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广东省中山市小榄镇2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷（含答案）
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这是一份广东省中山市小榄镇2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省中山市小榄镇七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）
1．下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是（ ）
A． 本田
B．奥迪
C．奔驰
D．铃木
2．﹣是的（ ）
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根
3．点A（，﹣1）在（ ）象限．
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
4．下列各数中，无理数是（ ）
A． B．﹣11 C． D．3.1415926
5．将点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣6） B．（2，﹣6） C．（﹣1，﹣3） D．（5，﹣3）
6．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝2
7．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
A．25° B．30° C．50° D．130°
8．如图，直线l1∥l2，点A，C，D分别是l1，l2上的点，且CA⊥AD于点A，若∠ACD＝30°，则∠1度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
9．已知点P（﹣2，5），Q（n，5）且PQ＝4，则n的值为（ ）
A．2 B．2或4 C．2或﹣6 D．﹣6
10．如果一个正数m的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求17+3m的立方根（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．5的平方根是 ．
12．化简|2﹣|＝ ．
13．计算：（x+1）2＝1，则x的值是： ．
14．已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为 ．
15．命题“同角的余角相等”，将该命题改写成“如果…，那么…”的形式是： ．
16．如图，将三角形ABC沿BC方向平移4个单位长度，得到三角形DEF．若EC＝1，三角形ABC面积＝6，则梯形ACED的面积为 ．
17．观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；第3个等式：a3＝＝﹣；…仿照上面等式，写出第n个等式： ；请计算：a1+a2+a3+a4+…+an＝ ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：+﹣．
19．（1）如图，写出点A、B、C的坐标．
（2）若三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣4，y+2），指出平移的规律，并画出三角形A1B1C1．
20．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B，在下列解答中，填空（理由或数学式）．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ ）．
∴EF∥AD（ ）．
∴ +∠2＝180°（ ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ ）．
∴AB∥ （ ）．
∴∠GDC＝∠B（ ）．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．已知点P（8﹣2m，m+1）．
（1）若点P在x轴上，求m的值．
（2）若点P的横坐标比纵坐标大4；求出点P的坐标．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
23．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝70°，求∠BAD的度数．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，其中点B，D坐标分别为（﹣4，﹣4）、（1，2），AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．
（1）直接写出A，C两点的坐标，并求出长方形ABCD的面积．
（2）一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB边向B点运动，在P点的运动过程中，连接MP，OP，写出∠AMP，∠MPO，∠PON 之间的数量关系？并证明．
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得三角形AMP的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求t的值以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点 E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在射线AG上取一点M（点M在点G下方），使∠ABM＝5∠GBM，求证：∠PBM＝∠DCH．
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）
1．下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是（ ）
A． 本田
B．奥迪
C．奔驰
D．铃木
【分析】根据平移的定义结合图形进行判断．
解：根据平移的定义可知，只有B选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．
故选：B．
2．﹣是的（ ）
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根
【分析】根据相反数的定义可解答．
解：﹣是的相反数》
故选：A．
3．点A（，﹣1）在（ ）象限．
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
【分析】根据平面直角坐标系中的点的坐标特征，即可解答．
解：点A（，﹣1）在第四象限，
故选：D．
4．下列各数中，无理数是（ ）
A． B．﹣11 C． D．3.1415926
【分析】根据无理数的概念求解即可．
解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．﹣11是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
5．将点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣6） B．（2，﹣6） C．（﹣1，﹣3） D．（5，﹣3）
【分析】利用点的平移和点的坐标的变化规律填空即可．
