2022年中考数学解答题专题14——二次函数图像与几何变换（Word版，基础 培优，教师版 学生版，共4份）

专题14 二次函数图像与几何变换（基础）

1．已知函数y（x+2）2﹣2

（1）指出函数图象的开口方向是　向下　，对称轴是　直线x＝﹣2　，顶点坐标为　（﹣2，﹣2）　．

（2）当x　＞﹣2　时，y随x的增大而小；

（3）怎样移动抛物线yx2就可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．

【分析】（1）、（2）根据二次函数的性质求解；

（3）根据平移的平移规律求解．

【解答】解：（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）；

（2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小；

（3）把抛物线yx2就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．

故答案为向下，直线x＝﹣2，（﹣2，﹣2）；＞2；

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．

2．已知二次函数的图象如图所示．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为　﹣4≤y≤0　；

（3）将该二次函数图象向上平移　3　个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．

【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可；

（2）计算自变量为﹣2、1对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围；

（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．设平移后抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，然后把（﹣2，0）代入求出k即可．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4，

把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，

所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4；

（2）当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）2﹣4＝﹣3；

当x＝1时，y＝0；

所以当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0；

（3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．

则抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，

把（﹣2，0）代入得（﹣2+1）2﹣4+k＝0，解得k＝3，

即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．

故答案为﹣4≤y≤0；3．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．

3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）

∴将A与B两点坐标代入得：，

解得：，

∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x．

（2）设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B（4，4），

得：4＝4k1，解得：k1＝1

∴直线OB的解析式为y＝x，

∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x﹣m，

∵点D在抛物线y＝x2﹣3x上，

∴可设D（x，x2﹣3x），

又∵点D在直线y＝x﹣m上，

∴x2﹣3x＝x﹣m，即x2﹣4x+m＝0，

∵抛物线与直线只有一个公共点，

∴△＝16﹣4m＝0，

解得：m＝4，

此时x1＝x2＝2，y＝x2﹣3x＝﹣2，

∴D点的坐标为（2，﹣2）．

【点评】考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与直线的交点．

4．如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．

（1）求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴；

（2）把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式．

【分析】（1）把A点和B点坐标代入yx2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解关于b、c的方程组即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式得到对称轴；

（2）利用顶点为（0，﹣6）写出抛物线解析式．

【解答】解：（1）把A（2，0），B（0，﹣6）代入yx2+bx+c得，解得，

所以抛物线解析式为yx2+4x﹣6，

∵y（x﹣4）2+2，

∴抛物线的对称轴为直线x＝4，

（2）yx2﹣6．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

5．在平面直角坐标系中，抛物线M过A（﹣1，4），B（5，10），O（0，0）三点．

（1）求该抛物线和直线AB的解析式；

（2）平移抛物线M，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式；

①平移后抛物线的顶点在直线AB上；

②设平移后抛物线与y轴交于点N，如果S△ABN＝4S△ABO．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线M和直线AB的解析式；

（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标为（0，5），设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+5），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+5，接着表示出N（0，t2+t+5），利用三角形面积公式得到•|t2+t+5﹣5|•（5+1）＝45×（5+1），然后解绝对值方程求出得到平移后的抛物线解析式．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，

把A（﹣1，4），B（5，10），O（0，0）代入得，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x；

设直线AB的解析式为y＝mx+n，

把A（﹣1，4），B（5，10）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y＝x+5；

（2）当x＝0时，y＝x+5＝5，则直线AB与y轴的交点坐标为（0，5），

设平移后抛物线的顶点坐标为（t，t+5），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣t）2+t+5，

当x＝0时，y＝（0﹣t）2+t+5＝t2+t+5，则N（0，t2+t+5），

∵S△ABN＝4S△ABO，

∴•|t2+t+5﹣5|•（5+1）＝45×（5+1），

即|t2+t|＝20，

方程t2+t＝﹣20没有实数解，

解方程t2+t＝20得t1＝﹣5，t2＝4，

∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+5）2或y＝（x﹣4）2+9．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．

6．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图所示的二次函数的图象．在抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．

【分析】（1）根据向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得答案；

（2）根据三角形的面积公式，可得M点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．

【解答】解：（1）抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，抛物线y＝（x+1）2﹣4；

（2）S△ABMAB•yM4•|yM|＝20，

解得|yM|＝10，yM＝10或yM＝﹣10，

当yM＝10时，（x+1）2﹣4＝10，解得x＝﹣1±，x1＝﹣1，x2＝﹣1，即M1（﹣1，10），M2（﹣1，10）；

当yM＝﹣10时，（x+1）2﹣4＝﹣10，方程无解，

综上所述：M1（﹣1，10），M2（﹣1，10）．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用图象的平移规律：向右平移减，向上平移加，向下平移减．

