人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.1.2 弧度制及其与角度制的换算学案，共4页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．理解弧度的角、弧度制的定义，能进行角度和弧度的换算；
2．掌握用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公司，培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力。
【学习重难点】
理解弧度的意义，正确惊醒角度和弧度的换算
【学习过程】
一、基础过关
1．－300°化为弧度是( )
A．－eq \f(4,3)π B．－eq \f(5,3)π
C．－eq \f(5,4)π D．－eq \f(7,6)π
2．集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))与集合B＝
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|α＝2kπ±\f(π,2)，k∈Z))的关系是( )
A．A＝B B．A⊆B
C．B⊆A D．以上都不对
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C．eq \f(2,sin 1) D．2sin 1
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．∅
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。
6．若2π<α<4π，且α与－eq \f(7π,6)角的终边垂直，则α＝______。
7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)。
8．用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
二、能力提升
9．扇形圆心角为eq \f(π,3)，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
10．已知α为第二象限的角，则π－eq \f(α,2)所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
11．若角α的终边与角eq \f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________。
12．如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为
θ (0<θ<π)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ。
三、探究与拓展
13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R。
（1）若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【参考答案】
1．B 2．A 3．C 4．D 5．25 6．eq \f(7π,3)或eq \f(10π,3)
7．解 （1）eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|2kπ－\f(π,6)≤α≤2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z))。
（2）eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α|kπ＋\f(π,6)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))。
8．解 设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，
从而S＝eq \f(1,2)·l·r＝eq \f(1,2)(30－2r)·r
＝－r2＋15r＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r－\f(15,2)))2＋eq \f(225,4)。
∴当半径r＝eq \f(15,2) cm时，l＝30－2×eq \f(15,2)＝15 cm，
扇形面积的最大值是eq \f(225,4) cm2，
这时α＝eq \f(l,r)＝2 rad．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为eq \f(15,2) cm时，面积最大，为eq \f(225,4) cm2．
9．B 10．D 11．－eq \f(11π,3)，－eq \f(5π,3)，eq \f(π,3)，eq \f(7π,3)
12．解 因为0<θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，
则必有k＝0，于是eq \f(π,2)<θ又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝eq \f(nπ,7)，
从而eq \f(π,2)所以n＝4或5，故θ＝eq \f(4π,7)或eq \f(5π,7)。
13．解 （1）设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝eq \f(π,3)，R＝10，∴l＝αR＝eq \f(10π,3) (cm)。
S弓＝S扇－S△＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10－eq \f(1,2)×2×10×sin eq \f(π,6)×10×cs eq \f(π,6)
＝50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(\r(3),2))) (cm2)。
（2）扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，
∴α＝eq \f(c－2R,R)，
∴S扇＝eq \f(1,2)αR2＝eq \f(1,2)·eq \f(c－2R,R)·R2
＝eq \f(1,2)(c－2R)R
＝－R2＋eq \f(1,2)cR＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(R－\f(c,4)))2＋。
当且仅当R＝eq \f(c,4)，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是。