南京市2022届高三年级第二次（5月）模拟考试——数学（WORD版含答案）练习题

这是一份南京市2022届高三年级第二次（5月）模拟考试——数学（WORD版含答案）练习题，共16页。试卷主要包含了05，当n≥0时，N是一个n＋1位数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝
A．{－1，0}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝4－3i，则|z|＝
A．eq \s\d1(\f(5,2))B．eq \s\d1(\f(eq \r(5),2))C．eq \s\d1(\f(eq \r(10),2))D．eq \s\d1(\f(5eq \r(2),2))
3．为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为
A．9B．18C．24D．27
4．函数f(x)＝(x－eq \s\d1(\f(1,x)))csx的部分图象大致为
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y
x
O
ABCD
5．我们知道，对于一个正整数N可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)，此时lgN＝n＋lga
(0≤lga＜1)．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是 位数．
A．71B．70C．69D．68
6．在(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)．若f(0，1)＋f(1，0)＝8，则a的值为
A．0B．1C．2D．3
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜ eq \s\d1(\f(π,2))) 的图象与y轴的交点为M(0，1)，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为N(3，0)，y轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为B，C．若△OBC的面积为3 eq \r(,2) （其中O为坐标原点），则函数f (x)的最小正周期为
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\al(x2，x≥0，,－x2，x＜0．))若x≥1，f(x＋2m)＋mf(x)＞0，则实数m的取值范围是
A．(－1，＋∞)B．(－eq \s\d1(\f(1,4))，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－eq \s\d1(\f(1,2))，1)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设P＝a＋eq \s\d1(\f(2,a))，a∈R，则下列说法正确的是
A．P≥2eq \R(,2)
B．“a＞1”是“P≥2eq \R(,2)”的充分必要条件
C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D．∃a∈(3，＋∞)，使得P＜3
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是
A．若a≠0，则点O在圆C外
B．圆C与x轴相切
C．若圆C截y轴所得弦长为4eq \r(2)，则a＝1
D．点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2
11．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则
A．事件B与事件C互斥B．P(A)＝eq \s\d1(\f(3,4))
C．事件A与事件B独立D．记C的对立事件为eq \(￣,C)，则P(B|eq \(￣,C))＝eq \s\d1(\f(3,7))
12．在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，△ABC是底面圆的内接正三角形，AB＝AD＝eq \r(3)，则下列说法正确的是
A．BE∥平面PAC
B．PA⊥平面PBC
C．在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为eq \s\d1(\f(3,2))
D．记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当csθ∈(0，eq \s\d1(\f(eq \r(3),3)))时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量eq \(\s\up6(→),OP)与向量n＝(3，2)的数量积为 eq \(▲,________)．
14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列{an}的通项公式：an＝eq \(▲,________)．
（1）{an}是无穷等比数列；（2）数列{an}不单调；（3）数列{|an|}单调递减．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为eq \(▲,________)．
