北师大数学七下复习阶梯训练：三角形（优生集训）含解析

这是一份北师大数学七下复习阶梯训练：三角形（优生集训）含解析，共21页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
 三角形（优生集训）一、综合题1．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），连接CE,（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，不需写证明过程，直接写出BC、CE、CD之间存在的数量关系．2．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上， ， ， 如图2，连接CD，CD平分 ，将 绕点D按逆时针方向旋转，记 为 .  （1） 的度数为　     　 .  （2）如图3，在旋转过程中，当顶点C在 内部时，边DF，DE分别交BC，AC的延长线于点M，N.  ①求 的度数范围；② 与 度数的和是否变化？若不变，请求出 与 的度数和；若变化，请说明理由.3． （ ）的三条角平分线相交于点 ，延长 交 于点 ．作 ，交 延长线于点 ．  （1）若 ，则 　     　；  （2）判断 与 的数量关系，并说明理由；  （3）求证 ．  4．综合与探究：问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，AC＝BA，∠ACB＝90°，AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E．（1）（探究一）小虎通过度量发现∠BCE＝∠CAD，请你帮他说明理由；（2）（探究二）小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN＝BE，符合题意吗？请说明理由；（3）（探究三）小刚在（2）的基础上，连接DE，如图3所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由．5．如图1，△ABC为等边三角形，三角板的60°角顶点与点C重合，三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，线段AB上取点E，使∠DCE＝30°，连接AF、EF．（1）求证：△ACF≌△BCD；（2）写出线段DE与EF之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，若△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，三角板的90°角顶点与点C重合，三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB上取点E，使∠DCE＝45°，连接AF、EF．求∠EAF．6．如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．（1）判断DF与DC的数量关系为　     　，位置关系为　     　．（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．（3）若点D在线段AB外，点E是BC延长线上一点，且CE＝BD，连接AE，与DC的延长线交于点P，直接写出∠APC的度数．7．【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝　     　度，∠FOH＝　     　度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．（3）【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含a的代数式表示）8．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．(温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°)（1）如图1，若∠A=40°，求∠C的度数；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，说明：∠ABD=∠C；（3）如图3，在(2)问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF= 180° ，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数。9．直线 与直线 垂直相交于 ，点 在直线 上运动，点 在直线 上运动. （1）如图1，已知 ， 分别是 和 角的平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出 的大小.（2）如图2，已知 不平行 ， 、 分别是 和 的角平分线，又 、 分别是 和 的角平分线，点 、 在运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.（3）如图3，延长 至 ，已知 ， 的角平分线与 的角平分线及延长线相交于 、 ，在 中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出 的度数 　           　.10．某学习小组发现一个结论：已知直线a//b，若直线c//a，则c//b，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB//CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ．（1）如图1，作EH//AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE间的数量关系，并说明理由；   （2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=130º时，求出∠PFQ的度数；   （3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=80º时，直接写出∠PFQ的度数．   11．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”.（1）求证：∠A+∠C＝∠B+D；   （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N.①以线段AC为边的“8字型”有_▲_个，以点O为交点的“8字型”有_▲_个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝ ∠CAB，∠CDP＝ ∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由.12．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N、Q分别在AB、AC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠NCB.（1）若∠A＝60°①∠BDC的度数为 　     　.②求∠BEC的度数.　                                                                                                                                                                                                           　（2）如图，若在∠EBC内部作∠EBF，使 ，在∠ECQ内部作∠ECF，使 ，则∠BEC和∠BFC有什么样的数量关系？请简述理由.13．已知AB∥CD，CF平分∠ECD.（1）如图1，若∠DCF=25°，∠E=20°，求∠ABE的度数.（2）如图2，若∠EBF=2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数.14．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；（1）如图2，当∠α＝　     　时， ，当∠α＝　     　时，DE⊥BC；  （2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，①此时∠α的度数范围是  ▲  ；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围.15．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．（1）试说明：△ABC≌△ADE；   （2）试说明CA平分∠BCD；   （3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．   16．如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B.（1）求证：ED∥BC；   （2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6.
