴D点横坐标为：2，
x＝2时，y=12×2+2＝3，
∴D（2，3），故xy＝6，
∴这个反比例函数的表达式为：y=6x；

（2）∵直线y=12x+2分别交x轴、y轴于点A，C，
∴y＝0时，0=12x+2，解得：x＝﹣4，当x＝0时，y＝2，
∴CO＝2，AO＝﹣4，
当△EBF∽△ACO时，EFBF=AOCO=2，
设BF＝m，则EF＝2m，E（2+m，2m），
代入y=6x得，m1＝﹣3（舍），m2＝1，E（3，2）．
当△EBF∽△CAO时，
同理得：BF＝2EF，设EF＝n，BF＝2n，得：E（2+2n，n），
代入y=6x得：n=−1±132（舍去负值），
则2+2n=13+1，
故E（13+1，−1+132），
综上所述：E点坐标为：（3，2），（13+1，−1+132）．

【点评】本题考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质等相关知识，利用分类讨论得出符合题意的E点坐标是解题关键．
13．如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，与双曲线y=kx（x＜0）交于点D，点C在x轴上，连接CB，tanC＝3，且AB＝3DB，线段OA、OC（OA＞OC）的长是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根．
（1）求点B的坐标；
（2）求双曲线y=kx的函数解析式；
（3）在第一象限内，是否存在一点P，使△BPO与△BCO相似（不包括全等）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）首先解方程，进而得出AO，CO的长，再利用锐角三角函数的定义得出BO的长，进而得出B点坐标；
（2）利用AO，BO的长进而得出BD的长以及∠OAB＝∠ABO＝∠DBE＝45°，进而得出D点坐标即可得出答案；
（3）利用相似三角形的判定方法分别利用①当△BOC∽△P1BO时，②当△BOC∽△BP2O时，③当△BOC∽△OP3B时，求出答案．
【解答】解：（1）∵线段OA、OC（OA＞OC）的长是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
故AO＝3，CO＝1，
∵tanC＝3，
∴BOCO=3，
则BO＝3，
故点B的坐标为：（0，3）；

（2）如图1，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵BO＝3，AO＝3，
∴AB＝32，∠OAB＝∠ABO＝∠DBE＝45°
∵AB＝3DB，
∴BD=2，
∴DE＝BE＝1，
∴D（﹣1，4），
故xy＝﹣4，
则双曲线y=kx的函数解析式为：y=−4x；

（3）如图2所示：过点B作BP2⊥OP1，过点P2作EF∥OB，
当△BOC∽△P1BO时，
则COBO=BOBP1，
故13=3BP1，
解得：BP1＝9，
故P1（9，3）；
当△BOC∽△BP2O时，
则COOP2=BCBO，
∵CO＝1，BO＝3，
∴BC=10，
故1OP2=103，
解得：OP2=31010，
可得△OAP2∽△BOC，
则FP2CO=FOBO=OP2BC=13，
解得：FO=910，P2F=310，
故P2（910，310），
当△BOC∽△OP3B时，
同理可得：P3（910，2710），．
综上所述：使△BPO与△BCO相似（不包括全等），点P的坐标为：P1（9，3），P2（910，310），P3（910，2710）．


【点评】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求反比例函数解析式等知识，利用分类讨论、数形结合得出符合题意的P点坐标是解题关键．
14．如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，点E的横坐标为m，A、E是函数y=kx（x＞0）的图象上的两个动点，且该函数图象经过点（1，3）．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标（用m表示）；
（3）矩形ABCD有可能是正方形吗？若可能，请求出m的值；若不可能，请说明理由．

【分析】（1）把（1，3）代入反比例函数解析式即可；
（2）BG＝CG，求出OB即可，A在反比例函数解析式上，求出AB，即A的纵坐标，代入求出A的横坐标，求出BG和CG，求出OC，即可求出答案；
（3当矩形ABCD有可能是正方形时，∠ABD＝45°，AD＝BC＝m，根据正方形的性质可得AB＝BD，进而可得方程6m=m，再求解即可．
【解答】解：（1）由函数y=kx图象过点（1，3）则可把点（1，3）坐标代入y=kx中，得k＝3；

（2）连接AC，则AC过E，过E做EG⊥BC交BC于G点，
∵点E的横坐标为m，E在双曲线y=3x上，
∴E的纵坐标是y=3m，
∵E为BD中点，
∴由平行四边形性质得出E为AC中点，
∴BG＝GC=12BC，
∴AB＝2EG=6m，
即A点的纵坐标是6m，
代入双曲线y=3x得：A的横坐标是12m，
∴OB=12m，
即BG＝GC＝m−12m=12m，
∴CO=12m+m=32m，
∴点C（32m，0）．

（3）矩形ABCD有可能是正方形，
当矩形ABCD有可能是正方形时，AB＝AD，AD＝BC＝m，
∴6m=m，
即m2＝6，
∴m＝±6，
∵m＞0，
∴m=−6不合题意，舍去，
∴m=6．