解：点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（2﹣3，﹣3），
即（﹣1，﹣3），
故选：C．
6．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝2
【分析】反例就是满足条件，但是不满足结论．根据负数的绝对值等于它的相反数，a取任何一个负数都可以．
解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴任何一个负数都可以，a＝﹣2符合题意，
故选：A．
7．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
A．25° B．30° C．50° D．130°
【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用对顶角的性质可求解．
解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHF＝∠EHD＝50°．
故选：C．
8．如图，直线l1∥l2，点A，C，D分别是l1，l2上的点，且CA⊥AD于点A，若∠ACD＝30°，则∠1度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先根据l1∥l2，可得∠1＝∠ADC，再根据∠ACD＝30°，CA⊥AD，可得1＝60°．
【解答】解∵l1∥l2．
∴∠1＝∠ADC．
∵CA⊥AD，∠ACD＝30°．
∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°．
∴∠1＝60°．
故选：C．
9．已知点P（﹣2，5），Q（n，5）且PQ＝4，则n的值为（ ）
A．2 B．2或4 C．2或﹣6 D．﹣6
【分析】根据点P、Q的纵坐标相等判断出PQ∥x轴，再分点Q在点P的左边与右边两种情况讨论求解．
解：∵点P、Q的纵坐标都是5，
∴PQ∥x轴，
点Q在点P的左边时，n＝﹣2﹣4＝﹣6，
点Q在点P的右边时，n＝﹣2+4＝2，
所以，n＝2或﹣6．
故选：C．
10．如果一个正数m的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求17+3m的立方根（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可．
解：由题意，得：
2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得：x＝4．
当x＝4时，2x﹣2＝6，6﹣3x＝﹣6，
m＝（±6）2＝36．
所以17+3m＝17+3×36＝125，
所以17+3a的立方根为5．
故选：C．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．5的平方根是 ± ．
【分析】直接根据平方根的定义解答即可．
解：∵（±）2＝5，
∴5的平方根是±．
故答案为：±．
12．化简|2﹣|＝ ﹣2 ．
【分析】首先判断（2﹣）的正负情况，然后去绝对值．
解：∵4＜5，
∴2＜，
∴2﹣＜0，
∴|2﹣|＝﹣2．
故答案是：﹣2．
13．计算：（x+1）2＝1，则x的值是： 0或﹣2 ．
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
解：（x+1）2＝1，
x+1＝±1，
x＝0或x＝﹣2，
故答案为：0或﹣2．
14．已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
解：∵点P（x，y）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴x＝﹣2，y＝﹣3，
∴点P的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
15．命题“同角的余角相等”，将该命题改写成“如果…，那么…”的形式是： 如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等 ．
【分析】根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答．
解：命题“同角的余角相等”，将该命题改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
16．如图，将三角形ABC沿BC方向平移4个单位长度，得到三角形DEF．若EC＝1，三角形ABC面积＝6，则梯形ACED的面积为 10 ．
【分析】由平移的性质得到AD＝BE＝4，进而求出BC＝3，由三角形的面积公式求出h，根据梯形的面积公式即可求出结论．
解：由平移的性质得AD＝BE＝4，
∵EC＝1，
∴BC＝BE﹣EC＝3
设△ABC的边BC上的高为h，
∵三角形ABC面积＝6，
∴BC•h＝6，
∴×3h＝6，
∴h＝4，
∴梯形ACED的面积＝（CE+AD）h＝（1+4）×4＝10，
故答案为：10．
17．观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；第3个等式：a3＝＝﹣；…仿照上面等式，写出第n个等式： an＝＝﹣ ；请计算：a1+a2+a3+a4+…+an＝ ﹣1 ．
【分析】仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，再根据前面已知a1，a2，a3的值和所求出的an的值，进行计算即可解答．
解：仿照上面等式，写出第n个等式：an＝＝﹣；
a1+a2+a3+a4+…+an
＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣1；
故答案为：an＝＝﹣；﹣1．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：+﹣．
【分析】先计算被开方数，再开方，最后加减．
解：原式＝0.2﹣2﹣
＝0.2﹣2﹣
＝0.2﹣2﹣0.8
＝﹣2.6．
19．（1）如图，写出点A、B、C的坐标．
（2）若三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣4，y+2），指出平移的规律，并画出三角形A1B1C1．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
解：（1）A（4，3），B（3，1），C（1，2）；
（2）如图，三角形A1B1C1即为所求．
20．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B，在下列解答中，填空（理由或数学式）．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴EF∥AD（ 同位角相等两直线平行 ）．
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥ DG （ 内错角相等两直线平行 ）．
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．已知点P（8﹣2m，m+1）．
（1）若点P在x轴上，求m的值．
（2）若点P的横坐标比纵坐标大4；求出点P的坐标．
【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0，可得m+1＝0，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得8﹣2m＝m+1+4，从而求出m的值，然后进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴m的值为：﹣1；