16．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值eq \s\d1(\f(1,9))的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Peq \s\d2(b)(n)＝lgeq \s\d2(b)eq \b\lc\(\rc\)(\s\d1(\f(n＋1,n)))，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性． 根据本福特定律，在某项大量经济数据(十进制)中，以6开头的数出现的概率为eq \(▲,________)；若eq \(\s\d7(n＝k),\s\up6(9),∑)P10(n)＝P10(1)，k∈N*，k≤9，则k的值为eq \(▲,________)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq \r(,3)asinC＝ccsA＋c．
（1）求A；
（2）若a＝eq \R(,7)b，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \s\d1(\f(4,3))eq \(AB,\s\up6(→))，求sin∠ADC．
18．(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2．
从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．
①a3＝3a1；②{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列；③an＋2－an＝2．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．(本小题满分12分)
如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3eq \r(3)，∠ABC＝30º，AE⊥BC，垂足为E．以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90º(如图2)．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）若点F在线段PC上，且二面角F－AD－C的大小为30º，求三棱锥F－ACD的体积．
E
P
C
F
A
D
B
C
E
A
D
(第19题图1)
(第19题图2)
20．(本小题满分12分)
空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：
下列频数分布表是某场馆记录了一个月（30天）的情况：
（1）利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）
（2）如果把频率视为概率，且每天空气质量指数相互独立，求未来一周（7天）中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；（参考数据：0.7 EQ \s\up4(7)≈0.0824，结果精确到0.01）
（3）为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统．已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：
已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元．该场馆每年年初先在促销期购买n（n≥8，且n∈N*）个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充．问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总费用最合理，请说明理由．（不考虑往年剩余滤芯和下一年需求）
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，g(x)＝xex－eq \s\d1(\f(f(x),x))，e为自然对数的底数．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）记函数g(x)在(0，＋∞)上的最小值为m，证明：e＜m＜3．
22．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线，两切线的交点P在直线y＝x－5上．
（1）若点A的坐标为(1，eq \s\d1(\f(1,4)))，求AP的长；
（2）若AB＝2AP，求点P的坐标．
南京市2022届高三年级第二次（5月）模拟考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A2．D3．B4．C5．B6．C7．D8．B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．BC10．ABD11．BCD12．BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．－1 14．(－eq \s\d1(\f(1,2)))n，答案不唯一，只要等比数列的公比满足－1＜q＜0
15．eq \r(5) 16．lgeq \s\d1(\f(7,6))；5
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤．