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及矩形的性质，关键是掌握凡是函数经过的点必能满足解析式，矩形对角线互相平分且相等．
15．如图，正比例函数的图象与x轴正方向所成角为α，若它与反比例函数y=3x的图象分别交于第一、三象限的点B，D．
（1）若已知点A（﹣m，0），C（m，0），则不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是　平行四边形　；
（2）若已知点A（﹣m，0），C（m，0），当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，则p＝　3　，m＝　2　；
（3）若点B为（p，1）时，要使四边形ABCD是菱形，则A、C所在直线解析式为　y=−3x　．

【分析】（1）由正比例函数与反比例函数均关于原点对称，可得OB＝OD，又由OA＝OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
（2）由点B为（p，1），代入反比例函数y=3x，即可求得p的值；然后由当AC＝BD时，即OB＝OD＝OA＝OC时，▱ABCD是矩形，求得m的值；
（3）由点B为（p，1），可求得α的值，继而求得A、C所在直线与y轴的夹角，继而求得直线AC上点的坐标，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵正比例函数与反比例函数均关于原点对称，
∴点B与点D关于原点对称，
∴OB＝OD，
∵点A（﹣m，0），C（m，0），
∴OA＝OC，
∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形；

（2）∵点B为（p，1），
∴1=3p，
解得：p=3；
∴OB=12+(3)2=2，
∵当AC＝BD时，即OB＝OD＝OA＝OC时，▱ABCD是矩形，
∴m＝2；

（3）过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点B为（p，1），
∴点B的坐标为：（3，1），
∴tanα=13=33，
∴α＝30°，
∵当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，
设点F在直线AC上，过点F作FH⊥x轴于点H，
∴∠FOH＝60°，
设点F的坐标为：（1，−3），
设直线AC的解析式为：y＝kx，
则−3=k，
∴直线AC的解析式为：y=−3x．
故答案为：（1）平行四边形，（2）3，2，（3）y=−3x．

【点评】此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、点与函数图象的关系、平行四边形的判定与性质、矩形与菱形的判定．注意第三问中，求得直线AC上一点的坐标是关键．
16．如图，一次函数y＝x+3的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象相交于点A（1，m），与x轴相交于点B．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）C为反比例函数的图象上异于点A的一点，直线AC交x轴于点D，设直线AC所对应的函数表达式为y＝nx+b．
①若△ABD的面积为12，求n、b的值；
②作CE⊥x轴，垂足为E，记t＝OE•DE，求n•t的值．

【分析】（1）直接利用A点横坐标代入y＝x+3求出m的值，进而得出k的值；
（2）①直接利用△ABD的面积为12，得出BD的长进而得出D点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；
②根据一次函数与反比例函数的交点求法表示出E点坐标，得出EO，ED的长进而得出答案．
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，
∴m＝4，
∴A点坐标为：（1，4），
∴k＝4，
则反比例函数表达式为：y=4x；

（2）①∵△ABD的面积为12，A（1，4），
∴BD＝6，
把y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3，
∴B点坐标为：（﹣3，0），
∴D点的坐标为：（3，0），
把x＝1，y＝4；x＝3，y＝0，分别代入y＝nx+b，
n+b=43n+b=0
解得：n=−2b=6，


②把x＝1，y＝4代入得：n+b＝4，得b＝4﹣n，
令y＝0，得x=n−4n，
∴点D的坐标为：（n−4n，0），
当4x=nx+4﹣n时，
解得：x1＝1，x2=−4n，
∴点E的坐标为：（−4n，0），
∴OE=−4n，
∴DE=n−4n−（−4n）＝1，
∵t＝OE•DE=−4n，
∴n•t＝﹣4．

【点评】此题主要考查了反比例函数综合以及一次函数与反比例函数的交点求法等知识，正确表示出EO，DE的长是解题关键．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx（x＜0）的图象经过点A（﹣4，n），AB⊥x轴于B，点C与点A关于原点O对称，CD⊥x轴于D，△ABD的面积为8．
（1）求m、n的值．
（2）若直线y＝kx+b（k≠0）经过点C，且与x轴、y轴分别交于点E、F．当CF＝2CE时，求点F的坐标．
（3）将线段OA绕着点P（1，s）旋转180°，O、A的对应点分别是O1、A1．若O1、A1在同一双曲线上，则s＝　−32　．

【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程求出n，再利用待定系数法求出m的值即可；
（2）分两种情形分别求解①如图1中，当k＜0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E1，F1．②如图2，当k＞0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E2，F2；
（3）直接根据题意表示出O1、A1坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：（1）∵A、C关于原点对称，
∴C（4，﹣n），
∵S△ABD=12×8×（﹣n）＝8，n＝﹣2，
∴A（﹣4，﹣2），
∴m＝8；

（2）由（1）得点C的坐标为C（4，2）．
①如图1中，当k＜0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E1，F1．
由 CD⊥x轴于点D可得CD∥OF1．