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积.17．数学问题：如图，在 中， 的 等分线分别交于点 根据 等分线等分角的情况解决下列问题：  （1）求 的度数.   （2）求 的度数.   （3）直接写出 的度数.   18．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高.（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数.19．如图①，已知AB//CD， AC//EF（1）若∠A=75°， ∠E=45°，求∠C和∠CDE的度数；   （2）探究：∠A、∠CDE与∠E之间有怎样的等量关系？并说明理由.   （3）若将图①变为图②，题设的条件不变，此时∠A、∠CDE 与∠E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论.   20．已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）.连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°.  （1）如图，当点 P 在 ABC 内时，  ①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝　                                                                                                                                                   　；②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论.（2）当点 P 在 ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形.   21．综合探究：如图，在 中， 分别是 边上的高，在 上截取 延长 至点 使 ，连接 ．（1）如图1中， 与 相等吗？为什么？   （2）如图2，若BD恰好平分 ，过点 作 交 的延长线于点 请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．  22．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4.设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α.（1）如图①，若 ＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由.   （2）如图②，若90°＜ ＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝ .探索 与 的数量关系，并说明理由.   （3）如图③，若 ＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ(90°＜γ＜180°)，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m(0°＜m＜90°).已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，且n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数.（可用含有m的代数式表示）   23．将锐角 放置在一块正方形卡纸 上，使点 在正方形的 和 边上．  （1）如图①，若 ，则 　     　度， 　     　度， 　     　度．   （2）如图②，改变正方形卡纸 的位置，请探究 与 之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论．   （3）如图③，正方形卡纸的顶点 在 外，且在 边的左侧，请探究 ， 三者之间存在怎样的数量关系，直接写出探究结果，不必验证．   24．如图（1）如图①,OP是 的平分线,请你在OP上取一点A,利用该图画一对以OP所在直线为对称轴的两个全等三角形(保留画图痕迹 );   （2）如图②,在 中, 是直角, 分别是 的平分线,AD、CE相交于点F,求 的度数,并判断FE与FD之间的数量关系,并说明道理;   （3）如图③,在 中,如果 不是直角,而 (1)中的其它条件不变,请问:你在（2）中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由．   25．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H.∠DCE的平分线交AE于G.（1）求证：AD∥BC；   （2）若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE.求∠CAE的度数；   （3）（2）中条件∠BAC＝∠DAE仍然成立，若∠AGC＝3∠CAE，直接写出∠CAE的度数　     　.   26．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；   （2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；   （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．  
答案解析部分【解析】【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，即可推出BC=BD+CD=CE+CD；（2）同（1）利用全等三角形的性质即可证明；
（3）同（1）利用全等三角形的性质即可证明。【解析】【解答】解：（1） ， ，   ， CD平分 ∴ ， .故答案为： .
 【分析】(1)先利用三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠ACD，最后根据三角形的内角和定理求∠CDA即可；
(2) ① 分两种情况讨论，即当点C在DE边上时和当点C在DF边上时， 首先根据三角形的内角和定理求出∠CDA，最后根据角的和差关系分别求 的度数，即可得出的范围；
② 连接MN，在△CMN中，由三角形内角和定理求出∠CNM+∠CMN=90°，然后在△MND中，先根据三角形内角和列等式，再由角的和差关系把有关角分解，即可解答.
【解析】【解答】解：（1）∵∴又 、 、 为 的角平分线， = ∴【分析】（1）利用三角形内角和求出，由角平分线的定义可求出 = ，利用三角形的内角和即可求出∠BDC的度数；
（2）.理由：由角平分线的定义可得 ， ， ，从而得出=90°，利用三角形外角的性质可得 ，即得 ．
（3）根据垂直的定义及三角形内角和可得，由三角形外角的性质可得 ，据此可求出∠AEF，将其代入中即可得出结论.【解析】【分析】（1）根据同校的余角相等证明即可；
（2） 符合题意，证明 ，可得结论；
（3） ．根据SAS证明即可。【解析】【分析】（1)由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠BCA＝60°，求出∠ACF＝∠BCD，证明△ACF≌△BCD；
（2）证出∠DCE＝∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE＝EF即可；（3）由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF＝∠B＝45°，AF＝DB，即可得出∠EAF的度数。【解析】【解答】解：（1）∵AF⊥AB，∴∠DAF=90°，在△ADF和△BCD中， ，∴△ADF≌△BCD（SAS），∴DF=CD，∠ADF=∠BCD，∵∠BCD+∠CDB=90°，∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°，∴CD⊥DF．故答案为：DF=CD，CD⊥DF；【分析】（1）利用SAS证明△ADF≌△BCD，再利用全等三角形的性质得出DF=CD，∠ADF=∠BCD，由∠BCD+∠CDB=90°，即可证得DF=CD且CD⊥DF；
（2）由已知证明△ADF≌△BCD，得出DF=CD，∠ADF=∠BCD，由∠BCD+∠CDB=90°，得出∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°，即可得出CD⊥DF；
（3）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF，CF，AC，证明AFCE为平行四边形，得出FC∥AE，得出∠APC=∠FCD，根据∠FCD=45°，即可得出∠APC的度数。【解析】【解答】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝30°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝30°；∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝25°，∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；故答案为30，125； 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OFH＝30°，∠FHO＝25°，利用平行线的性质可得∠EOF＝∠OFH＝30°，再利用三角形内角和求出∠FOH即可；
（2）由角平分线的定义可得 ∠OFH+∠OHF＝（∠AFH+∠CHF）＝×100°＝50°， 由平行线的性质可得∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF，从而求出∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°，  根据三角形内角和可得∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH ） ，继而得解；
（3）由角平分线的定义可得∠OFH＝ ∠AFH，∠OHI＝∠CHI，根据∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH＝  （∠CHI﹣∠AFH）＝  （180°﹣∠CHF﹣∠AFH）即可求解.【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ABC=90°，由此可求出∠ADB的度数；再利用两直线平行，同位角相等，可求出∠C的度数.