（2）由题意得：
8﹣2m＝m+1+4，
解得：m＝1，
∴当m＝1时，8﹣2m＝6，m+1＝2，
∴点P的坐标为（6，2）．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
【分析】（1）根据邻补角的概念求出∠BOC，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）求出∠AOE，根据题意分别求出∠AOF、∠EOF，该解角平分线的定义证明即可．
解：（1）∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；
（2）OA平分∠DOF，
理由如下：∵∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AOF：∠EOF＝2：3，
∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠AOF，
∴OA平分∠DOF．
23．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝70°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；
（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．
解：（1）AC∥EF．理由如下：
∵∠1＝∠BCE，
∴AD∥CE，
∴∠2＝∠4，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°，
∴EF∥AC；
（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2，
∵∠1＝70°，∠1＝∠2+∠ACD，
∴∠2＝35°，
∵EF∥AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠F＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝55°．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，其中点B，D坐标分别为（﹣4，﹣4）、（1，2），AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．
（1）直接写出A，C两点的坐标，并求出长方形ABCD的面积．
（2）一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB边向B点运动，在P点的运动过程中，连接MP，OP，写出∠AMP，∠MPO，∠PON 之间的数量关系？并证明．
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得三角形AMP的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求t的值以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用点A、C的坐标和矩形的性质易得B（﹣4，﹣4），D（1，2），然后根据矩形面积公式计算矩形ABCD的面积；
（2）分类讨论：当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，利用平行线的性质易得∠QPM＝∠AMP，∠QPO＝∠PON，则∠MPO＝∠AMP+∠PON；当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO＝∠AMP﹣∠PON；
（3）由于AM＝4，AP＝t，根据三角形面积公式得到S△AMP＝2t，再利用三角形AMP的面积等于长方形面积的可计算出t＝5，则AP＝5，然后根据点的坐标的表示方法写出P点坐标．
解：（1）∵点B、D坐标分别为（﹣4，﹣4）、（1，2），
而四边形ABCD为矩形，
∴A（﹣4，2），C（1，﹣4）；
∴矩形ABCD的面积＝（1+4）×（2+4）＝30；
（2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，
∵AM∥ON，
∴AM∥PQ∥ON，
∴∠QPM＝∠AMP，∠QPO＝∠PON，
∴∠QPM+∠QPO＝∠AMP+∠PON，
即∠MPO＝∠AMP+∠PON；
当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO＝∠AMP﹣∠PON；
（3）存在．
∵AM＝4，AP＝t，
∴S△AMP＝×4×t＝2t，
∵三角形AMP的面积等于长方形面积的，
∴2t＝30×＝10，
∴t＝5
∴AP＝5，
∵AN＝2，
∴P点坐标为（﹣4，﹣3）．
25．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点 E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在射线AG上取一点M（点M在点G下方），使∠ABM＝5∠GBM，求证：∠PBM＝∠DCH．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠GAD＝∠BGA，又AG平分∠BAD，有∠BAG＝∠GAD，故∠BAG＝∠BGA；
（2）CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，知∠GCF＝45°，而AD∥BC，有∠AEF＝∠GCF＝45°，根据∠ABG＝50°，得∠DAB＝180°﹣50°＝130°，又AG平分∠BAD，得∠BAG＝∠GAD＝65°，即得∠AFC＝65°﹣45°＝20°；
（3）根据平行线的性质、三角形外角性质、角的和差即可得解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD，
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，∠DAB+∠ABG＝180°，
∵∠ABG＝50°，
∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝65°，
∵∠GAD＝∠AFC+∠AEF，
∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°；
（3）证明：设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，∠ABP+∠PBG＝∠ABC，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
由（1）知，∠BAG＝∠BGA，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBG+∠GBM＝3x+x+∠GBM＝4x+∠GBM，
∵∠ABM＝5∠GBM，
∴∠GBM＝x，
∴∠PBM＝∠PBG+∠GBM＝2x，
∴∠PBM＝∠DCH．
2021-2022学年广东省中山市小榄镇七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）
1．下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是（ ）
