2022北京文汇中学初一（下）期中数学（带答案详解）练习题

这是一份2022北京文汇中学初一（下）期中数学（带答案详解）练习题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分）
1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下面四个数中，无理数是（ ）．
A. B. C. D.
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 的立方根是B. 没有立方根
C. 立方根等于本身的数是D.
4. 下列命题中，假命题是（ ）
A 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果，，那么
5. 若不等式组的解集为－1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF的度数为（ ）
A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°
8. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ）．
A. 30°B. 45°C. 15°D. 60°
9. 如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则复兴门站的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ）
A. 4步B. 5步C. 6步D. 7步
二、填空题（本题共8个小题，每题2分，共16分）
11. 写出一个比3大且比4小无理数：_____．
12. 如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．
13. 的平方根是____.
14. 将命题“两直线平行，同位角相等”写成“如果…，那么…”的形式是________
15. x的与5的和不小于3，用不等式表示为______．
16. 在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是3，则的值是 __．
17. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”,译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为______．
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于平面内任意一点(x， y)，规定以下两种变化：
① f (x， y)  (x， y) ．如 f (1， 2)  (1， 2) ；
② g  x， y  x， 2  y．
根据以上规定：
（1） g 1， 2 （ ）；
（2） f g 2， 1 （ ）
三、解答题（本题共10个小题，共54分）
19 计算：．
20. 解不等式：．
21. 解方程组：．
22. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
23. 完成下面的证明．已知：如图，求证：
（_____）
即
_____//_____（_____）
（_____）
24. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是将三角形平移，使点与点重合，得到三角形，其中点的对应点分别为．
（1）画出三角形；
（2）写出点的坐标；
（3）三角形的面积为 ．
25. 关于方程的解是负数，求字母的取值范围.
26. 如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC数量关系，并证明．
27. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如下表：
求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A，B，我们把A，B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫做A，B两点间的折线距离，记作．即：如果，，那么．
（1）已知，，求出的值；
（2）已知，，且，求a的取值范围；
（3）已知，，动点，若P，M两点间的折线距离与P，N两点间的折线距离的差的绝对值是3，直接写出y的值并画出所有符合条件的点P组成的图形．
参考答案
一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每题3分，共30分）
1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据在第三象限的点的特征进行判断，即可得到答案．
【详解】解：∵第三象限的点特征是横坐标小于零，纵坐标小于零，
∴点在第三象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
2. 下面四个数中，无理数是（ ）．
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据无理数定义，即可求解．
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、是有理数，故本选项不符合题意；
C、是有理数，故本选项不符合题意；
D、是有理数，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 的立方根是B. 没有立方根
C. 立方根等于本身的数是D.
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、有立方根，是，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、立方根等于它本身的数是0、1、-1，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、，，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是掌握立方根的定义的运用，注意：一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根．
4. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果，，那么
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
【详解】A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是假命题，符合题意；
D、如果，，那么，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查对顶角、平行线定理、不等式定理等，关键在熟练理解和掌握相关命题及定理；
5. 若不等式组的解集为－1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】把已知解集表示出数轴上即可．
【详解】解：若不等式组的解集为－1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是：
；
故选B．
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．
6. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：、不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
、不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式的两边都乘，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式的两边都除以5，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
7. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF的度数为（ ）
A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOE=144°，由邻补角定义求出∠AOC=180°-∠BOC=36°，再根据垂直定义即可求出∠AOF的度数．
【详解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=72°，
∴∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线、邻补角、角平分线定义；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
8. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ）．
A. 30°B. 45°C. 15°D. 60°
【8题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出∠BCD的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图所示，作：
∵ABCD，
，
∴∠DCE＝∠CEF＝30°，
∴∠1＝∠AEC−∠CEF＝45°−30°＝15°，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质、平行线的性质，熟知平行线的性质与常规三角板套装中三角板的特点是解答此题的关键．
9. 如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则复兴门站的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知点坐标确定直角坐标系，即可得到答案．
【详解】由题意可建立如图所示平面直角坐标系，
则复兴门站的坐标为．
故选：．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点坐标特点，由点坐标确定直角坐标系，由坐标系得到点坐标，属于基础题型．
10. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ）
A. 4步B. 5步C. 6步D. 7步
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数．
【详解】解：由图形知，中间的线段向左平移1个单位，上边的直线向右平移2个单位，最下边的直线向上平移2个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平移方法都多于5步．
∴通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要5步．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形．
二、填空题（本题共8个小题，每题2分，共16分）
11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____．
【11题答案】
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可．
【详解】设无理数的被开方数为x，
∵无理数比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一个无理数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键．
12. 如图，计划把河水引到水池A中，先作，垂足为B，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．
【12题答案】
【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【详解】解：∵连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短，
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【点睛】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
13. 的平方根是____.