（2）过点B作BG∥ DM，∠DBG= 90°，由此可推出∠ABD+∠ABG = 90°；再利用垂直的定义可证得∠CBG+∠ABG=90°，利用余角的性质可得到∠ABD=∠CBG，然后根据两直线平行，内错角相等可证得∠C=∠CBG，即可证得结论.（3）过点B作BG∥DM，利用角平分线的定义可得到∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，可推出∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，可分别表示出∠ABE、∠ABD、∠GBF、∠AFB、结合已知条件可表示出∠BFC、∠AFC、∠BCF；然后利用三角形的内角和定理和垂直的定义建立关于α和β的方程组，解方程组求出α和β的值，即可得到∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE+∠ABC，代入计算可求解》【解析】【解答】（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于 ∴ ， ∴∵AE、AF分别是 和 的角平分线∴在△AEF中∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=30°，∠ABO=120°；（舍去）③∠AFE=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠AEF=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°；（舍去）∴∠ABO为60°或45°【分析】（1）由已知条件可得∠AOB=90°，结合三角形内角和定理可得∠OAB+∠OBA=90°，由角平分线的概念可得∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，据此求解；
（2）同（1）可得∠OAB+∠OBA=90°，进而得到∠PAB+∠MBA=270°，由角平分线的概念可得∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，据此可求得∠BAD+∠ABC的度数，然后利用四边形内角和为360°可求得∠ACD+∠BCD的度数，再次根据角平分线的概念求出∠CDE+∠DCE的度数，最后根据三角形内角和定理进行求解；
（3）由角平分线的概念可得∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，据此可表示出∠E，然后分①∠EAF=3∠E；②∠EAF=3∠F；③∠AFE=3∠E；④∠AEF=3∠F进行求解.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠APE=∠PEH，∠CQE=∠HEQ，进而得出结论；（2）根据角平分线的定义、平角的意义以及四边形的内角和即可求解；（3）利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可．【解析】【分析】（1） 根据三角形的内角和得出∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， 由对顶角相等可得 ∠AOC＝∠BOD， 继而得出结论；
（2）①根据“8字型”的定义直接查找即可；②由（1）结论得出∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠P+
∠BAP＝∠B+∠BDP，即得2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，利用角平分线的定义得出∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而得出2∠P＝∠B+∠C，代入相应数据即得结论；
③3∠P＝∠B+2∠C，理由 ：由题意得出 ∠BAP＝ ∠CAB，∠BDP＝ ∠CDB， 由（1）结论得出∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，从而得出∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝ （∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝ （∠CDB﹣∠CAB）， 即得2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B， 据此即得结论.【解析】【解答】解：（1）①由题意，∵∠A＝60°，∴ ，∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴ ， ，∴ ,∴【分析】（1）①由角平分线的定义和三角形内角和定理，先求出 ，即可求出答案；②由题意，先求出 ，然后得到 ，即可求出∠BEC的度数.（2）由题意，得到 ， ，由三角形的外角性质进行化简，即可得到答案.【解析】【分析】 （1）利用角平分线的定义，得∠DCE=2∠DCF=50°， 根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠DCE+∠AGC=180°，即可求出∠AGC=130°， 利用对顶角相等得出∠EGB=∠AGC=130°，根据三角形内角和即可求出的∠ABE度数；
（2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，如图，设∠ABF=x，∠DCF=y，利用角平分线的定义及已知，可得∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠FCE=y，∠DCE=2y， 根据平行线的性质及对顶角相等，可得 ∠EMB=∠AMC=180°-2y，利用三角形内角和先求出∠E=2y-3x，再得∠ENB=180°+x-2y，∠CFB=y-x，由∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，可得2∠CFB-∠CEB=10°，即得 .