A． 本田
B．奥迪
C．奔驰
D．铃木
2．﹣是的（ ）
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根
3．点A（，﹣1）在（ ）象限．
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
4．下列各数中，无理数是（ ）
A． B．﹣11 C． D．3.1415926
5．将点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣6） B．（2，﹣6） C．（﹣1，﹣3） D．（5，﹣3）
6．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝2
7．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
A．25° B．30° C．50° D．130°
8．如图，直线l1∥l2，点A，C，D分别是l1，l2上的点，且CA⊥AD于点A，若∠ACD＝30°，则∠1度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
9．已知点P（﹣2，5），Q（n，5）且PQ＝4，则n的值为（ ）
A．2 B．2或4 C．2或﹣6 D．﹣6
10．如果一个正数m的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求17+3m的立方根（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．5的平方根是 ．
12．化简|2﹣|＝ ．
13．计算：（x+1）2＝1，则x的值是： ．
14．已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为 ．
15．命题“同角的余角相等”，将该命题改写成“如果…，那么…”的形式是： ．
16．如图，将三角形ABC沿BC方向平移4个单位长度，得到三角形DEF．若EC＝1，三角形ABC面积＝6，则梯形ACED的面积为 ．
17．观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；第3个等式：a3＝＝﹣；…仿照上面等式，写出第n个等式： ；请计算：a1+a2+a3+a4+…+an＝ ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：+﹣．
19．（1）如图，写出点A、B、C的坐标．
（2）若三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣4，y+2），指出平移的规律，并画出三角形A1B1C1．
20．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B，在下列解答中，填空（理由或数学式）．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ ）．
∴EF∥AD（ ）．
∴ +∠2＝180°（ ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ ）．
∴AB∥ （ ）．
∴∠GDC＝∠B（ ）．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．已知点P（8﹣2m，m+1）．
（1）若点P在x轴上，求m的值．
（2）若点P的横坐标比纵坐标大4；求出点P的坐标．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
23．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝70°，求∠BAD的度数．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，其中点B，D坐标分别为（﹣4，﹣4）、（1，2），AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．
（1）直接写出A，C两点的坐标，并求出长方形ABCD的面积．
（2）一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB边向B点运动，在P点的运动过程中，连接MP，OP，写出∠AMP，∠MPO，∠PON 之间的数量关系？并证明．
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得三角形AMP的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求t的值以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点 E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在射线AG上取一点M（点M在点G下方），使∠ABM＝5∠GBM，求证：∠PBM＝∠DCH．
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）
1．下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是（ ）
A． 本田
B．奥迪
C．奔驰
D．铃木
【分析】根据平移的定义结合图形进行判断．
解：根据平移的定义可知，只有B选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．
故选：B．
2．﹣是的（ ）
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根
【分析】根据相反数的定义可解答．
解：﹣是的相反数》
故选：A．
3．点A（，﹣1）在（ ）象限．
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
【分析】根据平面直角坐标系中的点的坐标特征，即可解答．
解：点A（，﹣1）在第四象限，
故选：D．
4．下列各数中，无理数是（ ）
A． B．﹣11 C． D．3.1415926
【分析】根据无理数的概念求解即可．
解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．﹣11是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
5．将点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣6） B．（2，﹣6） C．（﹣1，﹣3） D．（5，﹣3）
【分析】利用点的平移和点的坐标的变化规律填空即可．
解：点A（2，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（2﹣3，﹣3），
即（﹣1，﹣3），
故选：C．
6．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝2
【分析】反例就是满足条件，但是不满足结论．根据负数的绝对值等于它的相反数，a取任何一个负数都可以．
解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴任何一个负数都可以，a＝﹣2符合题意，
故选：A．
7．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（ ）
A．25° B．30° C．50° D．130°
