高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行综合训练题

直线与平面平行的性质

[A级　基础巩固]

1．已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有(　　)

A．0条　　　　　　　 B．1条

C．0条或1条  D．无数条

解析：选C　过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与直线b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与直线b重合的，则与直线a平行的直线有0条．

2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是(　　)

A．平行  B．异面

C．相交  D．共面

解析：选AB　∵AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，∴CD∥平面α，∴直线CD与平面α内的直线没有公共点，直线CD与平面α内的直线的位置关系可能平行，也可能异面，故选A、B.

3.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

解析：选B　因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行．故选B.

4.如图，四棱锥S­ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为(　　)

A．2＋  B．3＋

C．3＋2  D．2＋2

解析：选C　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

即AB∥平面DCFE，

∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.

∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.

∴四边形DEFC的周长为3＋2.

5．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

解析：选B　由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，

∴HG∥BD且HG＝BD，∴EF∥HG且EF≠HG.故选B.

6．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件：

①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.

命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是真命题(在横线处填写条件)．

解析：①中a∥γ，b⊂β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a⊂γ，b∥β，b⊂γ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b.

答案：①或③

7.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．

解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以点N是BC的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.

答案：5

8.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．

解析：∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，MN⊂平面PMN，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，

故PQ＝＝DP＝a.

答案：a

9.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

求证：(1)l∥BC；

(2)MN∥平面PAD.

证明：(1)∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，

∴BC∥平面PAD.

又平面PBC∩平面PAD＝l，∴l∥BC.

(2)如图，取PD的中点E，连接AE，NE，则NE∥CD，且NE＝CD，又AM∥CD，且AM＝CD，

∴NE∥AM，且NE＝AM.

∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE.

又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

10.如图，已知异面直线AB，CD都与平面MNPQ平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．

证明：∵AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB⊂平面ABC，

∴AB∥MN.

又平面ABD∩平面MNPQ＝PQ，AB⊂平面ABD，

∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.

同理可证NP∥MQ.

∴四边形MNPQ是平行四边形．

[B级　综合运用]

11．(多选)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是(　　)

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

D．四边形EFGH是平行四边形或梯形

解析：选CD　由BD∥平面EFGH，所以由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则

AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.

且EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形或梯形．

12.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为(　　)

A.  B.

C．1  D．

解析：选A　如图，连接AD1，AB1，

∵PQ∥平面AA1B1B，

平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ⊂平面AB1D1，

∴PQ∥AB1，∴PQ＝AB1＝ ＝.故选A.

13.如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C.

(1)若E是BC的中点，则m的值为________；

(2)若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为________．

解析：(1)如图，设G是CB1上一点，连接DG，GE.

因为AE∥平面DB1C，

所以AE∥DG.

又AD∥平面CBB1C1，

所以AD∥EG，

则四边形DAEG是平行四边形．

故DA＝GE，

所以G是CB1的中点．

故AD＝DA1，即＝1，即m＝1.

(2)如图，设H是CB1上一点，连接DH，HE.

因为AE∥平面DB1C，

所以AE∥DH，又AD∥BB1，

所以AD∥平面CBB1C1，

所以AD∥EH，故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，

因为EH∥BB1，所以＝＝，

所以＝＝，则＝2，即m＝2.

答案：(1)1　(2)2

14.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．

解：直线l∥平面PAC，证明如下：

因为E，F分别是PA，PC的中点，

所以EF∥AC.

又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，

所以EF∥l.

因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，

所以l∥平面PAC.

[C级　拓展探究]

15.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A­BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH；

(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．

解：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.

GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.

∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，

∴EF∥AB.

∵EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，

∴AB∥平面EFGH.

(2)同(1)可证EH∥CD，设EF＝x，EH＝y，

∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，

∴＋＝＋＝＝1，

又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，∴y＝6，且0<x<4，

∴四边形EFGH的周长为l＝2(x＋y)＝2＝12－x，

∵8<12－x<12，

∴四边形EFGH周长的取值范围是(8，12)．