 【解析】【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∴当∠EDA＝∠B＝40°时， ，而∠EDF＝30°，∴ ，解得：α＝10°；当 时，DE⊥AB，此时∠A+∠EDA＝180°， ，∴ ，解得：α＝100°；故答案为10°，100°；【分析】（1）由平行线的判定定理可得：当∠EDA＝∠B＝40°时，DE∥BC，据此可得α的度数；当DE∥BC时，DE⊥AB，此时∠A+∠EDA＝180°，据此求解；
（2）① 根据直角三角形的两锐角互余以及角平分线的概念可得∠ACD＝45°，∠A＝50°，然后根据三角形内角和定理可得∠CDA的度数，然后分点C在DE边上、点C在DF边上进行求解即可；②连接MN，由三角形内角和定理可得∠CNM+∠CMN＝90°，然后在△MND中，应用三角形内角和定理求解即可；
③由已知条件可得∠2≥40°，在△ADN中，应用三角形内角和定理可得∠2=100°-α，据此可求得α的范围，最后结合①中的范围进一步确定即可.【解析】【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证明；
（2）通过三角形全等求得AC=AE，∠BCA=∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD=∠E=∠ACD即可证得；
（3）过点A作AM⊥CE，垂足为M，根据角的平分线的性质求得AFAM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而证得EC=2AF。【解析】【分析】（1）根据同角的补角线段得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；（2）①根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可.②连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到 ，进一步得到 .【解析】【解答】（3）∵ 分别是 和 的n等分线， ， ， .【分析】（1）根据已知条件可知 ，根据 分别是 和 的二等分线，可知 ，由此即可求解；（2）根据 分别是 和 的四等分线，可知 ，由此即可求解；（3）根据（1）（2）题找到规律，得到 ，然后求出n-1=2020时的值即可.【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；
（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；
（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得到∠CAG＝ EAC＝ （90°﹣α）＝45°﹣ ，∠BCG＝ BCF＝ （180°﹣α）＝90°﹣ ，根据三角形的内角和即可得到结论.【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠C，过点D作DG∥AC，可得DG∥AC∥EF，利用平行线的性质定理可得∠CDG，由∠CDE=∠CDG+∠GDE，代入数值可得结果；
（2）利用平行线的性质和同角的补角相等得∠A=∠CDG，由角的和及等量代换可得；
（3）利用平行线的性质定理和三角形的内角和定理可得结论.【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100.【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t.利用三角形内角和定理即可证明；
（2）分6种情形分别求解即可解决问题.【解析】【分析】（1）利用SAS证明三角形全等，再作答求解即可；
（2）先求出∠GAF=90°，再利用AAS证明三角形全等即可。【解析】【分析】（1）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，α=90°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH=180°，进而可得EF//GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，可得∠2+∠3=180°-α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG=2∠2，∠MGE=2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n=3时；②当n=2时.【解析】【解答】（1）∵ ，∴ ，   ∵四边形DEFG是正方形，∴∠D=90°，∴ ，∴ ；故答案为145；90；55；【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°先求出，再求出∠D=90°，最后计算求解即可；
（2）根据三角形的内角和等于180°进行求解即可；
（3）先求出 ∠DBC +∠DCB =90°，∠ABD=∠DBC-∠ABC，∠ACD=∠ACB-∠DCB， 再证明求解即可。【解析】【分析】（1）根据要求在OP上任取一点A，作△ABO≌△ACO，这样就可以利用“SAS”来判定三角形全等；
（2）先在AC上截取AG=AE，连接FG，利用“SAS”判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，FE=FG，再利用“ASA”证明△CFG≌△CFD，得到FG=FD，进而得出FE=FD；
（3）先过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，则∠FGE=∠FHD=90°，根据已知条件得到∠GEF=∠HDF，进而判定△EGF≌△DHF，即可得出FE=FD。【解析】【解答】（3）解：设∠CAE＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，则∠EAD＝y，∠D＝∠DCE＝2z，∠AGC＝3∠CAE＝3x，∵AB∥CD，∴∠AHD＝∠BAH＝x＋y，∠ACD＝∠BAC＝y，△AHD中，x＋2y＋2z＝180°①，△ACG中，x＋3x＋y＋z＝180°，∴4x＋y＋z＝180°，∴8x＋2y＋2z＝360°②，②﹣①得：7x＝180°，解得：x＝ ，∴∠CAE＝ ；故答案为： 【分析】（1）根据平行线的性质得∠B＝∠DCE，推出∠D＝∠DCE，根据内错角相等，二直线平行即可得出结论；
（2）设∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，△AHD中，x＋2y＋2z＝180°①，△ACG中，x＋2x＋y＋z＝180°，变形后相减可得结论；（3）设∠CAG＝x，∠DCG＝z，∠BAC＝y，△AHD中，x＋2y＋2z＝180°①，△ACG中，x＋3x＋y＋z＝180°，变形后相减可得结论.【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得 ；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知 ；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ=45°．