17．(本小题满分10分)
解：（1）在△ABC中，eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)．
由eq \r(,3)asinC＝ccsA＋c，得eq \r(,3)sinAsinC＝sinCcsA＋sinC．2分
因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，
所以eq \r(,3)sinA＝csA＋1，即sin(A－eq \s\d1(\f(π,6)))＝eq \s\d1(\f(1,2))．
因为A∈(0，π)，所以A－eq \s\d1(\f(π,6))∈(－eq \s\d1(\f(π,6))，eq \s\d1(\f(5π,6)))，所以A－eq \s\d1(\f(π,6))＝eq \s\d1(\f(π,6))，
所以A＝eq \s\d1(\f(π,3))．4分
C
A
B
D
（2）在△ABC中，(eq \r(,7)b)2＝c2＋b2－2bccseq \s\d1(\f(π,3))，即c2－bc－6b2＝0，
解得c＝3b或c＝－2b（舍去）．6分
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \s\d1(\f(4,3))eq \(AB,\s\up6(→))，所以AD＝4b，BD＝b．
在△ACD中，CD2＝b2＋(4b)2－2b×4bcseq \s\d1(\f(π,3))＝13b2，
得CD＝eq \r(,13)b．8分
因为eq \s\d1(\f(b,sin∠ADC))＝eq \s\d1(\f(\r(,13)b,sin\f(π,3)))，所以sin∠ADC＝eq \s\d1(\f(sin\f(π,3),\r(,13)))＝eq \s\d1(\f(\f(\r(,3),2),\r(,13)))＝eq \s\d1(\f(\r(,39),26))．10分
18．(本小题满分12分)
解：条件选①②
方法1
因为{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列，所以2×eq \s\d1(\f(S2,2))＝S1＋eq \s\d1(\f(S3,3))，2分
即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3．
又因为a2＝2，所以a1＋a3＝4．4分
又因为a3＝3a1，解得a1＝1．6分
因为eq \s\d1(\f(S2,2))－S1＝eq \s\d1(\f(3,2))－1＝eq \s\d1(\f(1,2))，所以{eq \s\d1(\f(Sn,n))}是首项为1，公差为eq \s\d1(\f(1,2))的等差数列，
所以eq \s\d1(\f(Sn,n))＝1＋(n－1)×eq \s\d1(\f(1,2))＝eq \s\d1(\f(n＋1,2))，即Sn＝eq \s\d1(\f(n(n＋1),2))．8分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n．10分
又因为a1＝1满足an＝n，
所以an＝n，n∈N*．
所以an＋2－an＝n＋2－n＝2．
综上，①②③成立．12分
方法2
因为{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列，可设eq \s\d1(\f(Sn,n))＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，2分
所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b．
因为a3＝3a1，所以a＝b．(i)4分
又因为a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2．(ii)6分
由(i)(ii)，得a＝b＝eq \s\d1(\f(1,2))，所以Sn＝eq \s\d1(\f(1,2))n2＋eq \s\d1(\f(1,2))n．8分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n．10分
又因为a1＝1满足an＝n，
所以an＝n，n∈N*．
所以an＋2－an＝n＋2－n＝2．
所以①②③成立．12分
条件选①③
由an＋2－an＝2，得a3－a1＝2．
又因为a3＝3a1，所以a1＝1，a3＝3．4分
因为an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项是首项为1，公差为2的等差数列，偶数项是 首项为2，公差为2的等差数列．
因此，当n为奇数时，an＝1＋(eq \s\d1(\f(n＋1,2))－1)×2＝n；6分
当n为偶数时，an＝2＋(eq \s\d1(\f(n,2))－1)×2＝n；所以an＝n，n∈N*．8分
所以an＋1－an＝n＋1－n＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以Sn＝eq \s\d1(\f(n(n＋1),2))，从而eq \s\d1(\f(Sn,n))＝eq \s\d1(\f(n＋1,2))．10分
因为eq \s\d1(\f(Sn＋1,n＋1))－eq \s\d1(\f(Sn,n))＝eq \s\d1(\f(n＋2,2))－eq \s\d1(\f(n＋1,2))＝eq \s\d1(\f(1,2))，所以{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列．