7．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y（x+1）2+3．

（1）试确定a、h、k的值；

（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数y（x+1）2+3的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值；

（2）根据二次函数的性质求解．

【解答】解：（1）二次函数y（x+1）2+3的图象的顶点坐标为（﹣1，3），把点（﹣1，3）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣1），

所以原二次函数的解析式为y（x﹣1）2﹣1，

所以a，h＝1，k＝﹣1；

（2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y（x﹣1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣1）．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．

8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y（x+1）2+3，试确定a，h，k的值．

【分析】利用逆向思维的方法求解：把二次函数y（x+1）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值．

【解答】解：二次函数y（x+1）2+3的图象的顶点坐标为（﹣1，3），把点（﹣1，3）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2，﹣1），

所以原二次函数的解析式为y（x﹣2）2﹣1，

所以a，h＝2，k＝﹣1．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．

9．把抛物线y＝ax2+c的图象向下平移3个单位后得到抛物线y＝﹣2x2﹣1．

（1）求平移前的抛物线的解析式；

（2）求函数y＝ax2+c的最大值或最小值，并指出相应的x的值；

（3）指出当x为何值时，（1）中函数值y随x的增大而减小？

【分析】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式；

（2）根据a＜0、0，利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．

【解答】解：（1）∵把抛物线y＝ax2+c的图象向下平移3个单位后得到抛物线y＝﹣2x2﹣1，

∴a＝﹣2，c﹣3＝﹣1，

∴c＝2，

∴平移前的抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2．

（2）∵a＝﹣2＜0，0，

∴当x＝0时，函数y＝﹣2x2+2取最大值，最大值为2．

（3）∵原抛物线的对称轴为直线x＝0，且a＝﹣2＜0，

∴当x≥0时，函数y＝﹣2x2+2的y值随x的增大而减小．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的最值以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据平移的性质“上加下减”求出a、c的值；（2）根据二次函数的性质解决最值问题；（3）根据二次函数的性质找出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．

10．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于C（0，﹣3）．

（1）求二次函数解析式；

（2）将抛物线C1向上平移3个单位，得到图象C2，将C2在x轴下方的部分沿x轴翻折，将得到的图象记为C3，若直线l：y＝2x+t与C3恰有两个交点，试求t的取值范围．

【分析】（1）已知函数经过A（﹣2，0），B（6，0），可设抛物线解析式的交点式，即y＝a（x+2）（x﹣6），再把C（0，﹣3）代入，可求a，从而确定抛物线解析式；

（2）求出两个边界点，继而可得出t的取值范围．

【解答】解：（1）根据已知A（﹣2，0），B（6，0）两点坐标，

可设函数的解析式y＝a（x+2）（x﹣6），

把点C（0，﹣3）坐标代入，得：

﹣3＝a×2×（﹣6），

解得a，

∴函数解析式是y（x+2）（x﹣6），

即yx2﹣x﹣3；

（2）由C1：yx2﹣x﹣3（x﹣2）2﹣4得到图象C2的解析式为y（x﹣2）2﹣1，图象C3的解析式为y（x﹣2）2+1，

令（x﹣2）2+1＝0，

解之得：x1＝0，x2＝4，

故P，Q两点的坐标分别为P（0，0），Q（4，0）．

如图，当直线y＝2x+t，

经过P点时，可得t＝0，

当直线y＝2x+t经过Q点时，

可得t＝﹣8，

∴t的取值范围为﹣8＜t＜0，

翻折后的二次函数解析式为二次函数y（x﹣2）2+1

当直线y＝2x+t与二次函数y（x﹣2）2+1的图象只有一个交点时，

2x+t（x﹣2）2+1，

整理得：x2+4x+4t＝0，

△＝b2﹣4ac＝16﹣4×（4t）＝﹣16t+16＝0，

解得：t＝1，

∴t的取值范围为：＞1，

由图可知，符合题意的n的取值范围为：t＞1或﹣8＜t＜0．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是求出直线y＝2x+t经过点P、Q时t的值．同时考查了数形结合的思想．

