必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步练习题

空间点、直线、平面之间的位置关系

[A级　基础巩固]

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)

A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

解析：选D　直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　　 B．异面

C．平行  D．垂直

解析：选A　如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．故选A.

3．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(　　)

A．2个  B．3个

C．4个  D．5个

解析：选B　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.故选B.

4．若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是(　　)

A．b∥α  B．b与α相交

C．b⊂α  D．以上三种情况都有可能

解析：选D　若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得，b∥a，或b⊂α，或b与α相交．

5．(多选)以下结论中，正确的是(　　)

A．过平面α外一点P，有且仅有一条直线与α平行

B．过平面α外一点P，有且仅有一个平面与α平行

C．过直线l外一点P，有且仅有一条直线与l平行

D．过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l平行

解析：选BC　如图①所示，过点P有无数条直线都有α平行，这无数条直线都在平面β内，过点P有且只有一个平面与α平行，故A错，B正确；

如图②所示，过点P只有一条直线与l平行，但有无数个平面与l平行，故C正确，D错．

6．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．

解析：题图①中，GH∥MN.

图②中，G，H，N三点共面，但M∈/平面GHN，因此直线GH与MN异面．

图③中，连接GM(图略)，GM∥HN，因此，GH与MN共面．

图④中，G，M，N三点共面，但H∈/平面GMN，因此GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面．

答案：②④

7．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．

解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．

答案：4　6

8．在四棱锥P­ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．

解析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．

答案：8

9．三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.

(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.

(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.

10．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交．

证明：在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，

则延长CE与BB′必相交于一点H，

所以H∈EC，H∈B′B，

又BB′⊂平面ABB′A′，CE⊂平面CDFE，

所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，

故平面ABB′A′与平面CDFE相交．

[B级　综合运用]

11．(多选)以下四个命题中正确的是(　　)

A．三个平面最多可以把空间分成八部分

B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价

C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l

D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面

解析：选AC　A正确；B中当α与β相交时，a与b不一定相交，故B不正确；C正确；D的反例：正方体的四条侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故选A、C.

12．(多选)一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是(　　)

A．AB与EF是异面直线

B．AB与CM所成的角为60°

C．EF与MN是异面直线

D．MN∥CD

解析：选AC　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB与EF是异面直线，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN与CD是异面直线，故A、C正确．

13．(多选)已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(　　)

A．若a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线

B．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

C．若α∥β，a⊂α，则a∥β

D．若α∩β＝b，a⊂α，则a，b一定相交

解析：选AC　A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，所以不管a在平面内还是平面外，结论都成立，故A正确；

B中，直线a与b没有交点，所以a与b可能异面，也可能平行，故B错误；

C中，直线a与平面β没有公共点，所以α∥β，故C正确；

D中，直线a与平面β有可能平行，所以a，b可能相交，也可能平行，故D错误．

14.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

解：(1)不是异面直线．

理由：因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.

又A1A綉D1D，而D1D綉C1C，

所以A1A綉C1C.

所以四边形A1ACC1为平行四边形．所以A1C1∥AC，得到MN∥AC.所以A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．

(2)是异面直线．理由如下：

假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1.

而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．

[C级　拓展探究]

15．如图，ABCD­A1B1C1D1是正方体，在图(1)中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图(1)，图(2)中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．

解：在图①中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面．∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线．如图①所示．

在图②中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内．又∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共

点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线．如图②所示．