【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用对顶角的性质可求解．
解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，
∴∠EHD＝∠EGB＝50°，
∴∠CHF＝∠EHD＝50°．
故选：C．
8．如图，直线l1∥l2，点A，C，D分别是l1，l2上的点，且CA⊥AD于点A，若∠ACD＝30°，则∠1度数为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【分析】首先根据l1∥l2，可得∠1＝∠ADC，再根据∠ACD＝30°，CA⊥AD，可得1＝60°．
【解答】解∵l1∥l2．
∴∠1＝∠ADC．
∵CA⊥AD，∠ACD＝30°．
∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°．
∴∠1＝60°．
故选：C．
9．已知点P（﹣2，5），Q（n，5）且PQ＝4，则n的值为（ ）
A．2 B．2或4 C．2或﹣6 D．﹣6
【分析】根据点P、Q的纵坐标相等判断出PQ∥x轴，再分点Q在点P的左边与右边两种情况讨论求解．
解：∵点P、Q的纵坐标都是5，
∴PQ∥x轴，
点Q在点P的左边时，n＝﹣2﹣4＝﹣6，
点Q在点P的右边时，n＝﹣2+4＝2，
所以，n＝2或﹣6．
故选：C．
10．如果一个正数m的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求17+3m的立方根（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可．
解：由题意，得：
2x﹣2+6﹣3x＝0，
解得：x＝4．
当x＝4时，2x﹣2＝6，6﹣3x＝﹣6，
m＝（±6）2＝36．
所以17+3m＝17+3×36＝125，
所以17+3a的立方根为5．
故选：C．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．5的平方根是 ± ．
【分析】直接根据平方根的定义解答即可．
解：∵（±）2＝5，
∴5的平方根是±．
故答案为：±．
12．化简|2﹣|＝ ﹣2 ．
【分析】首先判断（2﹣）的正负情况，然后去绝对值．
解：∵4＜5，
∴2＜，
∴2﹣＜0，
∴|2﹣|＝﹣2．
故答案是：﹣2．
13．计算：（x+1）2＝1，则x的值是： 0或﹣2 ．
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
解：（x+1）2＝1，
x+1＝±1，
x＝0或x＝﹣2，
故答案为：0或﹣2．
14．已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为 （﹣2，﹣3） ．
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
解：∵点P（x，y）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
∴x＝﹣2，y＝﹣3，
∴点P的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
15．命题“同角的余角相等”，将该命题改写成“如果…，那么…”的形式是： 如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等 ．
【分析】根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答．
解：命题“同角的余角相等”，将该命题改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
16．如图，将三角形ABC沿BC方向平移4个单位长度，得到三角形DEF．若EC＝1，三角形ABC面积＝6，则梯形ACED的面积为 10 ．
【分析】由平移的性质得到AD＝BE＝4，进而求出BC＝3，由三角形的面积公式求出h，根据梯形的面积公式即可求出结论．
解：由平移的性质得AD＝BE＝4，
∵EC＝1，
∴BC＝BE﹣EC＝3
设△ABC的边BC上的高为h，
∵三角形ABC面积＝6，
∴BC•h＝6，
∴×3h＝6，
∴h＝4，
∴梯形ACED的面积＝（CE+AD）h＝（1+4）×4＝10，
故答案为：10．
17．观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1；第2个等式：a2＝＝﹣；第3个等式：a3＝＝﹣；…仿照上面等式，写出第n个等式： an＝＝﹣ ；请计算：a1+a2+a3+a4+…+an＝ ﹣1 ．
【分析】仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，再根据前面已知a1，a2，a3的值和所求出的an的值，进行计算即可解答．
解：仿照上面等式，写出第n个等式：an＝＝﹣；
a1+a2+a3+a4+…+an
＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣1；
故答案为：an＝＝﹣；﹣1．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．计算：+﹣．
【分析】先计算被开方数，再开方，最后加减．
解：原式＝0.2﹣2﹣
＝0.2﹣2﹣
＝0.2﹣2﹣0.8
＝﹣2.6．
19．（1）如图，写出点A、B、C的坐标．
（2）若三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，且三角形ABC中任意一点P（x，y）经过平移后的对应点为P1（x﹣4，y+2），指出平移的规律，并画出三角形A1B1C1．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
解：（1）A（4，3），B（3，1），C（1，2）；
（2）如图，三角形A1B1C1即为所求．
20．如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
试说明：∠GDC＝∠B，在下列解答中，填空（理由或数学式）．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴EF∥AD（ 同位角相等两直线平行 ）．
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 两直线平行同旁内角互补 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的补角相等 ）．
∴AB∥ DG （ 内错角相等两直线平行 ）．
∴∠GDC＝∠B（ 两直线平行同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．已知点P（8﹣2m，m+1）．
（1）若点P在x轴上，求m的值．
（2）若点P的横坐标比纵坐标大4；求出点P的坐标．
【分析】（1）根据x轴上的点纵坐标为0，可得m+1＝0，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得8﹣2m＝m+1+4，从而求出m的值，然后进行计算即可解答．
解：（1）由题意得：
m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
∴m的值为：﹣1；
（2）由题意得：
8﹣2m＝m+1+4，
解得：m＝1，
∴当m＝1时，8﹣2m＝6，m+1＝2，
