四川省成都崇庆中学2021-2022学年中考试题猜想数学试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②1a﹣b=0；③4a+1b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y1）是抛物线上两点，则

y1＞y1．其中说法正确的是（ ）

A．①②    B．②③    C．①②④    D．②③④

2．计算±的值为（　　）

A．±3 B．±9 C．3 D．9

3．如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE

4．某射击运动员练习射击，5次成绩分别是：8、9、7、8、x（单位：环）．下列说法中正确的是（　　）

A．若这5次成绩的中位数为8，则x＝8

B．若这5次成绩的众数是8，则x＝8

C．若这5次成绩的方差为8，则x＝8

D．若这5次成绩的平均成绩是8，则x＝8

5．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为

A．-2 B．2 C．4 D．-4

6．下列计算正确的是（　　）

A．（a）＝a B．a+a＝a

C．（3a）•（2a）＝6a D．3a﹣a＝3

7．若关于的方程的两根互为倒数，则的值为(　　)

A． B．1 C．－1 D．0

8．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（　　）

A．23° B．46° C．67° D．78°

9．下列说法中，正确的是(    )

A．两个全等三角形，一定是轴对称的

B．两个轴对称的三角形，一定是全等的

C．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形

D．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形

10．已知在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AC=BD，下列四个命题中真命题是（   ）

A．若AB=CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形；

B．若∠DBC=∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形；

C．若，则四边形ABCD一定是矩形；

D．若AC⊥BD且AO=OD，则四边形ABCD一定是正方形．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为____．

12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______．

13．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．

14．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C分别在y轴和x轴正半轴上，以OA、OC为边作矩形OABC，双曲线（＞0）交AB于点E,AE︰EB=1︰3.则矩形OABC的面积是 __________.

15．已知实数m，n满足，，且，则=      ．

16．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，它的最小边的长是2cm，则它的最大边的长是_____cm．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，点D为△ABC边上一点，请用尺规过点D，作△ADE，使点E在AC上，且△ADE与△ABC相似.（保留作图痕迹，不写作法，只作出符合条件的一个即可）

18．（8分）如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC=．

（1）求反比例函数y=和直线y=kx+b的解析式；

（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；

（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．

19．（8分）计算： .

20．（8分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k为负整数．求k的值；如果这个方程有两个整数根，求出它的根．

21．（8分）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高14米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：1．

求:（1）背水坡AB的长度．

（1）坝底BC的长度．

22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E．

若∠AOD＝45°，求证：CE＝ED；（2）若AE＝EO，求tan∠AOD的值．

23．（12分）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示．

（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．

（2）求乙组加工零件总量的值．

（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？

24．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图1中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．

特例探索

（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝         ，b＝          ；

如图2，当∠ABE＝10°，c＝4时，a＝         ，b＝          ；

归纳证明

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图1证明你发现的关系式；

拓展应用

（1）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝1．求AF的长．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0。

∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0。

∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1，∴。∴b=1a＞0。

∴abc＜0，因此说法①正确。

∵1a﹣b=1a﹣1a=0，因此说法②正确。

∵二次函数图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0），

∴图象与x轴的另一个交点的坐标是（1，0）。

∴把x=1代入y=ax1+bx+c得：y=4a+1b+c＞0，因此说法③错误。

∵二次函数图象的对称轴为x=﹣1，

∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），

∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，而＜3

∴y1＜y1，因此说法④正确。

综上所述，说法正确的是①②④。故选C。

2、B

【解析】
∵（±9）2=81，

∴±±9.

故选B.