所以①③②成立．12分
条件选②③
方法1
因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2．(i)2分
因为{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列，所以2×eq \s\d1(\f(S2,2))＝S1＋eq \s\d1(\f(S3,3))，4分
即3(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3，化简得2a2＝a1＋a3．8分
又因为a2＝2，所以a1＋a3＝4．(ii)10分
由(i)(ii)，得a1＝1，a3＝3，所以a3＝3a1．
所以②③①成立．12分
方法2
因为an＋2－an＝2，所以a3－a1＝2．(i)2分
因为{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列，设eq \s\d1(\f(Sn,n))＝an＋b，得Sn＝an2＋bn，4分
所以a1＝a＋b，a3＝S3－S2＝9a＋3b－(4a＋2b)＝5a＋b，
所以a3－a1＝4a．(ii)6分
由(i)(ii)，得a＝eq \s\d1(\f(1,2))．8分
又a2＝S2－S1＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＝2，所以b＝eq \s\d1(\f(1,2))．10分
所以a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，满足a3＝3a1．
所以②③①成立．12分
方法3
因为{eq \s\d1(\f(Sn,n))}为等差数列，所以设eq \s\d1(\f(Sn,n))＝an＋b，得Sn＝an2＋bn．2分
于是an＝eq \b\lc\{(\a\al\vs1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))＝eq \b\lc\{(\a\al\vs1(a＋b，n＝1，,2an－a＋b，n≥2))＝2an－a＋b．6分
因为an＋2－an＝2，所以4a＝2，得a＝eq \s\d1(\f(1,2))．8分
又a2＝3a＋b＝2，所以b＝eq \s\d1(\f(1,2))．10分
从而a1＝a＋b＝1，a3＝5a＋b＝3，所以a3＝3a1．
所以②③①成立．12分
19．(本小题满分12分)
解：（1）方法1
在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE．
因为平面PAE与平面AECD所成的角为90º，即平面PAE⊥平面AECD．2分
又因为平面PAE∩平面AECD＝AE，PE平面PAE，所以PE⊥平面AECD．
因为CD平面AECD，所以PE⊥CD．4分
方法2
在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，所以AE⊥PE，AE⊥CE，
所以∠PEC为平面PAE与平面AECD所成角的平面角．
因为平面PAE与平面AECD所成的角为90º，所以∠PEC＝90º，即PE⊥CE．2分
又PE⊥AE，AE∩CE＝E，AE平面AECD，CE平面AECD，所以PE⊥平面AECD．
因为CD平面AECD，所以PE⊥CD．4分
E
P
C
F
A
D
x
y
z
（2）方法1
由（1）得PE⊥平面AECD，AE⊥EC，
故以{eq \(EA,\s\up6(→))，eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(EP,\s\up6(→))}为正交基底，建立空间直角坐标系．
易得A(1，0，0)，C(0，2eq \r(,3)，0)，
D(1，3eq \r(,3)，0)，P(0，0，eq \r(,3))，
所以eq \(PC,\s\up6(→))＝(0，2eq \r(,3)，－eq \r(,3))，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，0，eq \r(,3))，
eq \(AD,\s\up6(→))＝(0，3eq \r(,3)，0)．5分
设eq \(PF,\s\up6(→))＝λeq \(PC,\s\up6(→))＝(0，2eq \r(,3)λ，－eq \r(,3)λ)，λ∈[0，1]，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PF,\s\up6(→))＝(－1，2eq \r(,3)λ，eq \r(,3)－eq \r(,3)λ)．6分
设平面FAD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\al\vs2(\(AD,\s\up6(→))·n＝0，,\(AF,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{(\a\al\vs2(y＝0，,－x＋2\r(,3)λy＋(\r(,3)－\r(,3)λ)z＝0，))取z＝1，得x＝eq \r(,3)－eq \r(,3)λ，
则平面FAD的一个法向量为n＝(eq \r(,3)－eq \r(,3)λ，0，1)．8分
又因为平面AECD的一个法向量为m＝(0，0，1)，
且二面角F－DA－C的大小为30º，
所以|cs＜m，n＞|＝|eq \s\d1(\f(m·n,|m|·|n|))|＝|eq \s\d1(\f(1,\r(,(\r(,3)－\r(,3)λ)2＋1)))|＝eq \s\d1(\f(\r(,3),2))，