11．如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．

（1）求b，c的值；

（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．

【分析】（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；

（2）求得抛物线的顶点坐标，结合正方形的边长即可求得结论．

【解答】（1）∵正方形OABC的边长为2，

∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），

∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，

∴，

解得；

（2）由（1）可知抛物线为y＝﹣x2+2x+2，

∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，

∴顶点为（1，3），

∵正方形边长为2，

∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），m的取值范围是1＜m＜3．

【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，二次函数图象与几何变换，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单．

12．已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象为抛物线C．

（Ⅰ）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（Ⅱ）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；

（Ⅲ）将抛物线C先向左平移1个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1，向上平移2个单位长度，得到抛物线C2．请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．

【分析】（Ⅰ）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（Ⅱ）根据二次函数的性质可得出答案；

（Ⅲ）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．

【解答】解：（Ⅰ）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．

（Ⅱ）∵y＝（x﹣2）2﹣1，

∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，

当x＝﹣2时，y＝15；

当x＝3时，y＝0；

∴当﹣2≤x≤3时，二次函数的函数值y的取值范围为﹣1≤y≤15．

（Ⅲ）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2﹣1向左平移1个单位长度得到抛物线C1，

∴C1：y＝（x﹣1）2﹣1，

∵将抛物线C1向上平移2个单位长度得到抛物线C2．

∴C2：y＝（x﹣1）2+1．

【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点P（m，n）关于直线l的对称点为M，将拋物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），从而求得OA＝PN＝4，OA∥PN，即可证得四边形OAPN是平行四边形，根据四边形OAPN的面积为20，从而求出其m，n的值．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3），

∴，

解得：a＝﹣1，b＝﹣4，c＝0，

故此二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x；

（2）如图所示：

由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），

∴PN∥OA，PN＝|m﹣（m+4）＝4，

∵OA＝4，

∴PN＝OA，

∴四边形OAPN是平行四边形，

∵四边形OAPN的面积＝（OA+NP）÷2×|n|＝20，

即4|n|＝20，

∴|n|＝5．

∴n＝±5，

所以﹣m2﹣4m＝±5，

当﹣m2﹣4m＝5，即m2+4m+5＝0时，

∵△＝16﹣20＜0，不存在，

当﹣m2﹣4m＝﹣5时，

解得m＝﹣5或m＝1．

∴P（﹣5，﹣5）或（1，﹣5）．

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出M、N的坐标是解题的关键．

14．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），顶点为D．

（1）求抛物线L1的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）将抛物线L1平移后的得到抛物线L2，点A的对应点为A′，点D的对应点为D′，且点A′、D′都在L2上，若四边形AA′D′D为正方形，则抛物线L1应该如何平移？请写出解答过程．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后把求得的解析式化成顶点式，即可求得顶点D的坐标；

（2）根据题意作出正方形，作DM⊥x轴于M，D′N⊥DM于N，由△ADM≌△DD′N（AAS），得出DN＝AM＝2，D′N＝DM＝4，求出D′的坐标，进一步得平移的规律．

【解答】解：（1）∵抛物线L1：y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（﹣1，0），

∴，

解得，

∴抛物线L1的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标是（1，4）；

（2）作DM⊥x轴于M，D′N⊥DM于N，如图，

∵A（3，0），D（1，4），

∴AM＝2，DM＝4，

在正方形AA′D′D中，AD＝DD′，∠ADD′＝90°，

∴∠ADM+∠D′DN＝90°，

在Rt△ADM中，∠ADM+∠DAM＝90°，

∴∠DAM＝∠D′DN，

∵∠AMD＝∠D′ND＝90°，

∴△ADM≌△DD′N（AAS），

∴DN＝AM＝2，D′N＝DM＝4，

∴MN＝DM﹣DN＝4﹣2＝2，

∴点D′的坐标是（﹣3，2），

∴点D到D′是先向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到的，

∴抛物线L1先向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2；

同理，当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2也符合题意，

综上，当抛物线L1先向右移动4个单位，再向下移动2个单位得到抛物线L2或当抛物线L1向左平移4个单位，再向上平移2个单位时得到抛物线L2其对应点构成的四边形AA′D′D为正方形．

【点评】本题综全考查了用待定系数法求抛物线，全等三角形的判定和性质及平移的规律，此类题关键在于掌握每个知识的特征结合图象来求解．

15．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式．

（2）抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先将点A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；

（2）根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，利用点C中AB的平行线，得到平行线的解析式，解析式联立，解方程组即可求得P的坐标．