3、C

【解析】

解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．

点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．

4、D

【解析】
根据中位数的定义判断A；根据众数的定义判断B；根据方差的定义判断C；根据平均数的定义判断D．

【详解】

A、若这5次成绩的中位数为8，则x为任意实数，故本选项错误；

B、若这5次成绩的众数是8，则x为不是7与9的任意实数，故本选项错误；

C、如果x=8，则平均数为（8+9+7+8+8）=8，方差为 [3×（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=0.4，故本选项错误；

D、若这5次成绩的平均成绩是8，则（8+9+7+8+x）=8，解得x=8，故本选项正确；
故选D．

【点睛】

本题考查中位数、众数、平均数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

5、D

【解析】
，去分母，方程两边同时乘以(x﹣1)，得：

m+1x=x﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．

当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，

故选D．

6、A

【解析】
根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；

B．a2+a2=2a2，故本选项错误；

C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；

D．3a﹣a=2a，故本选项错误．

故选A．

【点睛】

本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．

7、C

【解析】
根据已知和根与系数的关系得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的k的值．

【详解】

解：设、是的两根，

由题意得：，

由根与系数的关系得：，

∴k2=1，

解得k=1或−1，

∵方程有两个实数根，

则，

当k=1时，，

∴k=1不合题意，故舍去，

当k=−1时，，符合题意，

∴k=−1，

故答案为：−1．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键．

8、B

【解析】
根据圆的半径相等可知AB=AC，由等边对等角求出∠ACB，再由平行得内错角相等，最后由平角180°可求出∠1.

【详解】

根据题意得：AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=67°，

∵直线l1∥l2，

∴∠2=∠ABC=67°，

∵∠1+∠ACB+∠2=180°，

∴∠ACB=180°-∠1-∠ACB=180°-67°-67°=46º．

故选B．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练根据这些性质得到角之间的关系是关键.

9、B

【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

解：A. 两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；

B. 两个轴对称的三角形，一定全等，正确；

C. 三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误；

D. 三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误.

故选B.

10、C

【解析】

A、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此A中命题不一定成立；

B、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是矩形，因此B中命题不一定成立；

C、因为由结合AO+CO=AC=BD=BO+OD可证得AO=CO，BO=DO，由此即可证得此时四边形ABCD是矩形，因此C中命题一定成立；

D、因为满足本选项条件的四边形ABCD有可能是等腰梯形，由此D中命题不一定成立.

故选C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、3

【解析】

试题分析：因为等腰△ABC的周长为33，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=3．

考点：3．等腰三角形的性质；3．垂直平分线的性质．

12、1﹣1

【解析】
如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=1，即可求出B′D．

【详解】

如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时时，此时B′D的值最小，

根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，

∴EB′⊥B′F，

∴EB′=EB，

∵E是AB边的中点，AB=4，

∴AE=EB′=1，

∵AD=6，

∴DE=，

∴B′D=1﹣1．

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B′在何位置时，B′D的值最小是解题的关键．

13、

【解析】

如图，有5种不同取法；故概率为   .

14、1

【解析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征设E点坐标为（t，），则利用AE：EB=1：3，B点坐标可表示为（4t，），然后根据矩形面积公式计算．

【详解】

设E点坐标为（t，），
∵AE：EB=1：3，
∴B点坐标为（4t，），
∴矩形OABC的面积=4t•=1．
故答案是：1．

【点睛】

考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．

15、．

【解析】

试题分析：由时，得到m，n是方程的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．

试题解析：∵时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴，．

∴原式===，故答案为．

考点：根与系数的关系．

16、1．

【解析】
根据在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，三角形内角和等于180°可得∠A，∠B，∠C的度数，它的最小边的长是2cm，从而可以求得最大边的长．

【详解】

∵在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3, 

∴

∵最小边的长是2cm，

∴a=2.

∴c=2a=1cm.

故答案为：1.

【点睛】

考查含30度角的直角三角形的性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、见解析

【解析】
以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AC的交点即为所求作的点．

【详解】

解：如图，点E即为所求作的点．

【点睛】

本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．

18、（1），（2）AC⊥CD（3）∠BMC=41°

【解析】

分析：（1）由A点坐标可求得OA的长，再利用三角函数的定义可求得OC的长，可求得C、D点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC的解析式；

（2）由条件可证明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可证得AC⊥CD；（3）连接AD，可证得四边形AEBD为平行四边形，可得出△ACD为等腰直角三角形，则可求得答案．

本题解析：

（1）∵A（1，0），∴OA=1．∵tan∠OAC=，∴，解得OC=2，

∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，∴y=﹣，

设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（1，0），C（0，﹣2），

∴，解得，∴y=x﹣2；

（2）∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=1=OA，

在△OAC和△BCD中

,∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，

∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD；

（3）∠BMC=41°．

如图，连接AD，

∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，

∴四边形AEBD为平行四边形，

∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，

∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，

∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，

∴∠BMC=∠DAC=41°．

19、

【解析】
根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质及乘方的定义分别计算后，再合并即可

【详解】

原式

.