【13题答案】
【答案】±．
【解析】
【分析】利用平方根的定义求解即可．
【详解】或的平方等于．
故平方根是±．
故答案为±．
【点睛】本题考查了平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个．
14. 将命题“两直线平行，同位角相等”写成“如果…，那么…”的形式是________
【14题答案】
【答案】如果两条直线是平行线，那么同位角相等．
【解析】
【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
【详解】“两直线平行，同位角相等”的条件是：“两直线平行”，结论为：“同位角相等”，
∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两条直线是平行线，那么同位角相等”，
故答案为如果两条直线是平行线，那么同位角相等．
【点睛】本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，难度较小．
15. x的与5的和不小于3，用不等式表示为______．
【15题答案】
【答案】
【解析】
【分析】“x的”为，“x的与5的和”为，“不小于3”为“”列出不等式即可．
【详解】解：∵“x的与5的和”表示为，“不小于3”为“”，
∴ 不等式表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查列一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，掌握列一元一次不等式的基本方法．
16. 在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是3，则的值是 __．
【16题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得的值．
【详解】因为点到轴的距离是3，
所以，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
17. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”,译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为______．
【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有y人，根据“有100个和尚”和大和尚一人分3只，小和尚3人分一只刚好分完100个馒头”列出方程组即可．
【详解】设大和尚有x人，则小和尚有y人，根据题意得，
故答案为:．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于平面内任意一点(x， y)，规定以下两种变化：
① f (x， y)  (x， y) ．如 f (1， 2)  (1， 2) ；
② g  x， y  x， 2  y．
根据以上规定：
（1） g 1， 2 （ ）；
（2） f g 2， 1 （ ）
【18题答案】
【答案】 ①. （1，0） ②. （﹣2，3）
【解析】
【分析】（1）根据所给规定进行进行计算即可；
（2）根据所给规定进行进行计算即可．
【详解】解：（1）∵g（x，y）＝（x，2﹣y）
∴g（1，2）＝（1，2﹣2）＝（1，0）
故答案为：（1，0）
（2）∵g（2，﹣1）＝（2，3）且f（x，y）＝（﹣x，y）
∴f（g（2，﹣1））＝f（2，3）＝（﹣2，3）
故答案为：（﹣2，3）
【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是正确理解题目意思．
三、解答题（本题共10个小题，共54分）
19 计算：．
【19题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质计算即可．
详解】解：
【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题关键．
20. 解不等式：．
【20题答案】
【答案】x≤﹣2
【解析】
【分析】先去括号，再移项合并同类项，然后系数化为1求出解集即可．
【详解】解：去括号得：4x﹣2﹣5x+1≥1，
移项得：4x﹣5x≥1+2﹣1，
合并得：﹣x≥2，
系数化为1得：x≤﹣2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．解题的关键在于系数化为1时，要注意系数的正负，是负数的话要记得变号．
21. 解方程组：．
【21题答案】
【答案】
【解析】
【分析】将方程②进行变形，用代入法即可解答．
【详解】解：
由②得： ③
把代入 ①，得：，
把代入 ③，得：，
∴方程组的解为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解题的关键是用代入消元法和加减消元法进行消元．
22. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【22题答案】
【答案】不等式组的解集为：，数轴表示见解析
【解析】
【分析】首先分别求解不等式，再根据不等式组的性质得到解集，结合数轴的性质作图，即可得到答案．
【详解】∵，
移项并合并同类项，得：，
∵
去分母，得：
移项并合并同类项，得：，
∴不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
23. 完成下面的证明．已知：如图，求证：
（_____）
即
_____//_____（_____）
（_____）
【23题答案】
【答案】两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义．
【解析】