∴△E1CD∽△E1F1O．
∴DCOF1=E1CE1F1，
∵CF1＝2CE1，
∴DCOF1=13，
∴OF1＝3DC＝6，
∴点F1的坐标为F1（0，6）．

②如图2，当k＞0时，设直线y＝kx+b与x轴，y轴的交点分别为点E2，F2．

同理可得CD∥OF2，DCOF2=E2CE2F2，
∵CF2＝2CE2，
∴E2为线段CF2的中点，E2C＝E2F2，
∴OF2＝DC＝2．
∴点F2的坐标为（0，﹣2）．
综上所述，点F的坐标为（0，6）或（0，﹣2）；

（3）∵将线段OA绕着点P（1，s）旋转180°，O、A的对应点分别是O1、A1．
∴O1（2，2s）、A1（6，2s+2），
∵O1、A1在同一双曲线上，
∴2×2s＝6（2s+2），
解得：s=−32．
故答案为：−32．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
18．如图，直线y＝x与双曲线y=kx（x＞0）在第一象限交于点A（1，m），点B在OA的延长线上，且OB=2OA．
（1）请直接写出：k＝　1　，m＝　1　；
（2）过点B作x轴的平行线交双曲线于点C，求OABC的值；
（3）若直线y＝﹣x+b（b＞0）与双曲线交于点P．
①求证：b≥2；
②求PB﹣b的值．

【分析】（1）直接利用两函数相交（1，m），进而得出m的值，即可得出k的值；
（2）分别求出OA，BC的值，进而得出答案；
（3）①直接利用根的判别式得出b的取值范围；
②利用勾股定理表示出PB的长，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y=kx（x＞0）在第一象限交于点A（1，m），
∴m＝1，k＝1，
故答案为：1，1；

（2）∵OB=2OA=2×2=2，
∴B（2，2），C（22，2），
∴BC=22，
∴OABC=222=2；

（3）①联立y=−x+by=1x，即：x2﹣bx+1＝0，
∴b2﹣4≥0（b＞0），
∴b≥2；

②设P（m，n），
∴PB﹣b=(m−2)2+(n−2)2−b
=(m−2)2+(−m+b−2)2−b
=2m2−2mb+4−22b+b2−b
=−2+4−22b+b2−b
=2−22b+b2−b
=(b−2)2−b
＝b−2−b
=−2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用，正确利用勾股定理表示出PB的长是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（6，0），cos∠AOC=23，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过菱形顶点A，且交BC边于点D．
（1）求反比例函数的解析式，并直接写出顶点B的坐标；
（2）猜想点D是否为BC的中点，并说明理由．

【分析】（1）作AE⊥OC于点E，在直角△OAE中利用三角函数以及勾股定理求得OE和AE的长，即可求得A的坐标，利用待定系数即可求得反比例函数解析式，求得B的坐标；
（2）求得BC的中点坐标，代入反比例函数解析式即可判断．
【解答】解：（1）作AE⊥OC于点E．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝OC＝6，
又∵cos∠AOC=OEOA=23，
∴OE=23OA=23×6＝4，
在直角△OAE中，AE=OA2−OE2=62−42=25，
则A的坐标是（4，25），代入y=kx，得：k＝85．
则反比例函数的解析式是：y=85x．
B的坐标是（10，25）；
（2）BC的中点的坐标是（8，5）．
把x＝8，y=5代入y=85x成立，
则BC的中点在反比例函数的图象上，即D是BC的中点．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角函数、菱形的性质，求得A的坐标是关键．
20．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（﹣2，3），双曲线y=kx（k＜0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接D，E．
（1）求k的值及点E的坐标．
（2）若点F是OC边上一点，且∠BDE＝∠CFB，求直线FB的解析式．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得k的值，得到解析式，然后代入点E的横坐标，即可求得E点的坐标；
（2）先求得△FBC∽△DEB，得出CF的长，进而得出OF的坐标，然后应用待定系数法即可求得直线FB的解析式；
【解答】解：（1）∵点B的坐标是（﹣2，3），
∴中点D的坐标是（﹣1，3），
∵y=kx（k＜0）经过点D，
∴3=k−1，解得k＝﹣3，
∵点E在AB 上，
∴点E的横坐标是﹣2，
∵y=−3x经过点E，
∴点E的纵坐标是32，
∴点E的坐标是（﹣2，32）；

（2）由（1）得，BD＝1，BE=32，BC＝2，
∵∠BDE＝∠CFB，∠DBE＝∠FCB＝90°，
∴△FBC∽△DEB，
∴BDCF=BECB，即1CF=322，
∴CF=43，
∴OF=53，即点F的坐标是（0，53），
设直线FB的解析式为：y＝k1x+b，
则3=−2k1+b53=b解得k1=−23b=53，
∴直线FB的解析式为：y=−23x+53．

【点评】本题考查了待定系数法求解析式的方法的应用，三角形相似的判定及性质等．