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20、（2）k=﹣2，﹣2．（2）方程的根为x2=x2=2．

【解析】
（2）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的值；

（2）将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．

【详解】

解：（2）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（2﹣k）≥0，

解得 k≥﹣2．

∵k为负整数，

∴k=﹣2，﹣2．

（2）当k=﹣2时，不符合题意，舍去；

当k=﹣2时，符合题意，此时方程的根为x2=x2=2．

【点睛】

本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（2）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．

21、（1）背水坡的长度为米；（1）坝底的长度为116米.

【解析】
（1）分别过点、作，垂足分别为点、，结合题意求得AM，MN，在中，得BM，再利用勾股定理即可.

（1）在中，求得CN即可得到BC.

【详解】

（1）分别过点、作，垂足分别为点、，

根据题意，可知（米），（米）

在中∵,∴（米）,

∵,∴（米）.

答：背水坡的长度为米．

（1）在中，，

∴（米），

∴（米）

答：坝底的长度为116米.

【点睛】

本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

22、（1）见解析；（2）tan∠AOD＝.

【解析】
（1）作DF⊥AB于F，连接OC，则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=DF，由垂径定理得出∠COE=90°，证明△DEF∽△CEO得出，即可得出结论；

（2）由题意得OE=OA=OC，同（1）得△DEF∽△CEO，得出，设⊙O的半径为2a（a＞0），则OD=2a，EO=a，设EF=x，则DF=2x，在Rt△ODF中，由勾股定理求出x=a，得出DF=a，OF=EF+EO=a，由三角函数定义即可得出结果．

【详解】

（1）证明：作DF⊥AB于F，连接OC，如图所示：

则∠DFE＝90°，

∵∠AOD＝45°，

∴△ODF是等腰直角三角形，

∴OC＝OD＝DF，

∵C是弧AB的中点，

∴OC⊥AB，

∴∠COE＝90°，

∵∠DEF＝∠CEO，

∴△DEF∽△CEO，

∴，

∴CE＝ED；

（2）如图所示：

∵AE＝EO，

∴OE=OA=OC，

同（1）得：，△DEF∽△CEO，

∴，

设⊙O的半径为2a（a＞0），则OD＝2a，EO＝a，

设EF＝x，则DF＝2x，

在Rt△ODF中，由勾股定理得：（2x）2+（x+a）2＝（2a）2，

解得：x＝a，或x＝﹣a（舍去），

∴DF＝a，OF＝EF+EO＝a，

∴．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键．

23、 (1)见解析（2）300（3）2小时

【解析】
解：（1）设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为．

根据题意，得，解得．

所以，甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为:.

（2）当时，．

因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，

所以，．解得．

（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为

．

当0≤x≤2时，．解得．舍去．

当2<x≤2.8时，．解得．舍去．

当2.8<x≤4.8时，．解得．

所以，经过3小时恰好装满第1箱．

当3<x≤4.8时，．解得．舍去．

当4.8<x≤6时．．解得．

因为5－3=2，

所以，再经过2小时恰好装满第2箱．

24、（1）2，2；2，2；（2）+=5；（1）AF=2．

【解析】

试题分析：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=25°，∴AP=BP=AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=，∴∠PFE=∠PEF=25°，∴PE=PF=1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×2=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=2，∠ABP=10°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为2，2，2，2；

（2）猜想：a2+b2=5c2，如图1，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，∴+=+c2cos2α+c2sin2α+，∴a2+b2=5c2；

（1）如图2，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=1，AP=PF，在△AEH和△CFH中，，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EQ，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5﹣EF2=16，∴AF=2．

考点：相似形综合题．