人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.4 二项分布与超几何分布完美版教学ppt课件

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我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征:(1) 同一个伯努利试验重复做n次；(2) 各次试验的结果相互独立。
“重复”意味着各次试验的概率相同。
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果。例如，检验一件产品结果为合格或不合格；飞碟射击时中靶或脱靶；医学检验结果为阳性或阴性等。
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernulli trials)。
思考 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是，那么其中的伯努利试验是什么? 对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大? 重复试验的次数是多少?(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次；(2) 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次；(3) 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件。
解：(1) 是, P(A)＝0.5, n＝10；
(2) 是, P(A)＝0.8, n＝3；
(3) 是, P(A)＝0.05, n＝20。
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X。进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列。例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列。
探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的?
由于3次射击恰好1次中靶 ( 2次中靶 ) 的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为：
思考 3次独立重复试验共有几种可能结果？各个结果之间是什么关系？怎样求各个试验结果的概率？
连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有
中靶次数X的分布列为：
思考 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些? 写出中靶次数X的分布列：
我们把上面这种分布称为二项分布。
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p)。
知识点1：二项分布的概念
思考 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗?
思考 二项分布与两点分布有何关系?
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式。
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求: (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5。用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(10, 0.5)。(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为：
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.60内等价于4≤X≤6，于是所求概率为:
(2) 至少有4次击中目标的概率为:
1.某射手射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在5次射击中。 (1) 恰有3次击中目标的概率；(2) 至少有4次击中目标的概率。
解：设A＝“击中目标”，则P(A)＝0.8. 用X表示事件A发生的次数，则 X ~ B(5, 0.8)。(1) 恰有3次击中目标的概率为:
例2 如图是一块高尔顿板的示意图。在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放人，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0，1，2，‧‧‧，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5。在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?
解法1：若采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜。因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为：
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3:0, 3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为：
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利。实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利。
同理，若采用5局3胜制，则X~B(5, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为:
思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?
采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜。所以赛满3局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率。
解法2：若采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3, 0.6)，所以甲最终获胜的概率为：
知识点3：随机变量X服从二项分布的条件
(1) 每次试验都是在同一条件下进行的；(2) 每一次试验都彼此相互独立；(3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生。
只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算。
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下: (1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； (2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p)
知识点3：确定一个二项分布模型的步骤
探究 假设随机变量X服从二项2布B(n, p)，那么X的均值和方差各是什么?
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上。根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X, 我们猜想E(X)＝np. 我们不妨从简单开始, 先考察n较小的情况。
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)
(2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p。D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p)。
由此可猜想，若X~B(n, p)，则有
若X~B(n, p)，则有
知识点4：二项分布的均值与方差
3.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 ，方差为________.
解：用X表示取到红球的个数，则X~B(5,0.6)
4.一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
解：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η，由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96。所以，该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96。
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p)。
2. 二项分布的均值与方差：