∴点P的坐标为（6，2）．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．
（1）求∠BOE的度数；
（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．
【分析】（1）根据邻补角的概念求出∠BOC，根据角平分线的定义计算，得到答案；
（2）求出∠AOE，根据题意分别求出∠AOF、∠EOF，该解角平分线的定义证明即可．
解：（1）∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；
（2）OA平分∠DOF，
理由如下：∵∠BOE＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
∵∠AOF：∠EOF＝2：3，
∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠AOF，
∴OA平分∠DOF．
23．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝70°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；
（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．
解：（1）AC∥EF．理由如下：
∵∠1＝∠BCE，
∴AD∥CE，
∴∠2＝∠4，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°，
∴EF∥AC；
（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2，
∵∠1＝70°，∠1＝∠2+∠ACD，
∴∠2＝35°，
∵EF∥AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠F＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝55°．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，其中点B，D坐标分别为（﹣4，﹣4）、（1，2），AD∥x轴，交y轴于M点，AB交x轴于N．
（1）直接写出A，C两点的坐标，并求出长方形ABCD的面积．
（2）一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB边向B点运动，在P点的运动过程中，连接MP，OP，写出∠AMP，∠MPO，∠PON 之间的数量关系？并证明．
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得三角形AMP的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求t的值以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用点A、C的坐标和矩形的性质易得B（﹣4，﹣4），D（1，2），然后根据矩形面积公式计算矩形ABCD的面积；
（2）分类讨论：当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，利用平行线的性质易得∠QPM＝∠AMP，∠QPO＝∠PON，则∠MPO＝∠AMP+∠PON；当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO＝∠AMP﹣∠PON；
（3）由于AM＝4，AP＝t，根据三角形面积公式得到S△AMP＝2t，再利用三角形AMP的面积等于长方形面积的可计算出t＝5，则AP＝5，然后根据点的坐标的表示方法写出P点坐标．
解：（1）∵点B、D坐标分别为（﹣4，﹣4）、（1，2），
而四边形ABCD为矩形，
∴A（﹣4，2），C（1，﹣4）；
∴矩形ABCD的面积＝（1+4）×（2+4）＝30；
（2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图，
∵AM∥ON，
∴AM∥PQ∥ON，
∴∠QPM＝∠AMP，∠QPO＝∠PON，
∴∠QPM+∠QPO＝∠AMP+∠PON，
即∠MPO＝∠AMP+∠PON；
当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO＝∠AMP﹣∠PON；
（3）存在．
∵AM＝4，AP＝t，
∴S△AMP＝×4×t＝2t，
∵三角形AMP的面积等于长方形面积的，
∴2t＝30×＝10，
∴t＝5
∴AP＝5，
∵AN＝2，
∴P点坐标为（﹣4，﹣3）．
25．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．
（1）求证：∠BAG＝∠BGA；
（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点 E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；
（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在射线AG上取一点M（点M在点G下方），使∠ABM＝5∠GBM，求证：∠PBM＝∠DCH．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠GAD＝∠BGA，又AG平分∠BAD，有∠BAG＝∠GAD，故∠BAG＝∠BGA；
（2）CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，知∠GCF＝45°，而AD∥BC，有∠AEF＝∠GCF＝45°，根据∠ABG＝50°，得∠DAB＝180°﹣50°＝130°，又AG平分∠BAD，得∠BAG＝∠GAD＝65°，即得∠AFC＝65°﹣45°＝20°；
（3）根据平行线的性质、三角形外角性质、角的和差即可得解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD，
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）解：∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠GCF＝45°，∠DAB+∠ABG＝180°，
∵∠ABG＝50°，
∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD＝65°，
∵∠GAD＝∠AFC+∠AEF，
∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°；
（3）证明：设∠ABC＝4x，
∵∠ABP＝3∠PBG，∠ABP+∠PBG＝∠ABC，
∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，
由（1）知，∠BAG＝∠BGA，
∵AG∥CH，
∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCH＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠ABM＝∠ABP+∠PBG+∠GBM＝3x+x+∠GBM＝4x+∠GBM，
∵∠ABM＝5∠GBM，
∴∠GBM＝x，
∴∠PBM＝∠PBG+∠GBM＝2x，
∴∠PBM＝∠DCH．
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