2022年江苏省宿迁市泗洪县中考数学二模试卷（含解析）

2022年江苏省宿迁市泗洪县中考数学二模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 方程的解是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，数轴上点表示的数可能是

A.  B.  C.  D.

5. 正方形网格中，如图放置，则的值为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是       

A.
B.
C.
D.

7. 不透明的袋子中装有个红球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出个球，如果是红球，不放回再随机摸出个球；如果是白球，放回并摇匀，再摸出个球．则两次摸出的球都是白球的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 有一列数，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前面那个数的倒数的差，若，则为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9. 不等式组的解集是______．
10. 地球与太阳的平均距离大约为，用科学记数法表示______．
11. 某一时刻，身高为的小丽影长是，此时，小玲在同一地点测得旗杆的影长为，则该旗杆的高度为______
12. 已知，则的值是______．
13. 若一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的极差是______，方差是______．
14. 已知：是的反比例函数，当时，，当时，的取值范围是______．
15. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是和，那么矩形内阴影部分的面积是______结果保留根号
     

16. 关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是______．
17. 已知关于的一元二次方程的根为，则关于的一元二次不等式的解集为______．
18. 已知，动点在矩形的边上，过点作的垂线，交于点，，，在点从点出发沿方向运动到点的过程中，求的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）

20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，是的中线．
    画图：延长到，使，连接、；
    四边形是平行四边形吗？证明你的结论．

22. 如图，转盘的黑色扇形和白色扇形的圆心角分别是和，让转盘自由转动次，求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．指针指在黑白交界处时，重新转动转盘一次
    
     

23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的横坐标是．
    求的值；
    求的面积．

24. 如图甲，已知：在中，，，，求；
    
    如图乙，已知：在中，，，，求．
    
    
    
    
    
    
     
25. 列方程组解应用题
    我市某景点的门票价如表：

某校八年级两个班共人去游览该景点，其中班人数较少，不到人，班人数较多，有多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱．两班各有学生多少人？联合起来购票能省多少钱？






 

26. 由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
    请依据上面定义和事实，完成下列问题：
    已知，如图甲，中，点、分别在、上，且问：与相似吗？试证明．
    
    你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形______．
    依据中的结论完成下列问题：
    已知，如图乙，在和中，，．
    问：与相似吗？试证明．
    你得到的结论是：______的两个三角形相似．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．
    线段与线段相等吗？为什么？
    当直线与半圆相切时，求的长；
    当点从点运动到点时，求线段扫过的面积．

28. 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接、点为抛物线上的一个动点与点、、不重合，设点的横坐标为，的面积为．
    求此二次函数的表达式；
    当点在第一象限内时，求关于的函数表达式；
    若点在轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点的坐标，若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数为．
故选：．
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故不对；
B、，故不对；
C、和不是同类二次根式，因而不能合并；
D、符合二次根式的除法法则，正确．
故选：．
利用同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法法则计算．
本题考查了实数的基本计算，包括同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法和二次根式的除法．其中，同底数幂的除法法则是底数不变，指数相减；幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；二次根式相加减的前提条件是它们必须是同类二次根式；二次根式的除法法则是：被除式的算术平方根除以除式的算术平方根等于商的算术平方根．运用以上计算法则进行计算，本题只有选项正确．
 

3.【答案】
 

【解析】解：去分母得：，
移项合并得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想．
先对四个选项中的无理数进行估算，再由点所在的位置确定点的取值范围，即可求出点表示的可能数值．
【解答】
解：，，
设点表示的实数为，由数轴可知，，
符合题意的数为．
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】解：如图，作，则，，由勾股定理得，．
．
故选：．
作，则求的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．
本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．
 

6.【答案】
 

【解析】解：过点作于，连接．

与轴相切于点，与轴交于，两点，
，，
，
，

，
，．
，．
即点的坐标是．
故选D．
根据已知条件，纵坐标易求；再根据切割线定理即求可得横坐标．
本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度中等的综合题，关键是根据垂径定理确定点的纵坐标，利用切割线定理确定横坐标．
 

7.【答案】
 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有种，
两次摸出的球都是白球的概率是；
解法二：
由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
两次摸出的球都是白球的概率为；
解法三：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为，
所求概率为；
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，

每个数循环一次，
，
，
故选：．
分别求出，，，，可得规律每个数循环一次，则．
本题考查数字的变化规律，理解题意，探索出数字的循环规律是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
由得，，
由得，，
故此不等式的解集为：．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：  ，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据题意画出图形，易得∽，
设该旗杆的高度为，根据相似三角形的性质可得到，
即，解得米．
旗杆的高度为．
根据题意图形，可得∽，然后根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故填：．
由已知，则，代入所求式子中即得到．
本题考查了代数式求值，根据已知求得代数的部分值，代入到所求代数式求值．
 

13.【答案】 
 

【解析】解：这一组数据，，，，的平均数是，

，
极差

故答案为：；．
先根据平均数的定义求出的值，再根据“极差最大值最小值、方差”计算极差与方差．
本题考查了极差与方差的计算方法，关键是要记住公式并理解公式中各个量的含义
 

14.【答案】
 

【解析】解：设与之间的函数关系式为：，且时，，
，
与之间的函数关系式为：，
当时，，
当时，，
反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；
，
故答案为：．
利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后将，代入解析式，求出对应的的值，根据反比例函数的性质可求的取值范围．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征的应用．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．
根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为、，所以矩形的面积是为，即可求得矩形内阴影部分的面积．
【解答】
解：矩形内阴影部分的面积是
．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：设方程的两根为、，
则有：，
，
．
故答案为：．
设方程的两根为、，由根与系数的关系可得出，结合即可求出值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之积是关键．
 