整理得9λ2－18λ＋8＝0，即(3λ－2)(3λ－4)＝0，
解得λ＝eq \s\d1(\f(2,3))或λ＝eq \s\d1(\f(4,3))(舍去)，故eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \s\d1(\f(2,3))eq \(PC,\s\up6(→))．10分
因为S△ACD＝eq \s\d1(\f(1,2))×3eq \r(,3)×1＝eq \s\d1(\f(3\r(,3),2))，
所以VF－ACD＝eq \s\d1(\f(1,3))VP－ACD＝eq \s\d1(\f(1,3))S△ACD×eq \s\d1(\f(1,3))PE＝eq \s\d1(\f(1,2))．12分
方法2
在△PEC中，过F作FG∥EC，交PE于点G．E
P
C
F
A
D
G
因为EC∥AD，所以FG∥AD，因此A，D，F，G共面．
在平行四边形ABCD中，易知AD⊥AE．
由（1）得PE⊥平面AECD，
因为AD平面AECD，所以AD⊥PE．
又PE∩AE＝E，AE，PE平面PAE，所以AD⊥平面PAE．
因为AG平面PAE，所以AD⊥AG．
所以∠GAE为二面角F－AD－C的平面角，所以∠GAE＝30º．8分
在Rt△AEG中，∠AEG＝90º，∠GAE＝30º，AE＝1，所以EG＝eq \s\d1(\f(eq \r(3),3))．10分
因为FG∥AD，FG平面AECD，AD平面AECD，所以FG∥平面AECD．
因此VF－ACD＝VG－ACD＝eq \s\d1(\f(1,3))×(eq \s\d1(\f(1,2))×3eq \r(3)×1)×eq \s\d1(\f(eq \r(3),3))＝eq \s\d1(\f(1,2))．12分
20．(本小题满分12分)
解：（1）该场馆平均AQI的值为eq \s\d1(\f(1,30))×(25×3＋75×6＋125×15＋175×6)
＝eq \s\d1(\f(25,30))×(1×3＋3×6＋5×15＋7×6)＝115．2分
（2）该场馆每天空气质量等级达到“优或良”的概率为eq \s\d1(\f(3＋6,30))＝0.3．3分
设未来7天中空气质量等级达到“优或良”的天数为ξ，则ξ~B(7，0.3)．4分
于是P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)
＝1－(1－0.3)eq \s\up4(7)－Ceq \\al(\s\up(1),7)(1－0.3)eq \s\up4(6)×0.3
＝1－0.7eq \s\up4(7)－7×0.7eq \s\up4(6)×0.3＝1－4×0.7eq \s\up4(7)
≈0.67，
所以未来7天中至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率为0.67．6分
（3）设2套净化系统一年共需要更换的滤芯数量为Y，
则Y的可能取值为6，7，8，9，10．7分
因为2套净化系统相互独立，所以
P(Y＝9)＝0.3×0.5＋0.5×0.3＝0.3；
P(Y＝10)＝0.5×0.5＝0.25；9分
若促销期购买8个滤芯，
则一年更换滤芯所需费用的期望为8＋0.3×2＋0.25×4＝9.6(千元)；
若促销期购买9个滤芯，
则一年更换滤芯所需费用的期望为9＋0.25×2＝9.5(千元)；
若促销期购买不少于10个滤芯，
则一年更换滤芯所需的费用不低于10（千元），
因为10＞9.6＞9.5，
所以每年在促销期购买9个滤芯最合理．12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）由f(x)＝(x2－x＋1)ex－3，得f '(x)＝(x2＋x)ex．2分
令f '(x)＝0，得x＝－1或x＝0．
因为当x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)时，f '(x)＞0，
当x∈(－1，0)时，f '(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(－1，0)．4分
（2）g(x)＝xex－eq \s\d1(\f(f(x),x))＝(1－eq \s\d1(\f(1,x)))ex＋eq \s\d1(\f(3,x))，x＞0，
所以g(x)＝eq \s\d1(\f(1,x2))[(x2－x＋1)ex－3]＝eq \s\d1(\f(f(x),x2))．
由（1）得f(x)在(0，＋∞)上递增，
又因为f(1)＝e－3＜0，f(2)＝3e2－3＞0，且f(x)的图象不间断，
所以存在唯一x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，
即g(x0)＝0，即(x02－x0＋1)eeq \s\up2(x)\s\up1(0)－3＝0 (*)．6分
所以当x∈(0，x0)，f(x)＜0，即g(x)＜0，所以g(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)，f(x)＞0，即g(x)＞0，所以g(x)单调递增，
因此m＝g(x)min＝g(x0)＝eq \s\d1(\f((x0－1)eeq \s\up1(x)\s\up0(0)＋3,x0)) (**)．8分