【分析】由平行线的性质得到，可推出，即可判定，由平行线的性质得到，即可得解．
【详解】证明：，
两直线平行，同位角相等），
，
，
即，
（同位角相等，两直线平行，
，
，
（垂直的定义，
，
．
故答案为：两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”及“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是将三角形平移，使点与点重合，得到三角形，其中点的对应点分别为．
（1）画出三角形；
（2）写出点的坐标；
（3）三角形的面积为 ．
【24题答案】
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4
【解析】
【分析】（1）将点A、B、C分别向右平移4个单位长度、向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据所作图形可得答案；
（3）利用割补法：用矩形的面积减去三个三角形的面积求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，△A′OC'即为所求．
（2）由图知，A′（2，4），C′（3，2）；
（3）三角形A′OC′的面积为3×4-×2×4-×3×2-×1×2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
25. 关于的方程的解是负数，求字母的取值范围.
【25题答案】
【答案】k＜−1
【解析】
【分析】解方程得出x＝k＋1，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．
【详解】解：解方程得x＝k＋1，
∵方程的解是负数，
∴k＋1＜0，
∴k＜−1．
字母的取值范围为：k＜−1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
26. 如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①∠ABD＝____________（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明．
【26题答案】
【答案】（1）图见解析（2）①45°−α②∠DFC＝2∠BDF，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过D画DE⊥BC，DF∥AB即可；
（2）①根据余角的定义和角平分线的定义可得；
②根据角平分线定义可得∠ABC＝2∠ABD，再根据DE∥AB可得∠DFC＝∠ABC，∠ABD＝∠BDF，可得∠DFC＝2∠BDF．
【详解】（1）如图：
（2）①∵∠A＝90°，
∴∠ABC＝90°−∠C＝90°−α，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝（90°−α）＝45°−α，
故答案为45°−α；
②∠DFC＝2∠BDF，
证明：∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC．
∠ABD＝∠BDF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠DFC＝2∠BDF．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等．
27. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如下表：
求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
【27题答案】
【答案】此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元
【解析】
【分析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用总价单价数量，结合表格内的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A，B，我们把A，B两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫做A，B两点间的折线距离，记作．即：如果，，那么．
（1）已知，，求出的值；
（2）已知，，且，求a的取值范围；
（3）已知，，动点，若P，M两点间的折线距离与P，N两点间的折线距离的差的绝对值是3，直接写出y的值并画出所有符合条件的点P组成的图形．
【28题答案】
【答案】（1）6 （2）
（3）y=1或y=-2，画图见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意给出的公式即可求出答案；
(2)根据题意给出的公式列出不等式后即可求出a的取值范围；
(3)根据题意给出的等量关系列出等式即可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：根据题意得：
得
解得；
【小问3详解】
解：，
由题意可得：
当时，等式的左边=5，此时不满足题意
当时，等式的左边=|2y+1|
故|2y+1|=3
解得y=1或y=-2
当时，等式的左边=5，此时不满足题意
综上，点P坐标为(x,1)或(x,-2)
画图如下：
【点睛】本题考查绝对值的性质，新定义，解题的关键是正确理解题意给出的公式．月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
40
14800
第2个月
160
60
23380
月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
40
14800
第2个月
160
60
23380