17.【答案】或
 

【解析】解：关于的一元二次方程的根为，，
不等式可化为．
解得或，
关于的一元二次不等式的解集为或．
故答案是：或．
把不等式化为，求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，该题利用了“十字相乘法”对所求不等式进行转化．
 

18.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
又，
∽，
，
，
，
有最大值为，
，
当有最小值时，有最小值，
即当取最大值时，有最小值，
，
故答案为：．
通过证明∽，可得，由二次函数的性质可得有最大值为，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．
 

【解析】先化简二次根式、计算，再代入的值算乘法，最后加减．
本题考查了实数混合运算，掌握二次根式的性质、零次幂的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式．
 

【解析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可化简题目中的式子，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

21.【答案】解：
如图所示；
四边形是平行四边形，
理由：是的中线，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】根据题目要求作图即可；
根据作图及题目条件，利用平行四边形的判定方法可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

22.【答案】解：记黑色区域为、白色区域为，将区域平分成两部分，
画树状图得：

共有种等可能的结果，指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有种结果，
指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．
 

【解析】记黑色区域为、白色区域为，将区域平分成两部分，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：把代入得，，
点坐标为，
把点的坐标代入得，，
；

解得或，
点坐标为，
把代入，求得，
点坐标为，
．
 

【解析】利用一次函数的解析式求得点的坐标，然后利用待定系数法得出的值；
解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，然后求出一次函数与轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数解析式、三角形面积求法，正确得出，点坐标是解题关键．
 

24.【答案】解：如图甲，过点作于点．
在中，，，
，，
在中，，
，
；

如图乙，过点作于点，在上取点，使，
，
．
在中，，，
，
在中，，
，，
，
．
 

【解析】过点作于，在中，根据含度的直角三角形三边的关系得，，在中，根据等腰直角三角形的性质得，于是得到；
过点作于点，在上取点，使解，根据等腰直角三角形的性质得，解，根据含度的直角三角形三边的关系得，，那么，于是得到的长．
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
 

25.【答案】解：设八年级有人，八年级班有人，
根据题意得：，
解得：，
元．
答：八年级有人、八年级班有人，联合起来购票能省元钱．
 

【解析】设八年级有人，八年级班有人，根据两班人数总数结合总票价班购票总价班购票总价，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再利用节省钱数两班总人数，即可求出联合起来购票节省的钱数．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

26.【答案】相似  两边对应成比例，夹角相等
 

【解析】解：相似，证明如下：
过点作交于点，

则四边形是平行四边形，即，
，
，，，
又，
，
，
由相似三角形定义得：∽；
由可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，
故答案为：相似；
相似，理由如下：
在上取一点，使，过点作交于点，

，，，
，
≌，
又∽，
∽；
由题意知，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，
故答案为：两边对应成比例，夹角相等．
过点作交于点，则四边形是平行四边形，即，根据，得，，，同理，即可证明结论；
由可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；
在上取一点，使，过点作交于点，则，再利用证明≌，从而得出结论；
根据几何语言可得答案．
本题主要考查了相似三角形的定义，相似三角形判定的证明，三角形全等的判定与性质，作平行线构造相似三角形，掌握定理的推导与证明是解题的关键．
 

27.【答案】证明：如图，由对称性知，，，
，
记与的交点为，
由对称性知，是的中点，
；

证明：如图，连接，，
，，
则是等边三角形，
直线与半圆相切，
，
，
，
；

如图，在中，，，
，，
点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，
点关于直线的对称点是点，点关于直线的对称点是点，
当点在上运动时，点的运动痕迹是线段关于直线对称的线段，
点的运动痕迹是线段关于直线对称的线段，
所以，当点从点运动到点时，
线段扫过的面积是和，
所以，．
 

【解析】由对称性知，，，得出，再判断出是的中点，即可得出结论；
先判断出是等边三角形，再判断出，即可求出答案；
利用对称性判断出线段扫过的面积是和，即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质、、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度．
 

28.【答案】解：二次函数的图象与轴交于、两点，
，
解得：．
二次函数的表达式为．
过点作轴于点，如图，

则．
令，则，
．
．
，
．
设点的横坐标为，则．
点在第一象限内，
，．
，．


．
关于的函数表达式为：．
点在轴上方，的面积能等于的面积．
由题意：．
若的面积等于的面积，
当在第一象限时，即：．
，
点坐标为．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
当在第二象限时，过作直线交抛物线于点，
平行线之间的距离相等，
与为同底等高的三角形，此时．
因为直线的表达式为，
所以直线的解析式为．
，
解得：舍去，．
点坐标为：．
综上，点在轴上方，的面积能等于的面积，点的坐标为或．
 

【解析】利用待定系数法将，坐标代入解析式即可；
过点作轴于点，则；分别用的代数式表示出相应线段的长度，利用梯形，三角形的面积公式计算即可得出结论；
计算求得的面积，利用的结论即可求得点坐标；利用同底等高是三角形的面积相等，在第二象限，可求得点坐标，当在第二象限时，过作直线交抛物线于点，利用直线的解析式可得直线的解析式，将直线的解析式于抛物线的解析式联立即可求得点坐标．
本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，梯形，三角形的面积，平行线的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．