由(*)式得eeq \s\up2(x)\s\up1(0)＝eq \s\d1(\f(3,x02－x0＋1))，代入(**)式得m＝eq \s\d1(\f((x0－1)eq \s\d1(\f(3,x02－x0＋1))＋3,x0))＝eq \s\d1(\f(3,x0＋\f(1,x0)－1))．
因为x0∈(1，2)，且函数y＝eq \s\d1(\f(3,x＋\f(1,x)－1))在(1，2)上递减，
所以m＝eq \s\d1(\f(3,x0＋\f(1,x0)－1))∈(2，3)．10分
方法1
由(*)式得(x0－1)eeq \s\up2(x)\s\up1(0)＝x02eeq \s\up2(x)\s\up1(0)－3，代入(**)式得m＝eq \s\d1(\f((x0－1)eeq \s\up2(x)\s\up1(0)＋3,x0))＝x0eeq \s\up2(x)\s\up1(0)．
因为x0∈(1，2)，且函数y＝xex在(1，2)上递增，所以m＝x0eeq \s\up2(x)\s\up1(0)＞e．12分
方法2
因为x(ex－1)≥0，所以xex≥x，所以(x－1)ex－1≥x－1，
所以(x－1)ex≥e(x－1)(当且仅当x＝1时取等号)．
所以g(x)＝(1－eq \s\d1(\f(1,x)))ex＋eq \s\d1(\f(3,x))≥eq \s\d1(\f(ex－e＋3,x))＞e，所以m＝g(x)min＞e．
综上，e＜m＜312分
22．(本小题满分12分)
解：（1）方法1
由y＝eq \s\d1(\f(1,4))x2，得y'＝eq \s\d1(\f(1,2))x，所以A处切线的斜率为eq \s\d1(\f(1,2))， 2分
所以切线PA的方程为y－eq \s\d1(\f(1,4))＝eq \s\d1(\f(1,2))(x－1)，即y＝eq \s\d1(\f(1,2))x－eq \s\d1(\f(1,4))．
联立方程组eq \b\lc\{(\a\al(y＝eq \s\d1(\f(1,2))x－eq \s\d1(\f(1,4))，,y＝x－5，))解得x＝eq \s\d1(\f(19,2))，y＝eq \s\d1(\f(9,2))，即P(eq \s\d1(\f(19,2))，eq \s\d1(\f(9,2)))．3分
所以AP＝eq \r(1＋eq \s\d1(\f(1,4)))|1－eq \s\d1(\f(19,2))|＝eq \s\d1(\f(17,4))eq \r(5)．4分
方法2
设切线PA的方程为y－eq \s\d1(\f(1,4))＝k(x－1)，即y＝kx－k＋eq \s\d1(\f(1,4))．
联立方程组eq \b\lc\{(\a\al(y＝kx－k＋eq \s\d1(\f(1,4))，,x2＝4y，))消元y，得x2－4kx＋(4k－1)＝0．
由△＝16k2－4(4k－1)＝0，解得k＝eq \s\d1(\f(1,2))，
所以切线PA的方程为y＝eq \s\d1(\f(1,2))x－eq \s\d1(\f(1,4))．2分
联立方程组eq \b\lc\{(\a\al(y＝eq \s\d1(\f(1,2))x－eq \s\d1(\f(1,4))，,y＝x－5，))解得x＝eq \s\d1(\f(19,2))，y＝eq \s\d1(\f(9,2))，即P(eq \s\d1(\f(19,2))，eq \s\d1(\f(9,2)))．3分
所以AP＝eq \r(1＋eq \s\d1(\f(1,4)))|1－eq \s\d1(\f(19,2))|＝eq \s\d1(\f(17,4))eq \r(5)．4分
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，t－5)，则y1＝eq \s\d1(\f(1,4))x12，y2＝eq \s\d1(\f(1,4))x22．
由y＝eq \s\d1(\f(1,4))x2，得y'＝eq \s\d1(\f(1,2))x，所以A处的切线方程为y－y1＝eq \s\d1(\f(1,2))x1(x－x1)．
将P(t，t－5)代入，得t－5－y1＝eq \s\d1(\f(1,2))x1(t－x1)，即x12－2tx1＋4(t－5)＝0． 6分
同理可得x22－2tx2＋4(t－5)＝0．
所以x1，x2是方程x2－2tx＋4(t－5)＝0的两个解，
故x1＋x2＝2t ①，x1x2＝4(t－5) ②，7分
所以直线AB的斜率k＝eq \s\d1(\f(y1－y2,x1－x2))＝eq \s\d1(\f(x1＋x2,4))＝eq \s\d1(\f(1,2))t，
由AB＝2AP，得eq \r(1＋eq \s\d1(\f(1,4))t2)|x1－x2|＝2eq \r(1＋eq \s\d1(\f(1,4))x12)|x1－t|，9分
由①得|x1－x2|＝2|x1－t|，所以eq \r(1＋eq \s\d1(\f(1,4))t2)＝eq \r(1＋eq \s\d1(\f(1,4))x12)，化简得x12＝t2．
因为x1≠t，所以x1＝－t ③．11分
由①②③，得3t2＋4t－20＝0，解得t1＝2，t2＝－eq \s\d1(\f(10,3))．
所以，点P的坐标为(2，－3)或(－eq \s\d1(\f(10,3))，－eq \s\d1(\f(25,3)))．12分
空气质量指数AQI
空气质量等级
[0，50]
优
(50，100]
良
(100，150]
轻度污染
(150，200]
中度污染
(200，300]
重度污染
(300，+∞）
严重污染
空气质量指数AQI
[0，50]
(50，100]
(100，150]
(150，200]
频数（单位：天）
3
6
15
6
更换滤芯数量（单位：个）
3
4
5
概率
0.2
0.3
0.5