【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m＝0，

解得m＝﹣1．

所以二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；

当x＝0时，y＝4﹣1＝3，

所以C点坐标为（0，3），

由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝2，

所以B点坐标为（4，3），

将A（1，0）、B（4，3）代入y＝kx+b得，

解得．

所以一次函数解析式为y＝x﹣1；

（2）存在，理由如下：

∵S△ABP＝S△ABC，

∴C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，

过C点作AB的平行线CD，

∴直线CD的解析式为y＝x+3或y＝x﹣5，

解得或，

∴P点坐标为（0，3）或（5，8）．

由x﹣5＝（x﹣2）2﹣1整理得，x2﹣5x+8＝0，

∵△＝25﹣4×8＜0，

∴不存在，

故P点坐标为（0，3）或（5，8）．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．

16．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点P．

（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；

（2）若点P关于坐标系原点O的对称点仍然在抛物线上，求此时m的值；

（3）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．

（2）由矩形求得顶点P的坐标，进而求得对称点的坐标，代入解析式即可求得m的值；

（3）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．

【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，

∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；

（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，

∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），

∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），

∵对称点仍然在抛物线上，

∴m+3＝m+2m﹣3，

解得m＝3；

（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3

∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3

∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）

∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3

∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2

即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2

∵m＞0，m＝x﹣1

∴x﹣1＞0

∴x＞1

∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．

【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．运用二次函数性质是解题的关键．

17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于x轴上的点A，y轴上的点B．顶点为P．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）现将抛物线向左平移m个单位，当抛物线与△PBA有且只有一个公共点时，求m的值．

【分析】（1）由直线解析式求得交点坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）由图象可知，当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A、B的坐标，即可求得m的值．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交于x轴上的点A，y轴上的点B，

∴A（3，0），B（0，3），

把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，

解得，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴P（1，4），

将抛物线向左平移m个单位，P对应点为（1﹣m，4），

∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2+4，

把B（0，3）代入得，3═﹣（﹣1+m）2+4，

解得m1＝2，m2＝0（舍去），

把A（3，0）代入得0＝﹣（2+m）2+4，

解得m3＝﹣4，m4＝0（舍去）

故m的值为2或﹣4．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，明确当抛物线只经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点是解题的关键．

18．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与y轴相交于点A，其对称轴与抛物线相交于点B，与x轴相交于点C．

（1）求AB的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P．若新抛物线经过原点O，且∠POA＝∠ABC，求新抛物线对应的函数表达式．

【分析】（1）求得A、B点的坐标，然后根据勾股定理即可求得；

（2）根据平移的规律即可求得新抛物线对应的函数表达式．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，

∴A（0，﹣1），

∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）﹣2，

∴B（1，﹣2），

∴AB；

（2）∵A（0，﹣1），

∴抛物线向上平移1个单位经过原点，此时四边形ABPO是平行四边形，

∴∠POA＝∠ABC，

此时新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x，

抛物线y＝x2﹣2x，关于y轴对称的抛物线为：y＝x2+2x，图象经过原点，且∠POA＝∠ABC，

∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x或y＝x2+2x．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线yx﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；

（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；

（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；

（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；

（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入yx﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．

【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），

得0＝4+2b，解得 b＝﹣2，

∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．

（2）∵直线与x轴交于点B，

∴点B的坐标是（4，0）．

①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，

此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．

②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，

此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．

（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．

∵DP∥x轴，

∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，

∴P（2，n）．

∵点P在直线BC上，

∴．

∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．

∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．

∴MC∥OB，

∴∠MCP＝∠OBC．

在Rt△OBC中，，

由题意得：OC＝2，，

∴．

即∠MCP的正弦值是．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，解直角三角形等，正确求得平移后的解析式是解题的关键．

20．在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2﹣2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．

（1）求新抛物线C2的表达式；

（2）如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A（0，5）的对应点A′落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B′的距离．

【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”解答；

（2）把y＝5代入抛物线C2求得相应的x的值，即可求得点A′的坐标，根据平移的性质，线段AA′的长度即为所求．

【解答】解：（1）由抛物线C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2的表达式是：y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3，即y＝（x+1）2﹣4；

（2）由平移的性质知，点A与点A′的纵坐标相等，

所以将y＝5代入抛物线C2，得（x+1）2﹣4＝5，则x＝﹣4或x＝2（舍去）

所以AA′＝4，

根据平移的性质知：BB′＝AA′＝4，即点B与其对应点B′的距离为4个单位．

【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．